壓軸真題必刷03平行線和三角形內(nèi)角和定理(壓軸30題5種題型訓(xùn)練)_第1頁(yè)
壓軸真題必刷03平行線和三角形內(nèi)角和定理(壓軸30題5種題型訓(xùn)練)_第2頁(yè)
壓軸真題必刷03平行線和三角形內(nèi)角和定理(壓軸30題5種題型訓(xùn)練)_第3頁(yè)
壓軸真題必刷03平行線和三角形內(nèi)角和定理(壓軸30題5種題型訓(xùn)練)_第4頁(yè)
壓軸真題必刷03平行線和三角形內(nèi)角和定理(壓軸30題5種題型訓(xùn)練)_第5頁(yè)
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壓軸真題必刷03:平行線和三角形內(nèi)角和定理【題型歸納】題型一:平行線的性質(zhì)1.(2022上·廣東深圳·八年級(jí)南山實(shí)驗(yàn)教育麒麟中學(xué)??计谀┤鐖D,,,,分別平分的內(nèi)角,外角,外角.以下結(jié)論:;;;;.其中正確的結(jié)論有(

)A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的定義得出,,,,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出,,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出,,根據(jù)已知結(jié)論逐步推理,即可判斷各項(xiàng).【詳解】解:平分,,,,,,,故正確;,,平分,,,故正確;,,,,,,,,故正確;平分,,,,,平分,,,,,,,,故正確;由得,,,,,故正確;故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的推理能力,有一定難度.2.(2022下·陜西西安·八年級(jí)??计谀┤鐖D,平行四邊形中,,,平分,交于E,交于點(diǎn)N,交于點(diǎn)F,作交于點(diǎn)M,則(

A. B. C.1 D.【答案】D【分析】由平行四邊形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的性質(zhì)可得,,求得,再根據(jù),得到,即可求解.【詳解】解:平行四邊形中,,∵平分∴∵∴,∴∴∵∴∴∵∴,即∴,即∴,∴∴∵∴∴,∵∴∴∴∴∵∴∴故選:D【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等,解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì).3.(2022下·陜西榆林·八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,四邊形是平行四邊形,點(diǎn)是邊上一點(diǎn),且,交于點(diǎn),是延長(zhǎng)線上一點(diǎn),則下列結(jié)論:平分;平分;;.其中正確結(jié)論的有()A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角,平行四邊形的性質(zhì),平行線的性質(zhì)即可證明正確;根據(jù)線段垂直平分線的判定即可證明正確;根據(jù)平行線的性質(zhì),等角對(duì)等邊即可證明正確;根據(jù)線段垂直平分線的判定即可證明正確;即可得出答案.【詳解】解:證明:,,四邊形是平行四邊形,,,,平分,正確;,,,平分,正確;,,,,,正確;,,點(diǎn)一定在的垂直平分線上,即垂直平分,,故正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì),平行線的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí),正確應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.4.(2021上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,在中,內(nèi)角與外角的平分線相交于點(diǎn)P,,D在延長(zhǎng)線上,交于F,交于G,連接.下列結(jié)論:①;②;③垂直平分;④;⑤,其中正確的有()A.①②③④ B.①②③⑤ C.①②④⑤ D.①②③④⑤【答案】D【分析】①利用角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì),即可得到結(jié)論;②根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形的面積公式即可求出結(jié)論;③根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得結(jié)果;④根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)果;⑤由④的結(jié)論得,根據(jù)平分與平行條件可得,則可得出.【詳解】解:,故①正確;∵平分,∴P到,的距離相等,∴,故②正確;∵,平分,∴垂直平分(三線合一),故③正確;∵與的平分線相交于點(diǎn)P,∴點(diǎn)P到,的距離相等,點(diǎn)P到,的距離相等,∴點(diǎn)P到,的距離相等,∴點(diǎn)P也位于的平分線上,∴,又∵,∴,∴,即,故④正確;由④得:,∴,∵平分,,∴,∴,,故⑤正確;綜上可知,①②③④⑤正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義與性質(zhì),平行線的性質(zhì),三角形外角的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)等,能夠綜合運(yùn)用上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵.5.(2022下·廣東深圳·七年級(jí)深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校??计谀┤鐖D,C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,E重合),在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△ECD,AD與BE交于點(diǎn)O,AD與BC交于點(diǎn)P,BE與CD交于點(diǎn)Q連接PQ.以下五個(gè)結(jié)論正確的是(

)①;②PQ∥AE;③;④;⑤A.①③⑤ B.①③④⑤ C.①②③⑤ D.①②③④⑤【答案】C【分析】①由于△ABC和△CDE是等邊三角形,可知AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,從而證出△ACD≌△BCE,可推知AD=BE;②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC,加之∠ACB=∠DCE=60°,AC=BC,得到△CQB≌△CPA(ASA),再根據(jù)∠PCQ=60°推出△PCQ為等邊三角形,又由∠PQC=∠DCE,根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行,可知②正確;③根據(jù)②△CQB≌△CPA(ASA),可知③正確;④根據(jù)∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ,∠CDE=60°,可知∠DQE≠∠CDE,可知④錯(cuò)誤;⑤利用等邊三角形的性質(zhì),BC∥DE,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CBE=∠DEO,于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°,可知⑤正確.【詳解】解:∵等邊△ABC和等邊△CDE,∴,∴,即,∴,∴AD=BE,∴①正確,∵,∴,又∵,∴,即,又∵,∴,∴,又∵∠PCQ=60°可知△PCQ為等邊三角形,∴,∴PQ∥AE②正確,∵△CQB≌△CPA,∴AP=BQ,③正確,∵AD=BE,AP=BQ,∴,即DP=QE,∵,∴∠DQE≠∠CDE,∴DE≠DP,故④錯(cuò)誤;∵∠ACB=∠DCE=60°,∴∠BCD=60°,∵等邊△DCE,∠EDC=60°=∠BCD,∴BC∥DE,∴∠CBE=∠DEO,∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°,∴⑤正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了等邊三角形判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用.要求學(xué)生具備運(yùn)用這些定理進(jìn)行推理的能力,此題的難度較大.6.(2019上·江西吉安·八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,已知△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分線,AE是∠BAC的外角平分線,ED∥AB交AC于點(diǎn)G,下列結(jié)論:①BD=DC;②AE∥BC;③AE=AG;④AG=DE.正確的是(填寫(xiě)序號(hào))【答案】①②④【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)分別對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析判斷即可.【詳解】解:①∵△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分線,∴BD=DC,故本選項(xiàng)正確,②∵△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分線,∴AD⊥BC,∴AE∥BC,故本選項(xiàng)正確,③∵AE∥BC,∴∠E=∠EDC,∵ED∥AB,∴∠B=∠EDC,∠AGE=∠BAC,∴∠B=∠E,∵∠B不一定等于∠BAC,∴∠E不一定等于∠AGE,∴AE不一定等于AG,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤,④∵ED∥AB,∴∠BAD=∠ADE,∵∠CAD=∠BAD,∴∠CAD=∠ADE,∴AG=DG,∵AE∥BC,∴∠EAG=∠C,∵∠B=∠E,∠B=∠C,∴∠E=∠C,∴∠EAG=∠E,∴AG=EG,∴AG=DE,故答案為:①②④【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定,用到的知識(shí)點(diǎn)是等腰三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì),關(guān)鍵是熟練地運(yùn)用有關(guān)性質(zhì)與定理進(jìn)行推理判斷.題型二:平行線判定和性質(zhì)的綜合7.(2023上·河北邢臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末)在中,延長(zhǎng)到D,使,點(diǎn)E是下方一點(diǎn),連接,且.

(1)如圖1,求證:;(2)如圖2,若,將沿直線翻折得到,連接,連接交于G,當(dāng)時(shí),求的長(zhǎng)度;(3)如圖3,若,將沿直線翻折得到,連接,連接交于G,交于H,若,求線段的長(zhǎng)度(用含m,n的代數(shù)式表示).【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】(1)根據(jù)條件和可得,即可證明;(2)根據(jù)條件和可得,進(jìn)而得到即可求出;(3)證明,,可得結(jié)論.【詳解】(1)證明:∵,又∵,∴,在和中,,∴;(2)解:由(1)可知,∴,由翻折變換的性質(zhì),,∴,∵,∴,∴,∵,∴;(3)解:由(1)可知,,∴,由翻折變換的性質(zhì)可知,,∴,∵,∴,∴,∵,∴,∴,∴;【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題,考查了全等三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形的判定和性質(zhì),平行線的判定和性質(zhì),三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題,屬于中考常考題型.8.(2023下·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,中,,,點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn),將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,交邊于點(diǎn),連接,過(guò)點(diǎn)作平分交邊于點(diǎn),連接.

(1)求證:;(2)判斷與的數(shù)量關(guān)系并證明;(3)當(dāng)時(shí),若,求的面積.【答案】(1)見(jiàn)解析(2),證明見(jiàn)解析(3)【分析】(1)證即可;(2)過(guò)點(diǎn)作垂直延長(zhǎng)線于,先證,再推理證明是等腰直角三角形,即可得到;(3)再過(guò)點(diǎn)作垂直于,根據(jù)已知和(1)、(2)中的結(jié)論先證是的平分線,得,再推理得到、、和都是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的直角邊和斜邊的關(guān)系等量代換算出,最后根據(jù)計(jì)算即可.【詳解】(1)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,平分,,,在和中,,,(2)如下圖,過(guò)點(diǎn)作垂直延長(zhǎng)線于

又繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,,,,,在和中,,又,,即又,是等腰直角三角形,(3)如下圖,再過(guò)點(diǎn)作垂直于

,,,,、、和都是等腰直角三角形,又由(1)得,,,,是的平分線,(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等),,,,,,.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的證明、等腰直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì),畫(huà)出圖象、推理證明是解題的關(guān)鍵.9.(2017上·陜西西安·八年級(jí)??计谀┤鐖D1,直線與直線、分別交于點(diǎn)E、F,與互補(bǔ).(1)試判斷直線與直線的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;(2)如圖2,與的角平分線交于點(diǎn)P,與交于點(diǎn)G,點(diǎn)H是上一點(diǎn),且,求證:;(3)如圖3,在(2)的條件下,連接,K是上一點(diǎn)使,作平分,問(wèn)的大小是否發(fā)生變化?若不變,請(qǐng)直接寫(xiě)出其值.【答案】(1);見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)的大小不會(huì)發(fā)生變化,其值為,見(jiàn)解析【分析】(1)利用對(duì)頂角相等、等量代換可以推知,進(jìn)而可證;(2)利用(1)中平行線的性質(zhì)推知,然后根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理證得,結(jié)合,可證;(3)利用三角形外角定理、三角形內(nèi)角和定理求得;再由鄰補(bǔ)角的定義、角平分線的定義推得,然后由圖形中角與角的和差關(guān)系求得即可.【詳解】(1)如圖1,∵與互補(bǔ),∴.又∵,,∴,∴;(2)如圖2,由(1)知,,∴.又∵與的角平分線交于點(diǎn)P,∴,∴,即.∵,∴;(3)的大小不會(huì)發(fā)生變化,其值為理,由如下:∵∴∵∴∴∵平分∴∴∴的大小不會(huì)發(fā)生變化,其值為.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定,三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用,三角形的外角的性質(zhì),平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系,平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來(lái)尋找角的數(shù)量關(guān)系.10.(2023上·四川達(dá)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖1,,是直線上兩點(diǎn),點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè),過(guò)點(diǎn)的直線與過(guò)點(diǎn)的直線交于點(diǎn).直線交直線于點(diǎn),滿足點(diǎn)在線段上,.(1)求證:;(2)如圖2,點(diǎn)在直線,之間,平分,平分,點(diǎn),,在同一直線上,且,求的度數(shù);(3)在(2)的條件下,若點(diǎn)是直線上一點(diǎn),直線交直線于點(diǎn),點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè),請(qǐng)直接寫(xiě)出和的數(shù)量關(guān)系.(題中所有角都是大于且小于的角)【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè),和的數(shù)量關(guān)系是或或【分析】(1)根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到,即可判定;(2)過(guò)點(diǎn)作,則,由角平分線的定義可知,,;由,得,由,可得,對(duì)兩式進(jìn)行整理可得結(jié)論;(3)根據(jù)點(diǎn)和點(diǎn)的位置不同,分三種情況討論即可.【詳解】(1)解:證明:,,,;(2)過(guò)點(diǎn)作,如圖,則,由(1)知:,,,,平分,,平分,,,,,,,,,,解得;即的度數(shù)為;(3)在(2)的條件下,若點(diǎn)是直線上一點(diǎn),直線交直線于點(diǎn),點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè),和的數(shù)量關(guān)系是或或,理由如下:在(2)的條件下,,若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上,,,,若點(diǎn)在上,,,,;若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上,,,,,,.綜上所述,點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè),和的數(shù)量關(guān)系是或或.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì),角平分線的定義,三角形外角的性質(zhì).解題過(guò)程中,注意“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.11.(2023下·河北石家莊·七年級(jí)石家莊市第二十一中學(xué)??计谥校┤鐖D1,直線,直線與,分別交于點(diǎn)G,H,.將一個(gè)直角三角板按如圖1所示放置,使點(diǎn)N,M分別在直線,上,且在點(diǎn)G,H的右側(cè),已知.(1)若,則的度數(shù)為;(2)若,對(duì)說(shuō)明理由;(3)如圖2,已知的平分線交直線于點(diǎn)O.①當(dāng),時(shí),求的值;②現(xiàn)將三角板保持,并沿直線向左平移,在平移的過(guò)程中,直接寫(xiě)出的度數(shù)(用含的代數(shù)式表示).【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)①;②的度數(shù)為或【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì),得出,根據(jù),求出結(jié)果即可;(2)根據(jù)平行線的性質(zhì),得出,結(jié)合已知條件得出,最后根據(jù)平行線的判定得出結(jié)論即可;(3)①根據(jù),,得出,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出,根據(jù)角平分線的定義,得出,根據(jù),,根據(jù),得出即可得出答案;②分兩種情況:當(dāng)N在點(diǎn)G的右側(cè),當(dāng)點(diǎn)N在G點(diǎn)的左側(cè),分別畫(huà)出圖形,求出結(jié)果即可.【詳解】(1)解:∵,,∴,∵,∴;故答案為:.(2)證明:∵,∴,∵,∴,∵,∴,∴;(3)解:①∵,,∴,∴,∵平分,∴,∵,∴,∵,∴,即;②當(dāng)N在點(diǎn)G的右側(cè)時(shí),如圖所示:∵,,∴,∴,∵,∴,∵平分,∴,∵,∴;當(dāng)點(diǎn)N在G點(diǎn)的左側(cè)時(shí),如圖所示:∵,,∴,∴,∵,∴,∴,∵平分,∴,∵,∴;綜上分析可知,的度數(shù)為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì),角平分線的定義,平行公理的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合,畫(huà)出相應(yīng)的圖形,并注意分類討論.12.(2018下·湖南張家界·七年級(jí)校聯(lián)考期末)問(wèn)題情境:(1)如圖1,.求度數(shù).小穎同學(xué)的解題思路是:如圖2,過(guò)點(diǎn)P作,請(qǐng)你接著完成解答(2)如圖3,,點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí),.試判斷之間有何數(shù)量關(guān)系?(提示:過(guò)點(diǎn)P作),請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)在(2)的條件下,如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合),請(qǐng)你猜想之間的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)見(jiàn)解析(2),理由見(jiàn)解析(3)當(dāng)P在延長(zhǎng)線時(shí),;當(dāng)P在之間時(shí),.理由見(jiàn)解析【分析】(1)作出平行的輔助線,根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定得到同旁內(nèi)角互補(bǔ)的關(guān)系,直接求解;(2)作出平行的輔助線,根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定得到內(nèi)錯(cuò)角相等的關(guān)系,直接求解;(3)分類討論P(yáng)點(diǎn)的位置,同(1)(2)可證角度的數(shù)量關(guān)系,直接求解.【詳解】(1)過(guò)P作,∵,∴,∴,∴;(2),理由如下:如圖3,過(guò)P作交于E,∵,∴,∴,∴;(3)當(dāng)P在延長(zhǎng)線時(shí),;如圖4,過(guò)P作交于E,∵,∴,∴,∴;當(dāng)P在之間時(shí),.理由:如圖5,過(guò)P作交于E,∵,∴,∴,∴.【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)和判定,解題關(guān)鍵是平行線的判定為:兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ);兩直線平行,同位角相等.題型三:三角形內(nèi)角和定理13.(2022上·浙江杭州·八年級(jí)翠苑中學(xué)校聯(lián)考期中)如圖,中,分別平分和,過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),交于點(diǎn),那么下列結(jié)論:①;②為等腰三角形;③的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng);④.其中正確的是(

)A.①② B.①③ C.①②④ D.①②③④【答案】C【分析】①根據(jù)平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì),借助于等量代換可求出∠DBF=∠DFB;②同理可得②的結(jié)論;③用特殊值法,當(dāng)為等邊三角形時(shí),連接,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),角平分線定義和等腰三角形的判定便可得出,進(jìn)而得,便可得出;的周長(zhǎng)不等于的周長(zhǎng);④利用兩次三角形的內(nèi)角和,以及平分線的性質(zhì),進(jìn)行等量代換,可求的和之間的關(guān)系式.【詳解】解:①∵是的角平分線,∴,又,,,故①正確;②同理,,為等腰三角形故②正確;③假設(shè)為等邊三角形,則,如圖,連接,∵,,的周長(zhǎng),∵F是的平分線的交點(diǎn),∴第三條平分線必過(guò)其點(diǎn),即平分,∵為等邊三角形,∴,∴,,,,,,即的周長(zhǎng)的周長(zhǎng),故③錯(cuò)誤;④在中,(1),在中,,即(2),得,故④正確;故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì),以及三角形內(nèi)角和定理解答,涉及面較廣,需同學(xué)們仔細(xì)解答.尤其是第③小題在常規(guī)方法不能判斷正誤時(shí),可采用的特殊值法進(jìn)行判斷,也即是舉反例的方法.14.(2022上·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,△ABC中,∠CAB=∠CBA=48°,點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠OAB=12°,∠OBC=18°,則∠ACO+∠AOB=()A.190° B.195° C.200° D.210°【答案】D【分析】作于點(diǎn)D,延長(zhǎng)BO交CD于點(diǎn)P,連接AP.由題意可求出.由所作輔助線可判斷CD為AB的垂直平分線,即得出,從而得出,進(jìn)而可求出.由圖易求出,由三角形外角性質(zhì)可求出,即.再根據(jù),即得出,從而可證明,即得出AC=AO.由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求出的值,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出的值,相加即可.【詳解】如圖,作于點(diǎn)D,延長(zhǎng)BO交CD于點(diǎn)P,連接AP.由題意可求出,∵,∴.∵,∴CD為AB的垂直平分線,∴,∴,∴,∵,,∴.∵,∴.又∵,∴,∴AC=AO.∵,∴.∵,∴故選D.【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,三角形外角的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)以及三角形全等的判定和性質(zhì),綜合性強(qiáng),較難.正確做出輔助線是解題關(guān)鍵.15.(2020上·遼寧葫蘆島·八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,△ABC中,AD⊥BC交BC于D,AE平分∠BAC交BC于E,F(xiàn)為BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),F(xiàn)G⊥AE交AD的延長(zhǎng)線于G,AC的延長(zhǎng)線交FG于H,連接BG,下列結(jié)論:①∠DAE=∠F;②2∠DAE=∠ABD-∠ACE;③S△AEB:S△AEC=AB:AC;④∠AGH=∠BAE+∠ACB.其中正確的結(jié)論有(

)個(gè).A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【分析】如圖,①根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到∠DAE=∠F;②根據(jù)角平分線的定義得∠EAC=∠BAC,由三角形的內(nèi)角和定理得∠DAE=90°∠AED,變形可得結(jié)論;③根據(jù)三角形的面積公式即可得到S△AEB:S△AEC=AB:CA;④根據(jù)三角形的內(nèi)角和和外角的性質(zhì)即刻得到∠AGH=∠BAE+∠ACB.【詳解】解:如圖,AE交GF于M,①∵AD⊥BC,F(xiàn)G⊥AE,∴∠ADE=∠AMF=90°,∵∠AED=∠MEF,∴∠DAE=∠F;故①正確;②∵AE平分∠BAC交BC于E,∴∠EAC=∠BAC,∠DAE=90°∠AED=90°(∠ACE+∠EAC)=90°(∠ACE+∠BAC)=(180°2∠ACE∠BAC)=(∠ABD∠ACE),∴2∠DAE=∠ABD-∠ACE;故②正確;③∵AE平分∠BAC交BC于E,∴點(diǎn)E到AB和AC的距離相等,∴S△AEB:S△AEC=AB:CA;故③正確,④∵∠DAE=∠F,∠FDG=∠FME=90°,∴∠AGH=∠MEF,∵∠MEF=∠CAE+∠ACB,∴∠AGH=∠CAE+∠ACB,∴∠AGH=∠BAE+∠ACB;故④正確;故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義和性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),三角形的面積公式,三角形外角的性質(zhì),正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.16.(2021上·湖北孝感·八年級(jí)??计谀┤鐖D,,∠ACB=90°,AE平分∠BAC,BF⊥AE,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,且垂足為E,下面的結(jié)論:①AD=BF;②BF=AF;③AC+CD=AB;④AB=BF;⑤AD=2BE.其中正確的是(

)A.①②③ B.①③⑤ C.②③④ D.②④⑤【答案】B【分析】根據(jù),,得出,推出,證,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷①②;假如,求出,即可判斷③④,證根據(jù)全等三角形的判定得出,推出,即可判斷⑤.【詳解】解:,,,,,,,,,,,①正確;,②錯(cuò)誤;,,,,,,AE平分∠BAC,,BF⊥AE,,,,,.③正確;,,,④錯(cuò)誤;由,,平分,,,,,,,⑤正確;故答案為:①③⑤.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)三角形的內(nèi)角和定理,全等三角形的性質(zhì)和判定,角平分線的定義,垂線,等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握,綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行證明是證此題的關(guān)鍵.17.(2018下·湖北黃岡·七年級(jí)階段練習(xí))如圖,平分交于點(diǎn)E,,,M,N分別是延長(zhǎng)線上的點(diǎn),和的平分線交于點(diǎn)F.下列結(jié)論:①;②;③平分;④為定值.其中正確的有(

)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【分析】先根據(jù)AB⊥BC,AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E,AE⊥DE,∠1+∠2=90°,∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F,由三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.【詳解】解:∵AB⊥BC,AE⊥DE,∴∠1+∠AEB=90°,∠DEC+∠AEB=90°,∴∠1=∠DEC,又∵∠1+∠2=90°,∴∠DEC+∠2=90°,∴∠C=90°,∴∠B+∠C=180°,∴AB∥CD,故①正確;∴∠ADN=∠BAD,∵∠ADC+∠ADN=180°,∴∠BAD+∠ADC=180°,又∵∠AEB≠∠BAD,∴AEB+∠ADC≠180°,故②錯(cuò)誤;∵∠4+∠3=90°,∠2+∠1=90°,而∠3=∠1,∴∠2=∠4,∴ED平分∠ADC,故③正確;∵∠1+∠2=90°,∴∠EAM+∠EDN=360°90°=270°.∵∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F,∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°.∵AE⊥DE,∴∠3+∠4=90°,∴∠FAD+∠FDA=135°90°=45°,∴∠F=180°(∠FAD+∠FDA)=18045°=135°,故④正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)及角平分線的計(jì)算,熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關(guān)鍵.18.(2020上·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,已知△ABC中,AB=6,BC=5,AC=4,∠ABC,∠ACB的平分線相交于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)F作DE∥BC,交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,連AF,則下列結(jié)論:①DE=BD+CE;②∠BFC=90°+∠ABC;③△ADE的周長(zhǎng)為10;④S△ABF:S△ACF:S△BCF=6:4:5.正確的是()

A.①③④ B.①②③ C.①②③④ D.②③④【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的定義得出∠DBF=∠CBF,∠ECF=∠BCF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DFB=∠CBF,∠EFC=∠BCF,求出∠DFB=∠DBF,∠EFC=∠ECF,根據(jù)等腰三角形的判定得出BD=DF,CE=FE,即可判斷①;根據(jù)角平分線的定義得出∠FBC=∠ABC,,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC,求出∠FBC+∠FCB=90°﹣BAC,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BFC=180°﹣(∠FBC+∠FCB)=90°+∠BAC,即可判斷②;求出DE=BD+CE,求出△ADE的周長(zhǎng)=AB+AC,即可判斷③;過(guò)F作FM⊥AB于M,F(xiàn)N⊥BC于N,F(xiàn)Q⊥AC于Q,求出FM=FN=FQ,根據(jù)三角形的面積即可判斷④.【詳解】解:∵∠ABC,∠ACB的平分線相交于點(diǎn)F,∴∠DBF=∠CBF,∠ECF=∠BCF,∵DE∥BC,∴∠DFB=∠CBF,∠EFC=∠BCF,∴∠DFB=∠DBF,∠EFC=∠ECF,∴BD=DF,CE=FE,∴DE=DF+EF=BD+CE,故①正確;∵∠ABC,∠ACB的平分線相交于點(diǎn)F,∴∠FBC=∠ABC,,∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC,∴∠FBC+∠FCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°﹣∠BAC)=90°﹣∠BAC,∴∠BFC=180°﹣(∠FBC+∠FCB)=180°﹣(90°﹣∠BAC)=90°+∠BAC,故②錯(cuò)誤;∵BD=DF,CE=FE,∴DE=DF+EF=BD+CE,∵AB=6,AC=4,∴△ADE的周長(zhǎng)是AD+DE+AE=AD+BD+AE+CE=AB+AC=6+4=10,故③正確;

過(guò)F作FM⊥AB于M,F(xiàn)N⊥BC于N,F(xiàn)Q⊥AC于Q,∵∠ABC,∠ACB的平分線相交于點(diǎn)F,∴FM=FN,F(xiàn)N=FQ,∴FM=FN=FQ,設(shè)FM=FN=FQ=R,∵AB=6,BC=5,AC=4,∵S△ABF:S△ACF:S△BCF=():():()=AB:AC:BC=6:4:5,故④正確;故選:A.題型四:平分線和三角形內(nèi)角的綜合問(wèn)題19.(2023上·福建漳州·八年級(jí)統(tǒng)考期末)在中,平分,交于,點(diǎn)在線段上,過(guò)點(diǎn)作于平分,交于.

(1)如圖,當(dāng)時(shí),求證:;(2)當(dāng)時(shí),直線與直線相交于點(diǎn),猜想與的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.(要求:畫(huà)出相應(yīng)的示意圖再作答)【答案】(1)見(jiàn)解析(2)或,理由見(jiàn)解析【分析】(1)如圖,,得到,角平分線,得到,進(jìn)而得到,再根據(jù)三角形內(nèi)角和推出,即可;(2)分,兩種情況,畫(huà)出圖形,討論求解.【詳解】(1)證明:,.平分平分,..在和中,,.,.

(2)或.理由:①當(dāng)時(shí),如圖.

,.,.平分,.,,平分.,..,...②當(dāng)時(shí),如圖.

,..,..,...綜上所述,與的數(shù)量關(guān)系為或.【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì),角平分線的定義,三角形的內(nèi)角和定理,三角形的外角.解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)性質(zhì)和定理,利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解.本題的綜合形較強(qiáng),有一定的難度.20.(2022下·重慶·七年級(jí)重慶一中校考期中)如圖,在中,、的平分線交于點(diǎn)D,延長(zhǎng)交于E,G、F分別在上,連接,其中,.

(1)當(dāng)時(shí),求的度數(shù);(2)求證:.【答案】(1);(2)見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和與角平分線定義可得,再根據(jù)外角性質(zhì)即可求出,據(jù)此求解即可;(2)在線段上取一點(diǎn),使,連接,證明,得到,利用全等三角形的性質(zhì)與外角性質(zhì)得出,,證明,從而得到,即可證明結(jié)論.【詳解】(1)解:在中,∵,∴,∵的平分線交于點(diǎn)D,∴,∴,∵,∴,∵,∴,∴;(2)解:在線段上取一點(diǎn),使,連接,如圖所示:

平分,,在和中,,∴,,,,為的一個(gè)外角,,

為的一個(gè)外角,,平分,,,∵,在和中,,,,,.【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合,涉及到三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用、角平分線定義、外角性質(zhì)求角度、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),正確的作輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.21.(2019下·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末)在中,,點(diǎn)是上一點(diǎn),將沿翻折后得到,邊交射線于點(diǎn).

(1)如圖1,當(dāng)時(shí),求證:.(2)若,.①如圖2,當(dāng)時(shí),求的值.②是否存在這樣的的值,使得中有兩個(gè)角相等.若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)①;②存在,22.5或45【分析】(1)由同角的余角相等可得,由折疊的性質(zhì)可得,從而得到,最后根據(jù)平行線的判定即可得證;(2)①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理分別求出,,根據(jù)折疊的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可;②分三種情況:當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí);當(dāng),分別進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】(1)證明:∵,,∴,,∴,由翻折可知,,∴,∴;(2)解:①∵,,∴,,∵,,∴,∵,∴,由翻折可知,;②∵,,當(dāng)時(shí),即,解得,即的值為22.5,當(dāng)時(shí),,解得,∵,不合題意,故舍去;當(dāng),,解得,綜上可知,存在這樣的的值,使得中有兩個(gè)角相等,的值為22.5或45.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定,熟練掌握折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定,是解題的關(guān)鍵.22.(2022上·山西長(zhǎng)治·八年級(jí)統(tǒng)考期末)綜合與實(shí)踐已知和為等邊三角形,試解決以下問(wèn)題:(1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí),連結(jié),求證:.(2)如圖②擺放,連結(jié)和,試求和所成銳角的度數(shù).拓展應(yīng)用:(3)如圖③,某田地是一個(gè)四邊形區(qū)域,現(xiàn)測(cè)得米,米,,,求點(diǎn)B和點(diǎn)D之間的距離.(直接寫(xiě)出答案)【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)60米【分析】(1)證明,得到,即可得證;(2)延長(zhǎng)交于點(diǎn)P,證明,得到,求出的度數(shù),利用三角形內(nèi)角和定理,即可得解;(3)以為一條邊,在外作等邊,連接,證明,得到,在中,利用勾股定理求出的長(zhǎng),即可得解.【詳解】(1)證明:在等邊和等邊中,,,即,在和中,,,,,;(2)延長(zhǎng)交于點(diǎn)P,如圖:在等邊和等邊中,,,即,在和中,,,,,,即和所成銳角的度數(shù)為;(3)解:以為一條邊,在外作等邊,連接,如圖:則米,,,是等邊三角形,,,即,在和中,,,,,在中,由勾股定理,得(米),米,即點(diǎn)B和點(diǎn)D之間的距離為50米.【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理.熟練掌握等邊三角形的性質(zhì),證明三角形全等,是解題的關(guān)鍵.23.(2022上·吉林延邊·八年級(jí)統(tǒng)考期末)已知,和都是等邊三角形.(1)如圖1,連接、,求證:.(2)如圖2,若點(diǎn)D、E、C在一條直線上,點(diǎn)D、E在的上方,連接.與是否平行?證明你的結(jié)論.(3)點(diǎn)D在邊上,點(diǎn)D、E在邊的兩側(cè).過(guò)點(diǎn)D作,與直線交于點(diǎn)F,連接.若,則_____度.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)平行,證明見(jiàn)解析(3)或【分析】(1)證明,即可得證;(2)證明,,利用8字型圖,得到,進(jìn)而得到,即可得證;(3)分點(diǎn)在線段和線段的延長(zhǎng)線上,兩種情況,進(jìn)行討論求解即可.【詳解】(1)證明:∵和都是等邊三角形,∴,∴,∴,∴;(2)解:平行,證明如下:同法(1)可得:,∴,設(shè)交于點(diǎn),則:,∴,即:,∵是等邊三角形,∴,∴;(3)解:∵,∴,由(1)知:,∴,∴,,當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí),如圖則,∴;當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖,

則:,∴;綜上:或;故答案為:或.【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),平行線的判定,三角形的內(nèi)角和定理.熟練掌握等邊三角形的性質(zhì),證明三角形全等,是解題的關(guān)鍵.24.(2023上·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)統(tǒng)考期末)綜合與實(shí)踐(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn):如圖1,和均為等腰三角形,,,,點(diǎn)A、D、E在同一條直線上,連接BE.①求證:;②若,則的度數(shù)為_(kāi)_____.(2)類比探究:如圖2,和均為等腰直角三角形,,點(diǎn)A、D、E在同一條直線上,為中邊上的高,連接.①的度數(shù)為_(kāi)_____;②線段、與之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____.(3)拓展延伸:在(2)的條件下,若,,則四邊形的面積為_(kāi)_____.【答案】(1)①見(jiàn)解析;②(2)①;②(3)6【分析】(1)①先得出,進(jìn)而用判斷出,即可得出結(jié)論;②根據(jù),得出,求出,根據(jù)全等三角形的性質(zhì),得出,即可求出結(jié)果;(2)①同(1)的方法,即可得出結(jié)論;②由得出,再判斷出,即可得出結(jié)論.(3)根據(jù)(2)的結(jié)論求得,再根據(jù)四邊形的面積的面積的面積,通過(guò)計(jì)算即可求解.【詳解】(1)解:①∵,∴,∴,在和中,,∴,∴;∠ADC=∠BEC,,②∵,∴,∵,∴,∴,∵,∴,∴;故答案為:;(2)解:同(1)的方法得,,∴,∵是等腰直角三角形,∴,∴,∴,∴;故答案為:;②∵,∴,∵,,∴,在中,,,∴,∴,∴,∴;故答案為:;(3)解:由(2)得:,,∵為中邊上的高,∴;故答案為:6.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),判斷出是解本題的關(guān)鍵.25.(2023上·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,已知中,,,分別平分和.(1)如圖(1),求的度數(shù);(2)如圖(2),延長(zhǎng)交于,作交于,作交的延長(zhǎng)線于,垂足為,求證:;(3)如圖(3),若,是邊所在直線上一點(diǎn),分別關(guān)于,作的對(duì)稱點(diǎn),,它們到直線的距離分別記作和.①若點(diǎn)在邊上,直接寫(xiě)出的最大值;②若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上,取十個(gè)特殊的點(diǎn),使十個(gè)對(duì)應(yīng)的值依次為,,…,這十個(gè)自然數(shù),對(duì)應(yīng)的的值分別記作,,…,.直接寫(xiě)出的和.【答案】(1)(2)見(jiàn)解析;(3)①;【分析】(1)中,,得出,已知,分別平分和,得到,,推出,結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù);(2)在上取點(diǎn),使得,結(jié)合已知條件證明,得到,,推出,結(jié)合(1)可以得出是等腰直角三角形,,進(jìn)而得出,根據(jù),得到,推出,證明,即可得到;(3)①根據(jù)題意得:當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí),取得最大值;②類比①,先求出、的和,找出規(guī)律,即可求出的值【詳解】(1)中,∵,∴,∵,分別平分和,∴,,∴,∴,∴;(2)在上取點(diǎn),使得,∵平分,∴在和中,,∴,∴,,∴,由(1)得,∴,∵,∴,∴,又∵,∴,∴,在和中,∵,,∴,∵平分,∴,∴,在和中,,∴,∴;(3);1026.(2021上·湖南張家界·八年級(jí)統(tǒng)考期末)已知,,為直線上一點(diǎn),為直線上一點(diǎn),,設(shè),,(1)如圖1,若點(diǎn)在線段上,點(diǎn)在線段上,,,則;.(2)如圖2,若點(diǎn)在線段上,點(diǎn)在線段上,則,之間有什么關(guān)系式?說(shuō)明理由.(3)探究:當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)在線段上,(或在線段的延長(zhǎng)線上)時(shí),是否存在不同于(2)中的,之間的關(guān)系式?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)關(guān)系式.【答案】(1),;(2),理由見(jiàn)解析;(3)存在,或.【分析】本題是三角形綜合題,主要考查等腰三角形的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,解本題的關(guān)鍵是利用三角形的內(nèi)角和定理得出等式.(1)根據(jù)題意利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論;(2)根據(jù)題意利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論;(3)根據(jù)題意分①當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)在線段上,②當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上兩種情況,結(jié)合等腰三角形性質(zhì)進(jìn)行等量替換即可得出結(jié)論.【詳解】(1)解:∵,,∴,∵,,∴,∴,∴,∴.(2)解:設(shè),,∴,,在中,,在中,,∴.(3)解:①當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)在線段上,如圖:設(shè),,∴,,在中,,在中,,∴,②當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上,如圖,同①的方法可得.27.(2023下·海南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)??计谀┰谥校c的平分線相交于點(diǎn).(1)如圖1,如果,求的度數(shù);(2)如圖1,如果,用含的代數(shù)式表示;(3)探索:如圖2,作外角的平分線交于點(diǎn),試寫(xiě)出之間的數(shù)量關(guān)系;(4)拓展:如圖3,延長(zhǎng)線段交于點(diǎn),中,存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍,請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù).【答案】(1)(2)(3)(4)或或或【分析】(1)根據(jù)已知條件和角平分線的性質(zhì),求出和,再利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算;(2)根據(jù)已知條件和角平分線的性質(zhì),把和用和表示出來(lái),再利用表示出來(lái),最后利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行代換即可;(3)根據(jù)已知條件和角平分線的性質(zhì),求出和,再利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算;(4)根據(jù)已知條件求出的度數(shù),然后由(3)求出的,利用三角形內(nèi)角和求出,再分4種情況討論,求出的度數(shù).【詳解】(1)解:分別是和的角平分線,,,,;(2)解:分別是和的角平分線,,,;(3)解:分別是的角平分線,,,,,,,,,;(4)解:是的角平分線,是的角平分線,,,,,由(3)知,,,∵在中,存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍,,都是銳角,∴分四種情況討論:①,,,;②,,;③,,,,④,,解之得:,綜上可知:的度數(shù)為或或或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì),熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn),采用分類討論的思想解題,是解此題的關(guān)鍵.28.(2023下·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖1,在中,,,點(diǎn)D是邊上一動(dòng)點(diǎn),將線段繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接.

(1)求的度數(shù);(2)連接,若,,求線段的長(zhǎng);(3)如圖2,若,點(diǎn)M為中點(diǎn),的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)P,與交于點(diǎn)N,求線段的長(zhǎng).【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)利用等腰三角形的性質(zhì)先求得,然后證明,則對(duì)應(yīng)角相等即可求得.(2)利用求得B

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