四川省威遠(yuǎn)中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

四川省威遠(yuǎn)中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.2．已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，則（）A.1 B.2C.3 D.43．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（）A. B.C. D.4．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書(shū)中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知△ABC的頂點(diǎn)分別為，，，則△ABC的歐拉線方程為（）A. B.C. D.5．某市要對(duì)兩千多名出租車司機(jī)的年齡進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)從中隨機(jī)抽出100名司機(jī)，已知抽到的司機(jī)年齡都在[20,45]歲之間，根據(jù)調(diào)查結(jié)果得出司機(jī)的年齡情況殘缺的頻率分布直方圖如圖所示，利用這個(gè)殘缺的頻率分布直方圖估計(jì)該市出租車司機(jī)年齡的中位數(shù)大約是()A.31.6歲 B.32.6歲C.33.6歲 D.36.6歲6．已知直線與直線垂直，則a＝（）A.3 B.1或﹣3C.﹣1 D.3或﹣17．已知過(guò)點(diǎn)的直線l與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.8．雙曲線：的一條漸近線與直線垂直，則它的離心率為（）A. B.C. D.9．方程所表示的曲線為（）A.射線 B.直線C.射線或直線 D.無(wú)法確定10．已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱與底面垂直，若點(diǎn)C到平面AB1D1的距離為，則直線與平面所成角的余弦值為（）A. B.C. D.11．已知圓的方程為，直線：恒過(guò)定點(diǎn)，若一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)直線上一點(diǎn)反射后到達(dá)圓上的一點(diǎn)，則的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.612．平面的法向量，平面的法向量，已知，則等于（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足，若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________14．函數(shù)y＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則a＝________.15．已知數(shù)列前項(xiàng)和為，且，則_______.16．在三棱錐中，點(diǎn)Р在底面ABC內(nèi)的射影為Q，若，則點(diǎn)Q定是的______心三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線E：過(guò)點(diǎn)Q(1，2)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，過(guò)F且不垂直于x軸的直線l交拋物線E于A，B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足△PAB的垂心為原點(diǎn)O.（1）求拋物線E的方程；（2）求證：動(dòng)點(diǎn)P在定直線m上，并求的最小值.18．（12分）已知函數(shù)（其中a常數(shù)）（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，時(shí)，的最小值為4，求a的值19．（12分）已知直線恒過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F（1）求拋物線的方程；（2）若直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線的方程20．（12分）在中，已知，，，，分別為邊，的中點(diǎn)，于點(diǎn).（1）求直線方程；（2）求直線的方程.21．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l交拋物線于不同的A、B兩點(diǎn).（1）若直線l的方程為，求線段AB的長(zhǎng)；（2）若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-1，0)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A'，求證：A'、F、B三點(diǎn)共線.22．（10分）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)為.（1）求橢圓E的方程；（2）若直線l過(guò)點(diǎn)且與橢圓E交于兩點(diǎn).求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由，分兩步，當(dāng)求出，當(dāng)時(shí)得到，兩式作差即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；【詳解】解：因?yàn)棰?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)②，①②得，所以，當(dāng)時(shí)也成立，所以；故選：D2、D【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)求值即可.【詳解】由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)知：.故選：D3、C【解析】利用導(dǎo)函數(shù)的圖象，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得到函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值點(diǎn)，然后判斷選項(xiàng)即可【詳解】解：由題意可知：和時(shí)，，函數(shù)是增函數(shù)，時(shí)，，函數(shù)是減函數(shù)；是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)；所以函數(shù)的圖象只能是故選：C4、A【解析】求出重心坐標(biāo)，求出AB邊上高和AC邊上高所在直線方程，聯(lián)立兩直線可得垂心坐標(biāo)，即可求出歐拉線方程.【詳解】由題可知，△ABC的重心為，可得直線AB的斜率為，則AB邊上高所在的直線斜率為，則方程為，直線AC的斜率為，則AC邊上高所在的直線斜率為2，則方程為，聯(lián)立方程可得△ABC的垂心為，則直線GH斜率為，則可得直線GH方程為，故△ABC的歐拉線方程為.故選：A.5、C【解析】先根據(jù)頻率分布直方圖中頻率之和為計(jì)算出數(shù)據(jù)位于的頻率，再利用頻率分布直方圖中求中位數(shù)的原則求出中位數(shù)【詳解】在頻率分布直方圖中，所有矩形面積之和為，所以，數(shù)據(jù)位于的頻率為，前兩個(gè)矩形的面積之和為，前三個(gè)矩形的面積之和為，所以，中位數(shù)位于區(qū)間，設(shè)中位數(shù)為，則有，解得（歲），故選C【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)和頻率分布直方圖中中位數(shù)的計(jì)算，計(jì)算時(shí)要充分利用頻率分布直方圖中中位數(shù)的計(jì)算原理來(lái)計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題6、D【解析】根據(jù)，得出關(guān)于的方程，即可求解實(shí)數(shù)的值.【詳解】直線與直線垂直，所以，解得或.故選：D.7、D【解析】經(jīng)判斷點(diǎn)在圓內(nèi)，與半徑相連，所以與垂直時(shí)弦長(zhǎng)最短，最長(zhǎng)為直徑【詳解】將代入圓方程得：，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，連接，當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最短，，所以弦長(zhǎng)，當(dāng)過(guò)圓心時(shí)，最長(zhǎng)等于直徑8，所以的取值范圍是故選：D8、A【解析】先利用直線的斜率判定一條漸近線與直線垂直，求出，再利用雙曲線的離心率公式和進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以雙曲線的一條漸近線與直線垂直，所以，即，則雙曲線的離心率.故選：A.卷II（非選擇題9、C【解析】將方程化為或，由此可得所求曲線.【詳解】由得：或，即或，方程所表示的曲線為射線或直線.故選：C.10、A【解析】先由等面積法求得的長(zhǎng)，再以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用線面角的向量求解方法可得答案【詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，則平面，則，設(shè)，則，則根據(jù)三角形面積得，代入解得以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令，得，所以直線與平面所成的角的余弦值為，故選：11、B【解析】求得定點(diǎn)，然后得到關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，然后可得，計(jì)算即可.【詳解】直線可化為，令解得所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則由,解得,所以點(diǎn)坐標(biāo)為.由線段垂直平分線的性質(zhì)可知，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立），所以的最小值為4.故選:B.12、A【解析】根據(jù)兩個(gè)平面平行得出其法向量平行，根據(jù)向量共線定理進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由題意得，因?yàn)椋裕ǎ?，即，解得，所?故選:A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求得，再得出，對(duì)于任意的，都有成立，說(shuō)明是中的最小項(xiàng)【詳解】由題意，∴，易知函數(shù)在和上都是減函數(shù)，且時(shí)，，即，時(shí)，，，由題意對(duì)于任意的，都有成立，則是最小項(xiàng)，∴，解得，故答案為：14、4【解析】∵y′＝3x2＋2ax＋b，∴或當(dāng)a＝－3，b＝3時(shí)，y′＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立，故舍去．所以a＝415、，.【解析】由的遞推關(guān)系，討論、求及，注意驗(yàn)證是否滿足通項(xiàng)，即可寫(xiě)出的通項(xiàng)公式.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，而，即也滿足，∴，.故答案為：，.16、外【解析】由可得，故是的外心.【詳解】解：如圖，∵點(diǎn)在底面ABC內(nèi)的射影為,∴平面又∵平面、平面、平面，∴、、.在和中，,∴，∴同理可得：,故故是的外心.故答案為：外.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見(jiàn)解析，的最小值為.【解析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程，由此求得的值，進(jìn)而求得拋物線的方程.（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程求得的坐標(biāo)，由此判斷出動(dòng)點(diǎn)在定直線上.求得的表達(dá)式，利用基本不等式求得其最小值.【詳解】（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程得，所以.（2）由（1）知拋物線的方程為，所以，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由消去得，所以.由于為三角形的垂心，所以，所以直線的方程為，即.同理可求得直線的方程為.由，結(jié)合，解得，所以在定直線上.直線的方程為，到直線的距離為，到直線的距離為.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線方程的求法，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線中三角形面積的有關(guān)計(jì)算，屬于中檔題.18、（1）；（2）.【解析】（1）利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為，然后解不等式，可得答案；（2）由計(jì)算出的取值范圍，利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的最小值，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1），令，解得.所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）當(dāng)時(shí)，，所以，所以，解得.19、（1）（2）或【解析】（1）把直線化為，得到拋物線的焦點(diǎn)為，求得，即可求得拋物線的方程；（2）聯(lián)立方程組，得到，，結(jié)合，列出方程求得的值，即可求得直線的方程【小問(wèn)1詳解】解：將直線化為，可得直線恒過(guò)點(diǎn)，即拋物線的焦點(diǎn)為，所以，解得，所以拋物線的方程為【小問(wèn)2詳解】解：由題意顯然,聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，，則，，因?yàn)?，所以，解得，所以或，所以直線的方程為或20、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出點(diǎn)D，E坐標(biāo)，再求出直線DE方程作答.(2)求出直線AH的斜率，再借助直線的點(diǎn)斜式方程求解作答.【小問(wèn)1詳解】在中，，，，則邊中點(diǎn)，邊的中點(diǎn)，直線DE斜率，于是得，即，所以直線的方程是：.【小問(wèn)2詳解】依題意，，則直線BC的斜率為，又，因此，直線的斜率為，所以直線的方程為：，即.21、（1）8；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求線段AB的長(zhǎng)；（2）設(shè)為，聯(lián)立拋物線由韋達(dá)定理可得，，應(yīng)用兩點(diǎn)式判斷是否為0即可證結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，則，，∴，，所以.【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)，，又直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-1,0)，此時(shí)直線斜率必存在且不為0，可設(shè)為，聯(lián)立拋物線得：，則，，又，故，