2025屆山東省泰安市長城中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末檢測模擬試題含解析

2025屆山東省泰安市長城中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末檢測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過拋物線的焦點F作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)P為拋物線上的一動點，，若，則的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．42．若向量，則（）A．30 B．31 C．32 D．333．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一問題：“今有鱉臑(biēnaò)，下廣五尺，無袤；上袤四尺，無廣；高七尺.問積幾何？”該幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體外接球的表面積為()A．平方尺 B．平方尺C．平方尺 D．平方尺4．已知函數(shù)是上的減函數(shù)，當(dāng)最小時，若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．5．函數(shù)的圖象大致是()A． B．C． D．6．若函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為（）．A． B． C． D．7．造紙術(shù)、印刷術(shù)、指南針、火藥被稱為中國古代四大發(fā)明，此說法最早由英國漢學(xué)家艾約瑟提出并為后來許多中國的歷史學(xué)家所繼承，普遍認為這四種發(fā)明對中國古代的政治，經(jīng)濟，文化的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動作用.某小學(xué)三年級共有學(xué)生500名，隨機抽查100名學(xué)生并提問中國古代四大發(fā)明，能說出兩種發(fā)明的有45人，能說出3種及其以上發(fā)明的有32人，據(jù)此估計該校三級的500名學(xué)生中，對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有（）A．69人 B．84人 C．108人 D．115人8．已知拋物線的焦點為，是拋物線上兩個不同的點，若，則線段的中點到軸的距離為（）A．5 B．3 C． D．29．已知向量，，且與的夾角為，則x=（）A．-2 B．2 C．1 D．-110．已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A．45 B．42 C．25 D．3611．函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，可將的圖象（）A．向右平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向左平移個單位12．若單位向量，夾角為，，且，則實數(shù)（）A．－1 B．2 C．0或－1 D．2或－1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是_____.14．已知函數(shù)，若的最小值為，則實數(shù)的取值范圍是_________15．給出以下式子：①tan25°+tan35°tan25°tan35°；②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)；③其中，結(jié)果為的式子的序號是_____.16．已知，，，的夾角為30°，，則_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的短軸長為，直線與橢圓相交于兩點，線段的中點為.當(dāng)與連線的斜率為時，直線的傾斜角為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是以為直徑的圓上的任意一點，求證：18．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為直線垂直于軸，垂足為，與拋物線交于不同的兩點，且過的直線與橢圓交于兩點，設(shè)且.（1）求點的坐標(biāo)；（2）求的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù).（1）若在上為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍：（2）若，記的兩個極值點為，，記的最大值與最小值分別為M，m，求的值.20．（12分）設(shè)函數(shù).（1）時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，設(shè)的最小值為，若恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.21．（12分）如圖，在直棱柱中，底面為菱形，，，與相交于點，與相交于點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值.22．（10分）某大型公司為了切實保障員工的健康安全，貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關(guān)要求，決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次普查，為此需要抽驗1000人的血樣進行化驗，由于人數(shù)較多，檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.方案①：將每個人的血分別化驗，這時需要驗1000次.方案②：按個人一組進行隨機分組，把從每組個人抽來的血混合在一起進行檢驗，如果每個人的血均為陰性，則驗出的結(jié)果呈陰性，這個人的血只需檢驗一次（這時認為每個人的血化驗次）；否則，若呈陽性，則需對這個人的血樣再分別進行一次化驗，這樣，該組個人的血總共需要化驗次.假設(shè)此次普查中每個人的血樣化驗呈陽性的概率為，且這些人之間的試驗反應(yīng)相互獨立.（1）設(shè)方案②中，某組個人的每個人的血化驗次數(shù)為，求的分布列；（2）設(shè)，試比較方案②中，分別取2，3，4時，各需化驗的平均總次數(shù)；并指出在這三種分組情況下，相比方案①，化驗次數(shù)最多可以平均減少多少次？（最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

設(shè)直線AB的方程為，代入得：，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，從而得到，同理可得，再利用求得的值，當(dāng)Q，P，M三點共線時，即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，可知拋物線的焦點為，則直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為，代入得：.由根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以.又直線CD的方程為，同理，所以，所以.故.過點P作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，則由拋物線的定義可得.所以，當(dāng)Q，P，M三點共線時，等號成立.故選：C.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、焦半徑公式的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意取最值的條件.2、C【解析】

先求出,再與相乘即可求出答案.【詳解】因為,所以.故選:C.【點睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運算,考查了學(xué)生的計算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

根據(jù)三視圖得出原幾何體的立體圖是一個三棱錐，將三棱錐補充成一個長方體，此長方體的外接球就是該三棱錐的外接球，由球的表面積公式計算可得選項.【詳解】由三視圖可得，該幾何體是一個如圖所示的三棱錐，為三棱錐外接球的球心，此三棱錐的外接球也是此三棱錐所在的長方體的外接球，所以為的中點，設(shè)球半徑為，則,所以外接球的表面積，故選：A．【點睛】本題考查求幾何體的外接球的表面積，關(guān)鍵在于由幾何體的三視圖得出幾何體的立體圖，找出外接球的球心位置和半徑，屬于中檔題.4、A【解析】

首先根據(jù)為上的減函數(shù)，列出不等式組，求得，所以當(dāng)最小時，，之后將函數(shù)零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線交點的個數(shù)問題，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.【詳解】由于為上的減函數(shù)，則有，可得，所以當(dāng)最小時，，函數(shù)恰有兩個零點等價于方程有兩個實根，等價于函數(shù)與的圖像有兩個交點．畫出函數(shù)的簡圖如下，而函數(shù)恒過定點，數(shù)形結(jié)合可得的取值范圍為．故選：A.【點睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問題，涉及到的知識點有分段函數(shù)在定義域上單調(diào)減求參數(shù)的取值范圍，根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題目.5、B【解析】

根據(jù)函數(shù)表達式,把分母設(shè)為新函數(shù),首先計算函數(shù)定義域,然后求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負判斷函數(shù)單調(diào)性,對應(yīng)函數(shù)圖像得到答案.【詳解】設(shè)，，則的定義域為.，當(dāng)，，單增，當(dāng)，，單減，則.則在上單增，上單減，.選B.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的判斷,用到了換元的思想,簡化了運算,同學(xué)們還可以用特殊值法等方法進行判斷.6、C【解析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出的最大值．【詳解】解：把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間，上，，，則當(dāng)最大時，，求得，故選：C．【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解析】

先求得名學(xué)生中，只能說出一種或一種也說不出的人數(shù)，由此利用比例，求得名學(xué)生中對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的人數(shù).【詳解】在這100名學(xué)生中，只能說出一種或一種也說不出的有人，設(shè)對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有人，則，解得人.故選：D【點睛】本小題主要考查利用樣本估計總體，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

由拋物線方程可得焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程,由拋物線的定義可知,繼而可求出,從而可求出的中點的橫坐標(biāo),即為中點到軸的距離.【詳解】解：由拋物線方程可知，，即，.設(shè)則，即，所以.所以線段的中點到軸的距離為.故選:D.【點睛】本題考查了拋物線的定義，考查了拋物線的方程.本題的關(guān)鍵是由拋物線的定義求得兩點橫坐標(biāo)的和.9、B【解析】

由題意，代入解方程即可得解.【詳解】由題意，所以，且，解得.故選：B.【點睛】本題考查了利用向量的數(shù)量積求向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,進而代入等差數(shù)列的前項和的公式即可.【詳解】由題,.故選:D【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的前項和.11、C【解析】

根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象得到，結(jié)合圖像變換知識得到答案.【詳解】由圖象知：，∴.又時函數(shù)值最大，所以.又，∴，從而，，只需將的圖象向左平移個單位即可得到的圖象，故選C.【點睛】已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點法”中相對應(yīng)的特殊點求，一般用最高點或最低點求．12、D【解析】

利用向量模的運算列方程，結(jié)合向量數(shù)量積的運算，求得實數(shù)的值.【詳解】由于，所以，即，，即，解得或.故選：D【點睛】本小題主要考查向量模的運算，考查向量數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

對函數(shù)零點問題等價轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)討論交點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】由題：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個零點，，等價于函數(shù)恰有兩個公共點，作出大致圖象：要有兩個交點，即，所以.故答案為：【點睛】此題考查函數(shù)零點問題，根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵在于對函數(shù)零點問題恰當(dāng)變形，等價轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合求解.14、【解析】

，可得在時，最小值為，時，要使得最小值為，則對稱軸在1的右邊，且，求解出即滿足最小值為.【詳解】當(dāng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.當(dāng)時，為二次函數(shù)，要想在處取最小，則對稱軸要滿足并且，即，解得.【點睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題，對每段函數(shù)先進行分類討論，找到每段的最小值，然后再對兩段函數(shù)的最小值進行比較，得到結(jié)果，題目較綜合，屬于中檔題.15、①②③【解析】

由已知分別結(jié)合和差角的正切及正弦余弦公式進行化簡即可求解.【詳解】①∵tan60°＝tan（25°+35°），tan25°+tan35°tan25°tan35°；tan25°tan35°，，②2（sin35°cos25°+cos35°cos65°）＝2（sin35°cos25°+cos35°sin25°），＝2sin60°；③tan（45°+15°）＝tan60°；故答案為：①②③【點睛】本題主要考查了兩角和與差的三角公式在三角化簡求值中的應(yīng)用，屬于中檔試題.16、1【解析】

由求出，代入，進行數(shù)量積的運算即得.【詳解】，存在實數(shù)，使得.不共線，.，，，的夾角為30°，.故答案為：1.【點睛】本題考查向量共線定理和平面向量數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）詳見解析.【解析】

（1）由短軸長可知，設(shè)，，由設(shè)而不求法作差即可求得，將相應(yīng)值代入即求得，橢圓方程可求；（2）考慮特殊位置，即直線與軸垂直時候，成立，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立，結(jié)合中點坐標(biāo)公式，弦長公式，得到與的關(guān)系，將表示出來，結(jié)合基本不等式求最值，證明最后的結(jié)果【詳解】解：（1）由已知，得由，兩式相減，得根據(jù)已知條件有，當(dāng)時，∴，即∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）當(dāng)直線斜率不存在時，，不等式成立.當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)由得∴，∴由化簡，得∴令，則當(dāng)且僅當(dāng)時取等號∴∵∴當(dāng)且僅當(dāng)時取等號綜上，【點睛】本題為直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查了橢圓方程的求法，點差法處理多未知量問題，能夠利用一元二次方程的知識轉(zhuǎn)化處理復(fù)雜的計算形式，要求學(xué)生計算能力過關(guān)，為較難題18、（1）；（2）.【解析】

（1）設(shè)出的坐標(biāo)，代入，結(jié)合在拋物線上，求得兩點的橫坐標(biāo)，進而求得點的坐標(biāo).（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達定理，結(jié)合，求得的表達式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.【詳解】（1）可知，設(shè)則，又，所以解得所以.（2）據(jù)題意，直線的斜率必不為所以設(shè)將直線方程代入橢圓的方程中，整理得，設(shè)則①②因為所以且將①式平方除以②式得所以又解得又，所以令，則所以【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查向量模的坐標(biāo)運算，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查運算求解能力，屬于難題.19、（1）；（2）【解析】

（1）求導(dǎo).根據(jù)單調(diào)，轉(zhuǎn)化為對恒成立求解（2）由（1）知，是的兩個根，不妨設(shè)，令.根據(jù)，確定，將轉(zhuǎn)化為.令，用導(dǎo)數(shù)法研究其單調(diào)性求最值.【詳解】（1）的定義域為，.因為單調(diào)，所以對恒成立，所以，恒成立，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以；（2）由（1）知，是的兩個根.從而，，不妨設(shè)，則.因為，所以t為關(guān)于a的減函數(shù)，所以..令，則.因為當(dāng)時，在上為減函數(shù).所以當(dāng)時，.從而，所以在上為減函數(shù).所以當(dāng)時，.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于難題.20、（1）的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）.【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由于參數(shù)的范圍對導(dǎo)數(shù)的符號有影響，對參數(shù)分類，再研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）的結(jié)論，求出的表達式，由于恒成立，故求出的最大值，即得實數(shù)的取值范圍的左端點．【詳解】解：（1）解：，當(dāng)時，，解得的增區(qū)間為，解得的減區(qū)間為.（2）解：若，由得，由得，所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；，因為，所以，，令，則恒成立，由于，當(dāng)時，，故函數(shù)在上是減函數(shù)，所以成立；當(dāng)時，若則，故函數(shù)在上是增函數(shù)，即對時，，與題意不符；綜上，為所求．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值問題中的應(yīng)用，求解本題關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，由最值的定義得出函數(shù)的最值，本題中第一小題是求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，第二小題是一個