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文檔簡介
2025屆陜西省旬陽中學高二上數(shù)學期末調(diào)研模擬試題請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.現(xiàn)有60瓶飲料,編號從1到60,若用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取6瓶進行檢驗,則所抽取的編號可能為()A.3,13,23,33,43,53 B.2,14,26,38,40,52C.5,8,31,36,48,54 D.5,10,15,20,25,302.已知公比不為1的等比數(shù)列,其前n項和為,,則()A.2 B.4C.5 D.253.已知焦點在軸上的雙曲線的一條漸近線方程為,則該雙曲線的離心率為()A. B.C.2 D.4.在平形六面體中,其中,,,,,則的長為()A. B.C. D.5.橢圓C:的焦點為,,點P在橢圓上,若,則的面積為()A.48 B.40C.28 D.246.已知是拋物線的焦點,是拋物線的準線,點,連接交拋物線于點,,則的面積為()A.4 B.9C. D.7.已知橢圓與橢圓,則下列結(jié)論正確的是()A.長軸長相等 B.短軸長相等C.焦距相等 D.離心率相等8.在等差數(shù)列中,已知,則數(shù)列的前9項和為()A. B.13C.45 D.1179.方程化簡的結(jié)果是()A. B.C. D.10.如圖,在三棱錐中,是線段的中點,則()A. B.C. D.11.已知直線:恒過點,過點作直線與圓:相交于A,B兩點,則的最小值為()A. B.2C.4 D.12.已知等差數(shù)列滿足,,數(shù)列滿足,記數(shù)列的前n項和為,若對于任意的,,不等式恒成立,則實數(shù)t的取值范圍為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,則正整數(shù)___________.14.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減,則的取值范圍是______.15.已知偶函數(shù)部分圖象如圖所示,且,則不等式的解集為______.16.分別過橢圓的左、右焦點、作兩條互相垂直的直線、,它們的交點在橢圓的內(nèi)部,則橢圓的離心率的取值范圍是________三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖在直三棱柱中,為的中點,為的中點,是中點,是與的交點,是與的交點.(1)求證:;(2)求證:平面;(3)求直線與平面的距離.18.(12分)在①,②,③這三個條件中任選一個,補充在下面問題的題設條件中.問題:等差數(shù)列的公差為,滿足,________?(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和得到最小值時的值.19.(12分)已知橢圓C:的長軸長為,P是橢圓上異于頂點的一個動點,O為坐標原點,A為橢圓C的上頂點,Q為PA的中點,且直線PA與直線OQ的斜率之積恒為-2.(1)求橢圓C的方程;(2)若斜率為k且過上焦點F的直線l與橢圓C相交于M,N兩點,當點M,N到y(tǒng)軸距離之和最大時,求直線l的方程.20.(12分)如圖,在長方體中,,.點E在上,且(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值21.(12分)已知圓心在直線上,且過點、(1)求的標準方程;(2)已知過點的直線被所截得的弦長為4,求直線的方程22.(10分)如圖1是直角梯形,以為折痕將折起,使點C到達的位置,且平面與平面垂直,如圖2(1)求異面直線與所成角的余弦值;(2)在棱上是否存在點P,使平面與平面的夾角為?若存在,則求三棱錐的體積,若不存在,則說明理由
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】求得組距,由此確定正確選項.【詳解】,即組距為,A選項符合,其它選項不符合.故選:A2、B【解析】設等比數(shù)列的公比為,根據(jù)求得,從而可得出答案.【詳解】解:設等比數(shù)列的公比為,則,所以,則.故選:B.3、D【解析】由題意,化簡即可得出雙曲線的離心率【詳解】解:由題意,.故選:D4、B【解析】根據(jù)空間向量基本定理、加法的運算法則,結(jié)合空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)進行求解即可.【詳解】因為是平行六面體,所以,所以有:,因此有:,因為,,,,,所以,所以,故選:B5、D【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合橢圓定義求出,再判斷形狀計算作答.【詳解】橢圓C:的半焦距,長半軸長,由橢圓定義得,而,且,則有是直角三角形,,所以的面積為24.故選:D6、D【解析】根據(jù)題意求得拋物線的方程為和焦點為,由,得到為的中點,得到,代入拋物線方程,求得,進而求得的面積.【詳解】由直線是拋物線的準線,可得,即,所以拋物線的方程為,其焦點為,因為,可得可得三點共線,且為的中點,又因為,,所以,將點代入拋物線,可得,所以的面積為.故選:D.7、C【解析】利用,可得且,即可得出結(jié)論【詳解】∵,且,橢圓與橢圓的關系是有相等的焦距故選:C8、C【解析】根據(jù)給定的條件利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算作答【詳解】在等差數(shù)列中,因,所以.故選:C9、D【解析】由方程的幾何意義得到是橢圓,進而得到焦點和長軸長求解.【詳解】∵方程,表示平面內(nèi)到定點、的距離的和是常數(shù)的點的軌跡,∴它的軌跡是以為焦點,長軸,焦距的橢圓;∴;∴橢圓的方程是,即為化簡的結(jié)果故選:D10、A【解析】根據(jù)給定幾何體利用空間向量基底結(jié)合向量運算計算作答.【詳解】在三棱錐中,是線段的中點,所以:.故選:A11、A【解析】根據(jù)將最小值問題轉(zhuǎn)化為d取得最大值問題,然后結(jié)合圖形可解.【詳解】將,變形為,故直線恒過點,圓心,半徑,已知點P在圓內(nèi),過點作直線與圓相交于A,兩點,記圓心到直線的距離為d,則,所以當d取得最大值時,有最小值,結(jié)合圖形易知,當直線與線段垂直的時候,d取得最大值,即取得最小值,此時,所以.故選:A.12、B【解析】由等差數(shù)列基本量法求出通項公式,用裂項相消法求得,求出的最大值,然后利用關于的不等式是一次不等式列出滿足的不等關系求得其范圍【詳解】設等差數(shù)列公差為,則由已知得,解得,∴,,∴,易知數(shù)列是遞增數(shù)列,且,∴若對于任意的,,不等式恒成立,即,又,∴,解得或故選:B【點睛】本題考查求等差數(shù)列的通項公式,考查裂項相消法求數(shù)列的和,考查不等式恒成立問題,解題關鍵是掌握不等式恒成立問題的轉(zhuǎn)化與化歸思想,不等式恒成立首先轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的單調(diào)性與最值,其次轉(zhuǎn)化為一次不等式恒成立二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、6【解析】根據(jù)組合數(shù)和排列數(shù)的運算即可求得答案.【詳解】由題意,,得.故答案為:6.14、【解析】先求導,求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間,由即可求解.【詳解】,令,得,即的單調(diào)遞減區(qū)間是,又在上單調(diào)遞減,可得,即.故答案為:.15、【解析】由函數(shù)的圖象得出當時,,再由函數(shù)是偶函數(shù),其圖象的性質(zhì),即可得出答案.【詳解】是偶函數(shù),且,所以,由圖象得當時,.又函數(shù)是偶函數(shù),其圖像關于y軸對稱,當時,,所以不等式的解集為.故答案為:.16、【解析】根據(jù)條件可知以為直徑的圓在橢圓的內(nèi)部,可得,再根據(jù),即可求得離心率的取值范圍.【詳解】根據(jù)條件可知,以為直徑的圓與橢圓沒有交點,即,即,,即.故填:.【點睛】本題考查橢圓離心率的取值范圍,求橢圓離心率是??碱}型,涉及的方法包含1.根據(jù)直接求,2.根據(jù)條件建立關于的齊次方程求解,3.根據(jù)幾何關系找到的等量關系求解.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【解析】(1)法一:通過建立空間直角坐標系,運用向量數(shù)量積證明,法二:通過線面垂直證明,法三:根據(jù)三垂線證明;(2)法一:通過建立空間直角坐標系,運用向量數(shù)量積證明,法二:通過面面平行證明線面平行;(3)法一:通過建立空間直角坐標系,運用向量方法求解,法二:運用等體積法求解.【小問1詳解】證明:法一:在直三棱柱中,因為,以點為坐標原點,方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系.因為,所以,所以所以,所以.法二:連接,在直三棱柱中,有面,面,所以,又,則,因為,所以面因為面,所以因為,所以四邊形為正方形,所以因為,所以面因為面,所以.法三:用三垂線定理證明:連接,在直三棱柱中,有面因為面,所以,又,則,因為,所以面所以在平面內(nèi)的射影為,因為四邊形為正方形,所以,因此根據(jù)三垂線定理可知【小問2詳解】證明:法一:因為為的中點,為的中點,為中點,是與的交點,所以、,依題意可知為重心,則,可得所以,,設為平面的法向量,則即取得則平面的一個法向量為.所以,則,因為平面,所以平面.法二:連接.在正方形中,為的中點,所以且,所以四邊形是平行四邊形,所以又為中點,所以四邊形是矩形,所以且因為且,所以,所以四邊形為平行四邊形,所以.因為,平面平面平面平面,所以平面平面,平面,所以平面【小問3詳解】法一:由(2)知平面的一個法向量,且平面,所以到平面的距離與到平面的距離相等,,所以,所以點到平面的距離所以到平面的距離為法二:因為分別為和中點,所以為的重心,所以,所以到平面的距離是到平面距離的.取中點則,又平面平面,所以平面,所以到平面的距離與到平面的距離相等.設點到平面的距離為,由得,又,所以,所以到平面的距離是,所以到平面的距離為.18、(1)選擇條件見解析,(2)【解析】(1)設等差數(shù)列的公差為,由,得到,選①,聯(lián)立求解;選②,聯(lián)立求解;選③,聯(lián)立求解;(2)由(1)知,令求解.【小問1詳解】解:設等差數(shù)列的公差為,得,選①,得,故,∴.選②,得,得,故,∴.選③,,得,故,∴;【小問2詳解】由(1)知,,,∴數(shù)列是遞增等差數(shù)列.由,得,∴時,,時,,∴時,得到最小值.19、(1)(2)【解析】(1)設點,求出直線、直線的斜率相乘可得,結(jié)合可得答案;(2)設直線l的方程為與橢圓方程聯(lián)立,代入得,設,再利用基本不等式可得答案.【小問1詳解】由題意可得,,即,則,設點,∵Q為的中點,∴,∴直線斜率,直線的斜率,∴,又∵,∴,則,解得,∴橢圓C的方程為.【小問2詳解】由(1)知,設直線l的方程為,聯(lián)立化簡得,,設,則,易知M,N到y(tǒng)軸的距離之和為,,設,∴,當且僅當即時等號成立,所以當時取得最大值,此時直線l的方程為.20、(1)證明見解析(2)【解析】(1)建立空間直角坐標系,分別寫出,,的坐標,證明,,即可得證;(2)由(1)知,的法向量為,直接寫出平面法向量,按照公式求解即可.【小問1詳解】在長方體中,以為坐標原點,所在直線分別為軸,軸,軸建立如圖所示空間直角坐標系因為,,所以,,,,,則,,,所以有,,則,,又所以平面小問2詳解】由(1)知平面的法向量為,而平面法向量為所以,由圖知二面角為銳二面角,所以二面角的余弦值為21、(1);(2)或.【解析】(1)由、兩點坐標求出直線的垂直平分線的方程與直線上聯(lián)立可得圓心坐標,由兩點間距離公式求出半徑,即可得圓的標準方程;(2)設直線的方程,求出圓心到直線的距離,再由垂徑定理結(jié)合勾股定理列方程求出的值,即可得直線的方程【詳解】由點、可得中點坐標為,,所以直線的垂直平分線的斜率為,可得直線的垂直平分線的方程為:即,由可得:,所以圓心為,,所以的標準方程為,(2)設直線的方程為即,圓心到直線的距離,則可得,即,解得:或,所以直線的方程為或,即或22、(1)(2)存在,靠近點D的三等分點.【解析】(1)由題意建立空間直接坐
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