中考數(shù)學模擬試題分類匯編專題-壓軸題+九年級數(shù)學上冊錯題集

中考數(shù)學模擬試題

分類匯編專題-壓軸題十九年級數(shù)學上冊錯題集

專題16壓軸題

一、選擇題

1.【2016廣東省深圳市二模】如圖，兩個反比例函數(shù)y產(chǎn)勺（其中k>0）和丫2=之在第一

xx

象限內(nèi)的圖象依次是G和C2,點P在C上.矩形PCOD交C2于A、B兩點，0A的延長線交G

于點E,EFLx軸于F點，且圖中四邊形BOAP的面積為6,則EF：AC為（）

A.73：1B.2：百C.2：1D.29：14

【答案】A

【解析】

313

試題分析：苜先根據(jù)反比例函數(shù)y2=-的解析式可得到S_==S_.x=：；X3=-,再由陰影部分面積為6可得

x22

619

到S定多PD8=%從而得到圖象c：的函數(shù)關(guān)系式為尸-,再算出AEOF的面積S_3?=-X9=-，可以得到^AOC

9

2-

=-=

與aEOF的面積比產(chǎn)^3然后證明△EOFsZkAOC,根據(jù)對應(yīng)邊之比等于面積比的平方可得到

2-

EF：AC=^:1.

故選：A.

考點：1、反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，2、以及相似三角形的性質(zhì)

二、填空題

1.12016廣東省廣州市海珠區(qū)一?！咳鐖D，正方形ABCD的邊長為3,對角線AC與BD相交

于點0,CM交BD于點N,若BM=1,則線段ON的長為

【解析】

試題分析：首先過點M作MH1AC于H,如圖，根據(jù)正方形的性質(zhì)得/MAH=45。，則4加為等腰直角三角

形,再求出AH=MH=2/1AM=—

X2=0,MB=MH=0,OC=AC=72+1CH=AC-AH=272+2-0=2+0,

2

然后證明△CONs^CHM,再利用相似比可計算出ON=1.

考點：1、正方形的性質(zhì)，2、相似三角形的判定與性質(zhì)，3、角平分線的性質(zhì)

4

2.如圖，AAOB與AACD均為正三角形，且頂點B、D均在雙曲線y=—(x>0)上，點A、

X

C在x軸上，連接BC交AD于點P,則△OBP的面積=

【解析】

試題分析：設(shè)等邊△AOB的邊長為a,等邊△ACD的邊長為b,由等邊三角形的性質(zhì)找出點B

的坐標(1a,且a),點I)的坐標為(a+gb,—b),過點B作BE，x軸于點E,過點

2222

P作PDx軸于點F,由等邊三角形的性質(zhì)可找出NBOA=60°=ZPAC,從而得出BO〃PA,根

rp

據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出一=—,再由BE_Lx軸，PF_Lx軸得出BE〃PF,由此得出

CBOC

rpprh

f="=能=—根據(jù)比例關(guān)系找出線段PF的長度，通過分割三角形以及三角形

CBBEOCa+b

的面積公式找出S.OBP=3/,由點B的坐標結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可得

4

考點：1、等邊三角形的性質(zhì)，2、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，3、三角形的面積公式,

4、平行線的性質(zhì)

三、解答題

17

1.【2016廣東省東莞市二?！咳鐖D，已知直線丫=一*+—與x軸、y軸分別相交于B、A兩點,

22

拋物線y=ax2+b?x+c經(jīng)過A、B兩點，且對稱軸為x=-3.

(1)求A、B兩點的坐標，并求拋物線的解析式；

(2)若點P以1個單位/秒的速度從點B沿x軸向點0運動，過點P作y軸的平行線交直線

AB于點M,交拋物線于點N,設(shè)點P運動的時間為t,MN的長度為s,求s與t之間的函數(shù)

關(guān)系式，并求出當t為何值時，s取得最大值？

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)直線的解析式分別令x=0、y=0,即可求得A、B的坐標，然后設(shè)出拋物

線的頂點式，用待定系數(shù)法得到二次函數(shù)的解析式即可;

(2)設(shè)BP=t(0<t<7),則0P=7-t,P(t-7,0),M(t-7,-),N(t-7,--(t

22

i7i

-7+3),+8),即可得出s=MN=--t'-t(0<t<7),由--<0,可知S有最大值，然后

222

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得s的最大值.

試題解析：(D,「直線y=gx+三與x軸'y軸分別相交于B、A兩點,

.,.令x=O,則y=1,令y=O,貝i」x=-7,

:*(0,1),B(-7,0),

???拋物線的對稱軸為直線x=-3.

二設(shè)拋物線的解析式為尸a(x+3)：也，

...拋物線過A(0,B(-7,0),

7[1

2解得J2.

16a+〃=0w=8

二拋物線的解析式為尸-1(x+3)；鋁.

(2)設(shè)BP=t(0<t<7),則0P=7-t,

AP(t-7,0)

?.?由于MP與y軸平行，且點M在直線AB上

AM(t-7,-),

2

「MN與y軸平行，且點N在拋物線上

AN(t-7,--(t-7+3)2+8),

2

1t17、

??s=MN=-—(t-7+3)+8--=-—t+—t(0VtV7),

2222

???-1CO,即S有最大值

2

77749

(一)+—X———.

22,28

考點：1、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式：2、一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；3、二次函數(shù)的

性質(zhì).

2.【2016廣東省廣州市番禹區(qū)】已知二次函數(shù)y=mx，nx+p圖象的頂點橫坐標是2,與x軸

交于A(x,,0)、

B(x2>0),X1<0<x2,與y軸交于點C,0為坐標原點，tan/CAO-tanNCB0=l.

(1)求證:n+4m=0；

(2)求m、n的值；

(3)當p>0且二次函數(shù)圖象與直線y=x+3僅有一個交點時，求二次函數(shù)的最大值.

【答案】(1)證明見解析(2)m=-,廿-1或!!1=-!,n=l(3)4

44

【解析】

試題分析：(D由題意可知拋物線的對稱軸為x=2,利用對稱軸公式x=-§,易證n+4m=0;

la

(2)本問利用三角函數(shù)定義和拋物線與x軸交點坐標性質(zhì)求解.特別需要注意的是拋物線的開口方向未定,

所以所求m、n的值將有兩組，不能遺漏；

(3)本問利用一元二次方程的判別式等于0求解.當P>0時，m、n的值隨之確定；將拋物線的解析式與

直線的解析式聯(lián)立，得到一個一元二次方程；由交點唯一可知，此一元二次方程的判別式等于0,據(jù)此求出

P的值，從而確定了拋物線的解析式；最后由拋物線的解析式確定其最大值.

試題解析：

(D二.二次函數(shù)y=mx:+nx+p圖象的頂點橫坐標是2,

J拋物線的對稱軸為x=2,

即一7；-二2,

2m

化簡得：n+4m=0.

(2)?.,二次函數(shù)y=mx^+nx+p與x軸交于A(x”0)、B(x2,0),Xi<0<x2,

/.0A=-Xi,OB=X2；

np

X|+X2=--------，X]*X2=-；

mm

令x=0,得y=p,

AC(0,p),

/.0C=pI.

OC_\P\

由三角函數(shù)定義得：lan/CAO=-2--￡==-M---==-_--W-，LanZCBO-----=—.

OA-%jX)OBx2

VtanZCAO-tanZCB0=l

將X1+X2=---n-，Xi"2二2一n代入得:

mtn

由⑴知n+4m=0,

當n=l時，m=--；當n二一1時，01=—.

44

.*.m>n的值為：m=—,n=-1(此時拋物線開口向上)或m=—,n=l(此時拋物線開口向

44

下).

(3)解：由(2)知，當p>0時，n=l,

???拋物線解析式為：尸一9X：+X".

4

聯(lián)立拋物線產(chǎn)一:x：+x+p與直線y=x+3解析式得到：-2x：+x+p=x+3,

44

化簡得：x:-4(p-3)R①.

...二次函數(shù)圖象與直線y=x+3僅有一個交點，

..?一元二次方程①的判別式等于0,

即△=0：+16(p-3)=0,解得p=3.

二拋物線解析式為：y=--yx:+x+p=y=--x:+x+3=--(x-2):+4,

444

當x=2時，二次函數(shù)有最大值，最大值為4.

「?當P>0且二次函數(shù)圖象與直線尸x+3僅有一個交點時，二次函數(shù)的最大值為4.

考點：二次函數(shù)綜合題

1,

3.【2016廣東省惠州市惠陽區(qū)一?！恳阎谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，拋物線y=法

與x軸相交于點A,B,與y軸相交于點C,直線y=x+4經(jīng)過A,C兩點，

(1)求拋物線的表達式；

(2)如果點P,Q在拋物線上(P點在對稱軸左邊)，且PQ〃A0,PQ=2A0,求P,Q的坐標;

(3)動點M在直線y=x+4上，且AABC與△COM相似，求點M的坐標.

33

【解析】

試題分析：根據(jù)自變蚩與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A、C點坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

(2)根據(jù)平行于x軸的直線與拋物線的交點關(guān)于對稱軸對稱，可得P、Q關(guān)于直線x=-l對稱，根據(jù)K的

長，可得P點的橫坐標，Q點的橫坐標，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案；

(3)根據(jù)兩組對邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可得CM的長，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),

可得MH的長，再根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案

試題解析：⑴當x=0時,y=4,即C(0,4),

當y=0時，x+4=0,解得x=-4,即A(-4,0),

將A、C點坐標代入函數(shù)解析式，得

±x(-4)2-46+4=0

<2,

c=4

解得1b=,-1,

c=4

拋物線的表達式為y=|x2-x+4,

(2)PQ=2A0=8,

又PQ〃AO,即P、Q關(guān)于對稱軸x=-1對稱,

PQ=8,-1-4=-5,

當x=-5時，y=-X(-5)2-(-5)+4=-,即P(-5,

22

7

-1+4=3,即Q(3,--)；

2

77

P點坐標(-5,--)，Q點坐標(3,--)；

22

(3)ZMCO=ZCAB=45°,

2AA一℃CMs4CM

①當△MC0S2ICAB時，——=——,即一=一;=,

BAAM640

80

------?

當x=—-時，y=~—+4=—,

333

,OCCM4CM-

當△OCMs^CAB時L，——=——，即一=解得CM=30,

CAAB4V26”

如圖2

圖2

5

過M作MH_Ly軸于H,MH=CH=—CM=3,

2

當x=-3時，y=-3+4=1,

AM(-3,1),

綜上所述：M點的坐標為(-?8,-4),(-3,1).

33

考點：二次函數(shù)綜合題

4.12016廣東省汕頭市澄海區(qū)一?！咳鐖D，在RtZ\ABC中，ZA=90°,AB=6,AC=8,D,E

分別是邊AB,AC的中點，點P從點D出發(fā)沿DE方向運動，過點P作PQLBC于Q,過點Q

作QR〃BA交AC于R,當點Q與點C重合時，點P停止運動.設(shè)BQ=x,QR=y.

(1)求點D到BC的距離DH的長；

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍)；

(3)是否存在點P,使△PQR為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的x的值；若不

存在，請說明理由.

【解析】

試題分析：（D根據(jù)三角形相似的判定定理求出△BHDS^BAC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出DH的長;

（2）根據(jù)△RQCS^ABC,根據(jù)三角形的相似比求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）畫出圖形，根據(jù)圖形進行討論：

①當PQ=PR時，過點P作PMJLQR于M,貝ijQM=RM.由于Nl+/2=90°,ZC+Z2=90°,/.Z1=ZC.

84QM4.

.".cosZl=cosC=—=—,=即可求出X的值；

312

②當PQ=RQ時，-w,x=6;

③當PRWR時，則R為PQ中垂線上的點，于是點R為EC的中點，故CR=-CE=1AC=2.由于tanC=^-=—

24CRCA

15

x=一,

2

試題解析：（1）在Rtz^ABC中，

VZA=90°,AB=6,AC=8,

：.^^AB2+AC2=1°-

,.,ZD1IB=ZA=9O°,ZB=ZB.

.DHBD

BD312

；.DH=----AC=—X8=—

BC105

(2),/QR//AB,

/.ZQRC=ZA=90O.

?.-Zc=Zc,

.,.△RQCCOAABC,

.RQ_QC.y10-x

"U~'BC，"6IO->

、一，，一一3

即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：

(3)存在，分三種情況：

①當PQ=PR時，過點P作PM1QR于M,則QM=RM.

VZ1+Z2=9O°,ZC+Z2=^0°,

.,.Zl=Zc.

.，84

??C0s/l-cosC—1?

105

OM4

"~QP~~5,

If3[

-x+6,

.2(5J_4

,,12~5，

T

.18

..x=----.

5

312

②當PQ=RQ時，-《x+6二一，

.\x=6.

③作EM_LBC,RN±EM,

???EM〃PQ,

當PR=QR時，則R為PQ中垂線上的點，

???EN=MN,

AER=RC,

???點R為EC的中點,

11

ACR=-CE=-AC=2.

24

QRBA

?tanC----=---,

CRCA

???一丁+6=6

28

15

綜上所述，當x為一或6或一時，△PQR為等腰三角形.

52

5.12016廣東省汕頭市金平區(qū)一?！坑幸桓敝苯侨前?，在三角板ABC中，ZBAC=90°,

ZC=60°,AB=6,在三角板DEF中，ZEDE=90°,ZE=45°,EF=6.將這副直角三角板按如

圖1所示位置擺放，點A與點F重合，點E、F、A、C在同一條直線上.現(xiàn)固定三角板ABC,

將三角板DEF以每秒1個單位的速度沿邊AC勻速運動，DF與AB相交于點M.

(1)如圖2,連接ME,若/EMA=67.5°,求證：Z\DEM絲ZkAEM；

(2)如圖3,在三角板DEF移動的同時，點N從點C出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿

CB向點B勻速移動，當三角板DEF的頂點D移動到AB邊上時，三角板DEF停止移動，點N

也隨之停止移動.連接FN,設(shè)四邊形AFNB的面積為y,在三角板DEF運動過程中，y存在

最小值，請求出y的最小值；

(3)在(2)的條件下，在三角板DEF運動過程中，是否存在某時刻，使E、M、N三點共線,

若存在，請直接寫出此時AF的長；若不存在，請直接回答.

【答案】(1)證明見解析(2)二一(3)不存在

2

【解析】

試題分析：(D只要證明/MED=/MEA=22.5°,即可利用AAS證明aDE儂△AEM.

(2)如圖2中，作FG1CB,垂足為G.設(shè)AFK,則CN=2x,想辦法構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)解決

問題.

(3)不存在.假設(shè)存在，推出矛盾即可.

試題解析：(D如圖2中，：NEMA=67.5°,ZBAE=90°

.-.ZMEA=90°-ZEMA=90°-67.5°=22.5°,

/.ZMED=ZDEA-ZEMA=45<>-22.5°=22.5°=ZMEA,

在和中，

ZD=NE4M

?AMED=2MEA,

EM=EM

二.△DE貶△AEM.

(2)解：如圖2中，作FGLCB,垂足為G.設(shè)AF=x,則CN=2x.

在RtZkABC中,ZC=60°,AB=6,

AC=-~AB—=亍6=c2A.3,

tan60V3

.■.CF=2-s/3-x,

在RtZ\CFG中，F(xiàn)G=CF?sin600=2石-x)----x,

22

cc11

.,?y=S4ABc-S.CFN--AC?/\B--CN-FG,

11g

=-?2Jr3X6--?2x?(3-—x)

222

2

-^x-3x+6^

2

，y的最小值為迪.

2

解：如圖3中，作NHj_NH于H.

當E、寅、N共線時，,「NH//AM,

AE

??而一函’

?t_____6_-_t____

6-?+25/3-1

解得t=-2若，不合題意.

...不存在某時刻，使E、M、N三點共線.

考點：1、三角形綜合題、2、全等三角形的判定和性質(zhì)、3、二次函數(shù)、4、勾股定理、5、

平行線性，質(zhì)

6.【2016廣東省廣州市華師附中一?！吭谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，己知拋物線y=-Lx%bx+c（b,

2

c為常數(shù)）的頂點為P,等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標為（0,-1）,C的坐標為（4,

3）,直角頂點B在第四象限.

（1）如圖，若該拋物線過A,B兩點，求該拋物線的函數(shù)表達式；

（2）平移（1）中的拋物線，使頂點P在直線AC上滑動，且與AC交于另一點Q.

(i)若點M在直線AC下方，且為平移前(1)中的拋物線上的點，當以M、P、Q三點為頂

點的三角形是等腰直角三角形時，求出所有符合條件的點M的坐標；

取BC的中點N，連接NP,BQ.試探究艱%是否存在最大值？若存在‘求出該

最大值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)y=-,x2+2x-1(2)i：Mi(4,-1),M2(-2,-7),石，-2+6),

2

Mi(1-A/5,-2->/5)；ii:~~~~

【解析】

試題分析：(D先求出點B的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達式；

(2)i)苜先求出直線AC的解析式和線段PQ的長度，作為后續(xù)計算的基礎(chǔ).

若AMPQ為等腰直角三角形，則可分為以下兩種情況：

①當PQ為直角邊時：點M到式I的距離為2.此時，將直線AC向右平移4個單位后所得直線(y=x-5)

與拋物線的交點，即為所求之M點；

②當PQ為斜邊時：點M到PQ的距離為0.此時，將直線AC向右平移2個單位后所得直線(y=x-3)與

拋物線的交點，即為所求之M點.

p

ii)由⑴可知，PQ=2aL為定值’因此當NP+BQ取最小值時，麗逅Q有最大值.

如答圖2所示，作點B關(guān)于直線AC的對稱點B,,由分析可知，當B'、Q、F(AB中點)

三點共線時，NP+BQ最小，最小值為線段B'F的長度.

試題解析：⑴?.等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標為(0,-1),C的坐標為(4,3)

...點B的坐標為(4,-1).

??.拋物線過A(0,-1),B(4,-1)兩點，

1，解得：b=2,c=-1,

一一x16+46+c=-1

I2

.?拋物線的函數(shù)表達式為：尸-gx：+2x-L

(2)方法一：

i),/A(0,-1),C(4,3),

直線AC的解析式為：y=x-1.

設(shè)平移前拋物線的頂點為P。，則由(1)可得P。的坐標為(2,1),且P。在直線AC上.

?.?點P在直線AC上滑動，.?.可設(shè)P的坐標為(m,m-1),

則平移后拋物線的函數(shù)表達式為：y=--(x-m)+-i.

2m

y=x-l

解方程組：］1/、2/八，

y=+(根-1)

解得廣=mx2=m-2

=m-\y2=m-3

AP(m,m-1),Q(m-2,m-3).

過點P作PE〃x軸，過點Q作QF〃y軸，則

PE=m-(m-2)=2,QF=(m-1)-(m-3)=2.

?**PQ-2>/2=APo.

若以M、P、Q三點為頂點的等腰直角三角形，則可分為以下兩種情況:

①當PQ為直角邊時：點M到PQ的距離為20(即為PQ的長).

由A(0,-1),B(4,-1),Pc(2,1)可知，

△ABP：為等腰直角三角形，且BP：1AC,BP：=2^2.

如答圖1,過點B作直線L〃AC,交拋物線尸-gx：+2x-l于點M,則M為符合條件的點.

...可設(shè)直線L的解析式為：尸x+b：,

'.'B(4,-1),-l=4+bi,解得b1=-5,

直線L的解析式為：y=x-5.

②當PQ為斜邊時：MP=MQ=2,可求得點M到PQ的距離為0.

如答圖2,取AB的中點F,則點F的坐標為(2,-1).

由A(0,-1),F(2,-1),P?(2,1)可知：

△AFP。為等腰直角三角形，且點F到直線AC的距離為逝.

過點F作直線k〃AC,交拋物線y=-1x2+2x-1于點M,則M為符合條件的點.

.?.可設(shè)宜線L的解析式為：y=x+b2,

VF(2,-1),-l=2+b2,解得b尸-3,

直線k的解析式為：y=x-3.

y=x-3

x}=1+V5%2~1-A/5

解方程組

y=-2+6%=-2-小

.一(1+6，-2+75),M,(1-V5.-2-V5).

綜上所述，所有符合條件的點M的坐標為：

Mi(4,-1),M2(-2,-7),M：((1+V5，-2+V5)?M4(1-75,-2-75).

方法二：

,.'A(0,1),C(4,3),

.\Lc：y=x-1,

...拋物線頂點P在直線AC上，設(shè)P(t,t-D,

..?拋物線表達式：y=-^(x-O2+f-l,

???L：與拋物線的交點Q(t-2,t-3),

???一瓜P、Q三點為頂點的三角形是等腰直角三角形，P(t,t-1),

①當M為直角頂點時，M(t,t-3),-^C+2t-l=t-3,

.\t=l±5/5,

/.Mt(1+75,75-2),M：(1-45,-2-75),

②當Q為直角頂點時，點M可視,為點P繞點Q順時針旋轉(zhuǎn)90°而成，

將點Q(t-2,t-3)平移至原點Q'(0,0),則點P平移后P'(2,2),

將點P'繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°,則點干(2,-2),

將Q'(0,0)平移至點Q(t-2,t-3),則點M'平移后即為點M(t,t-5),

—1~+2t—\-t-5,

2

ti=4,ta="2,

(4,-1),M2(-2,-7),

③當P為直角頂點時，同理可得茹(4,-1),Mo(-2,-7),

綜上所述，所有符合條件的點M的坐標為：

Mi(4,-1),(-2,-7),\h(l+行，-2+6)，(1-火，-2-逐).

PQ

⑴市，存在最大值.理由如卜:

LpQ

由i)知PQ=2也為定值，則當NP+BQ取最小值時，NP+.Q有最大值.

如答圖2,取點B關(guān)于AC的對稱點可，易得點B，的坐標為(0,3),BQ=ByQ.

連接QF,FN,QB',易得FN〃PQ,且FN=PQ,

二四邊形PQFN為平行四邊形.

.,.NP=FQ.

.■.NP+BQ=FQ+ByQ'FB，=>/2r+4？=2>/5>

.,?當丁、Q、F三點共線時，NP+BQ最小，最小值為2有.

.PQ的曰+牯*2JI而

…、一“的最大值為一%=三.

NP+BQ2#5

考點：二次函數(shù)綜合題

7.【2016廣東省廣州市海珠區(qū)一?！咳鐖D，拋物線k^x'+bx+c與x軸交于點A、B,交y

2

軸于點C(0,-26)，且拋物線對稱軸x=-2交x軸于點D,E是拋物線在第3象限內(nèi)一

動點.

(1)求拋物線力的解析式；

(2)將△OCD沿CD翻折后，0點對稱點0'是否在拋物線外上？請說明理由.

（3）若點E關(guān)于直線CD的對稱點E'恰好落在x軸上，過E'作x軸的垂線交拋物線yl

于點F,①求點F的坐標；②直線CD上是否存在點P,使IPE-PFI最大？若存在，試寫出PE

⑵不在(3)①F(2,6-2&)②存在，6-2有

【解析】

試題分析：（D先由拋物線對稱軸方程可求出b=2,再把點C（。，-）代入yi=1x'+bx+c可得0=273，

所以拋物線解析式為y尸gx?+2x-2⑺；

（2）過0,點作1Hix軸于H,如圖1,由（D得D（-2,0）,C（0,273）,在RtZkOCD中利用三

角函數(shù)可計算出NODC=60。，再利用折彘的性質(zhì)得O'D=0D=2,Z0yDC=Z0DC=60°,所以NO,DH=60。，

接著在RtAO/DH中利用三角函數(shù)可計算出0,護小，利用勾股定理計算出DH=1,則0，（-3,-/），

然后根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征判斷0,點是否在拋物線,上；

（3）①利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征設(shè)E（仇，\:+2m-2V3>（m<0）,過E作EH±x軸于H,連

結(jié)DE,如圖2,貝I]DH=-2-m,EH=-；m：-2m+2有，由（2）得/0DC=60。，再利用軸對稱性質(zhì)得DC平分

NEDE，，DE=DE，,則/EDE，=120。，所以NEDH—O。，于是在RtaEDH中利用三角函數(shù)的定義可得-gm：

-2m+273=（-2-m）出,解得*2名（舍去），肽=-4,則E（-4,-273）,接著計算出DE=4,

所以DE'=4,于是得到1（2,0）,然后計算x=2時得函數(shù)值即可得到F點坐標；

②由于點E關(guān)于直線CD的對稱點E'恰好落在x軸，則PE=PE',根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得

|PE'-PF|WE'F（當點P、E'F共線時，取等號），于是可判斷直線CD上存在點P,使

PE-PFI最大，最大值為6-28.

試題解析：(1)???拋物線對稱軸x=-2,

b

'-2x-=-2,

2

解得b=2,

2

?.?點C(0,-273)在拋物線yL=-x+bx+c上，

2

，c=2百，

???拋物線解析式為y)=1x2+2x-26；

(2)0點對稱點X不在拋物線y：上.理由如下：

過0'點作O'Hix軸于H,如圖1,由(1)得D(-2,0),C(0,2+),

在RtZkOCD中，,/0D=2,OC=73,

■>8

..tanN0DC=----=,

2

.,.ZODC=60°,

「△OCD沿CD翻折后，0點對稱點0，，

二。'D=0D=2,/O'DC=ZODC=?O°,

/.ZO7DH=60°,

Qfff

在RtZkO'DH中，sin/0'DH=^^-,

二.O'H=2sin600=^3,

.?.DH=j22-(&j=1,

/.07(-3,一用，

?.,當x=-3時，y產(chǎn);x、2x-26=；X9+2X(-3)-2月￥-百，

工。點不在拋物線V上;

過E作EHlx軸于H,連結(jié)DE,如圖2,貝(|DH=-2-m,EH=-(m:+2m-2)=--^m2-2m+2^,

由(2)得/0DC=60°,

???點E關(guān)于直線CD的對稱點E，恰好落在x軸上，

二.DC垂直平分EE',

；.DC平分/EDE',DE=DE',

二.NEDE'=120°,

.,.ZEDH=60°,

EH

在RtAEDH中>'.，tanZEDH=——)

HD

.'.EH=HDtan60o>艮［1-5m?-2m+2拒-(一2一m)拒>

整理得/+(4+2)m-873=0,解得歐=2內(nèi)(舍去)>處二-4,

.'.E(-4,-2超),

.,.HD=2,EH=273

?,陣"也可=4,

???DE'=4,

：.E,(2,0),

而E'F±x軸，

???F點的橫坐標為2,

當x=2時，yi=-x，2x-2百=6-26,

.\F(2,6-273)；

②???點E關(guān)于直線CD的對稱點E'恰好落在x軸，

...PE=PE',

PE'-PF|WE'F(當點P、E'F共線時，取等號)，

直線GD上存在點P,使|PE-PF|最大,最大值為6-2米.

8.12016廣東省廣州市增城市一?！咳鐖D，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x?+bx+c

與y軸交于點C,與x軸交于A,B兩點，點B的坐標為(3,0),直線y=-x+3恰好經(jīng)過B,

C兩點

(1)寫出點C的坐標；

(2)求出拋物線y=x?+bx+c的解析式，并寫出拋物線的對稱軸和點A的坐標；

(3)點P在拋物線的對稱軸上，拋物線頂點為D且NAPD=/ACB,求點P的坐標.

【答案】(1)C(0,3)；(2)y=x2-4x+3=(x-1)(x-3),對稱軸為x=2,點A(1,0)；

(3)(2,2)或(2,-2)

【解析】

試題分析：(1)由直線y=-x+3可求出C點坐標：

(2)由B,C兩點坐標便可求出拋物線方程，從而求出拋物線的對稱軸和A點坐標；

(3)作出輔助線0E,由三角形的兩個角相等，證明△AECS^AFP,根據(jù)兩邊成比例，便可

求出PF的長度，從而求出P點坐標.

試題解析：(1)y=-x+3與y軸交于點C,故C(0,3).

(2):拋物線y=x?+bx+c過點B,C,

19+3/?+c=O

c=3

解得《

拋物線的解析式為y=x?-4x+3=(x-1)X(x-3),

...對稱軸為x=2,點A(1,0).

(3)由y=x：-4x+3,

可得D(2,-1),A(1,0),

/.0B=3,OC=3,0A=l,AB=2,

可得^OBC是等腰直角三角形，

/.ZOBC=45°,C5=30.

如圖，設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點F,

過點A作AEJ_BC于點E.

，NAEB=90度.

可得BE=AE=&，C￡=2A/2.

在與△AFP中，ZAEC=ZAFP=90°,ZACE=ZAPF,

.?.△AEC^AAFP.

.AECEy[2_2V2

"AFPF1-PF

解得PF=2.

或者直接證明△ABCsaADP得出Pl)=3,

再得PF=2.

???點P在拋物線的對稱軸上，

...點P的坐標為(2,2)或(2,-2).

考點：二次函數(shù)綜合題

9.【2016廣東省揭陽市普寧市二?！咳鐖D，拋物線y=x、bx+c過點A(3,0),B(1,0),

交y軸于點C,點P是該拋物線上一動點，點P從C點沿拋物線向A點運動(點P不與A重

合)，過點P作PD〃y軸交直線AC于點D.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當D在線段AC上運動時，求點P在運動的過程中線段PD長度的最大值；

(3)在拋物線對稱軸上是否存在點M使!MA-MC|最大？若存在請求出點M的坐標，若不存

【解析】

試題分析：(D把點A、B的坐標代入拋物線解析式，解方程組得到b、c的值，即可得解；

(2)求出點C的坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再根據(jù)拋物線解析式設(shè)出點P的坐標，

然后表示出PD的長度，再根據(jù)二次I羽數(shù)的最值問題解答；

(3)根據(jù)拋物線的對稱性可知MA=MB,再根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊可知點M為直線CB與對稱

軸交點時，IMA-MCI最大，然后利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再求解即可.

試題解析：(1)?.?拋物線y=x「+bx+c過點A(3,0),B(1,0),

9+3b+c=0

l+/?+c=0

匠T

解得.，

c=3

.?.拋物線解析式為y=x?-4x+3；

(2)令x=0,則y=3,

.?點C(0,3),

則直線AC的解析式為y=-x+3,

設(shè)點P(x,x:-4x+3),

???PD〃y軸，

.,.點D(X,-x+3),

39

.*.PD=(-x+3)-(x'-4x+3)=-x'+3x=-(x---)*+-,

24

,.,a=-l<0,

39

...當x=三時，線段PD的長度有最大值：；

24

(3)由拋物線的對稱性，對稱軸垂直平分AB,

由三角形的三邊關(guān)系，MA-MC|<BC,

.?.當M、B、C三點共線時,|MA-MC|最大，為BC的長度，

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(kWO),

k+b=O

則《

b=3

k=-3

解得《

b=3

，直線BC的解析式為y=-3x+3,

:拋物線y=x2-4x+3的對稱軸為直線x=2,

...當x=2時，y=-3X2+3=-3,

...點M(2,-3),

即，拋物線對稱軸上存在點M(2,-3)，使|MA-MCI最大.

考點：二次函數(shù)綜合題

10.【2016廣東省深圳市模擬】拋物線y=ax?+bx+4A(1,-1),B(5,-1),與y軸交

于點C.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)如圖1,連接CB,若點P在直線BC上方的拋物線上，ABCP的面積為15,求點P的坐

林；

(3)如圖2,。01過點A、B、C三點，AE為直徑，點M為弧ACE上的一動點(不與點A,E

重合)，NMBN為直角，邊BN與ME的延長線交于N,求線段BN長度的最大值.

【答案】(1)y=x-6x+4；(2)(6,4)或(-1,11)(3)3713

【解析】

試題分析：（D將點A、B的坐標代入拋物線的解析式，得到關(guān)于a、b的方程，從而可求得a、b的值；

（2）設(shè)點P的坐標為P（m,m--6m+4）,根據(jù)S.bpnb,由=S^acErp-5丁￡2一5,國口，得到關(guān)于m

的方程求得m的值，從而可求得點P的坐標；

3

<3）苜先證明△EABsZkNMB,從而可得到處=當MB為圓的直徑時，NB有最大值.

2

a+b+4=-1

試題解析：（D將點A、B的坐標代入拋物線的解析式得:

25〃+56+4=—1'

a—1

解得：

b=-6

??.拋物線得解析式為y=x：-6x+4；

設(shè)點P的坐標為P(m,m2-6m+4)

SACBP=15,B|J：SACBP二S梯形CEDP-SAGER-SAPBDJ

—m(5+mL-6m+4+l)--X5X5--(m-5)(m，-6m+5)=15,

222

化簡得：m2-5m-6=0,

解得：m=6,或m=-l,

???點P的坐標為(6,4)或(-L11),

(3)連接AB、EB,

：AE是圓的直徑，

...NABE=90°,

.\ZABE=ZMBN,

又?.?NEAB=NEMB,

.,.AEAB^-ANMB,

".'A(1,~1),B(5,-1),

...點。:的橫坐標為3,

將x=0代入拋物線的解析式得：y=4,

.?.點C的坐標為(0,4),

設(shè)點01的坐標為(3,m),

VOiC^.A,

A^32+(/n-4)2-V13-

解得：m=2,

，點a的坐標為⑶2),

.\0^=^32+(2-4)2，

在RtAABE中，由勾股定理得：BE=JAE1-AB丁=2-4?=6,

..?點E的坐標為（5,5）,

.".AB=4,BE=C,

,."△EAB^ANMB,

.AfB

…商一麗’

?4_A用

.7一麗，

3

2

二當MB為直徑時，MB最大，此時NE最大,