2025屆福建省莆田市第一中學高二上數(shù)學期末經(jīng)典模擬試題含解析

2025屆福建省莆田市第一中學高二上數(shù)學期末經(jīng)典模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A. B.C.2 D.2．阿基米德不僅是著名的物理學家，也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積公式，設橢圓的長半軸長、短半軸長分別為，則橢圓的面積公式為，若橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標準方程為（）A.或 B.或C.或 D.或3．已知、是橢圓的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且，若的面積為9，則的值為（）A.1 B.2C.3 D.44．雙曲線實軸長為（）A.1 B.C.2 D.5．下列結論中正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則6．某大學數(shù)學系共有本科生1500人，其中一、二、三、四年級的人數(shù)比為，要用分層隨機抽樣的方法從中抽取一個容量為300的樣本，則應抽取的三年級學生的人數(shù)為（）A.20 B.40C.60 D.807．方程表示的曲線是A.兩條直線 B.兩條射線C.兩條線段 D.一條直線和一條射線8．在四棱錐中，分別為的中點，則（）A. B.C. D.9．若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為（）A. B.C. D.10．拋物線y＝4x2的焦點坐標是（）A.（0，1） B.（1，0）C. D.11．三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，H分別為邊CD，AD，BC的中點，BE，DH的交點為G，則的化簡結果為（）A. B.C. D.12．下列函數(shù)求導運算正確的個數(shù)為（）①；②；③；④.A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知球面上的三點A，B，C滿足，，，球心到平面ABC的距離為，則球的表面積為______14．已知函數(shù)，有且只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是_______.15．數(shù)列滿足，，則___________.16．用1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中個位小于百位且百位小于萬位的五位數(shù)有n個，則的展開式中，的系數(shù)是___________.（用數(shù)字作答）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左右焦點分別為，，經(jīng)過左焦點的直線與橢圓交于A，B兩點（異于左右頂點）（1）求△的周長；（2）求橢圓E上的點到直線距離的最大值18．（12分）已知拋物線的焦點為F，直線l交拋物線于不同的A、B兩點.（1）若直線l的方程為，求線段AB的長；（2）若直線l經(jīng)過點P(-1，0)，點A關于x軸的對稱點為A'，求證：A'、F、B三點共線.19．（12分）已知函數(shù)，記f（x）的導數(shù)為f′（x）．若曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為﹣3，且x＝2時y＝f（x）有極值，（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值20．（12分）一個長方體的平面展開圖及該長方體的直觀圖的示意圖如圖所示（1）請將字母F，G，H標記在長方體相應的頂點處（不需說明理由）：（2）若且有下面兩個條件：①；②，請選擇其中一個條件，使得DF⊥平面，并證明你的結論21．（12分）在①，②，③，三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.設數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，其前項和為，數(shù)列是等差數(shù)列，其前項和為.已知，，，_____________.（1）請寫出你選擇條件的序號____________；并求數(shù)列和的通項公式；（2）求和.22．（10分）已知橢圓的離心率為，右焦點為,斜率為1的直線與橢圓交于兩點，以為底邊作等腰三角形，頂點為.（1）求橢圓的方程；（2）求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關系，可求雙曲線的離心率【詳解】設與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心，又點在圓上，，即，故選A【點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來2、B【解析】根據(jù)題意列出的關系式，即可求得，再分焦點在軸與軸兩種情況寫出標準方程.【詳解】根據(jù)題意，可得，所以橢圓的標準方程為或.故選：B3、C【解析】根據(jù)橢圓定義，和條件列式，再通過變形計算求解.【詳解】由條件可知，，即，解得：.故選：C【點睛】本題考查橢圓的定義，焦點三角形的性質，重點考查轉化與變形，計算能力，屬于基礎題型.4、B【解析】由雙曲線的標準方程可求出，即可求雙曲線的實軸長.【詳解】由可得：，，即，實軸長，故選：B5、D【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)和運算法則分別計算函數(shù)的導數(shù)，即可判斷選項.【詳解】A.若，則，故A錯誤；B.若，則，故B錯誤；C.若，則，故C錯誤；D.若，則，故D正確.故選：D6、C【解析】根據(jù)給定條件利用分層抽樣的抽樣比直接計算作答.【詳解】依題意，三年級學生的總人數(shù)為，從1500人中用分層隨機抽樣抽取容量為300的樣本的抽樣比為，所以應抽取的三年級學生的人數(shù)為.故選：C7、D【解析】由，得2x+3y?1=0或.即2x+3y?1=0(x?3)為一條射線，或x=4為一條直線.∴方程表示的曲線是一條直線和一條射線.故選D.點睛：在直角坐標系中，如果某曲線C（看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關系：（1）曲線上點的坐標都是這個方程的解；（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線在求解方程時要注意變量范圍.8、A【解析】結合空間幾何體以及空間向量的線性運算即可求出結果.【詳解】因為分別為的中點，則,,,故選：A.9、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項公式直接得出結果.【詳解】因為，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為1，所以.故選：B10、C【解析】將拋物線方程化為標準方程，由此可拋物線的焦點坐標得選項.【詳解】解：將拋物線y＝4x2的化為標準方程為x2＝y(tǒng)，p＝，開口向上，焦點在y軸的正半軸上，故焦點坐標為（0，）.故選：C11、D【解析】依題意可得為的重心，由三角形重心的性質可知，由中位線定理可知，再利用向量的加法運算法則即可求出結果【詳解】解：依題意可得為的重心，，，分別為邊，和的中點，，，故選：D12、A【解析】根據(jù)導數(shù)的運算法則和導數(shù)的基本公式計算后即可判斷【詳解】解：①，故錯誤；②，故正確；③，故錯誤；④，故錯誤.所以求導運算正確的個數(shù)為1.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意可知為直角三角形，求出外接圓的半徑，可求出球的半徑，然后求球的表面積.【詳解】由題意，，，，則，可知，所以外接圓的半徑為，因為球心到平面的距離為，所以球的半徑為：，所以球的表面積為：.故答案為：.14、【解析】由題知方程，，有且只有一個零點，進而構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)單調性與函數(shù)值得變化情況，作出函數(shù)的大致圖像，數(shù)形結合求解即可.【詳解】解：因為函數(shù)，，有且只有一個零點，所以方程，，有且只有一個零點，令，則，，令，則所以為上的單調遞減函數(shù)，因為，所以當時，；當時，；所以當時，；當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，因為當趨近于時，趨近于，當趨近于時，趨近于，且，時，，故的圖像大致如圖所示，所以方程，，有且只有一個零點等價于或.所以實數(shù)的取值范圍是故答案為：15、【解析】根據(jù)題中所給的遞推式得到數(shù)列具有周期性，進而得到結果.【詳解】根據(jù)題中遞推式知，可知數(shù)列具有周期性，周期為3，因為故故答案為：16、2022【解析】根據(jù)排列和組合計數(shù)公式求出，然后利用二項式定理進行求解即可【詳解】解：用1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)中，滿足個位小于百位且百位小于萬位的五位數(shù)有個，即，當時，，則系數(shù)是，故答案為：2022三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）利用橢圓的定義求△的周長；（2）設直線與橢圓相切，聯(lián)立方程求參數(shù)m，與之間的距離的最大值，即為橢圓E上的點到直線l距離的最大值.【小問1詳解】已知橢圓E方程為，所以，△的周長為，其中，所以△的周長為.【小問2詳解】設直線與直線l平行且與橢圓相切，則，得，即，令，解得，所以，與之間的距離，即橢圓E上的點到直線l距離的最大值為18、（1）8；（2）證明見解析.【解析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，應用韋達定理及弦長公式求線段AB的長；（2）設為，聯(lián)立拋物線由韋達定理可得，，應用兩點式判斷是否為0即可證結論.【小問1詳解】由題設，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，則，，∴，，所以.【小問2詳解】由題設，，又直線l經(jīng)過點P(-1,0)，此時直線斜率必存在且不為0，可設為，聯(lián)立拋物線得：，則，，又，故，而，所以，所以A'、F、B三點共線.19、（Ⅰ）f（x）＝x3﹣3x2+1；（Ⅱ）最大值為1，最小值為﹣3【解析】（Ⅰ）求導可得f′（x）的解析式，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，可得k=f′（1）=-3，又在x＝2處有極值，所以f′（2）＝0，即可求得a，b的值，即可得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）的解析式，令f′（x）=0，解得x＝0或x＝2，討論f（x）在﹣1＜x＜0，0＜x＜1上的單調性，即可求得f（x）的極值，檢驗邊界值，即可得答案.【詳解】（Ⅰ）由題意得：f′（x）＝3x2+2ax+b，所以k=f′（1）＝3+2a+b＝﹣3，f′（2）＝12+4a+b＝0，解得a＝﹣3，b＝0，所以f（x）＝x3﹣3x2+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令f′（x）＝3x2﹣6x＝0，解得x＝0或x＝2，當﹣1＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）是增函數(shù)，當0＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）是減函數(shù)，所以f（x）的極大值為f（0）＝1，又f（1）＝﹣1，f（﹣1）＝﹣3，所以f（x）在[﹣1，1]上的最大值為1，最小值為﹣320、（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】（1）由展開圖及直觀圖直接觀察可得；（2）選擇②，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明DF⊥平面.【小問1詳解】如圖，【小問2詳解】若選擇①，若此時有平面，則由平面可得，而平面，而平面，故，因為，則平面，由平面可得，故此時矩形為正方形，，矛盾.選擇條件②，使得平面，下面證明如圖，連接,在長方體中，平面，而平面，故，而，故矩形為正方形，故，而，故平面，而平面，故，同理，又,所以平面.21、（1）選①，，；選②，，；選③，，；（2），【解析】（1）選條件①根據(jù)等比數(shù)列列出方程求出公比得通項公式，再由等差數(shù)列列出方程求出首項與公差可得通項公式，選②③與①相同的方法求數(shù)列的通項公式;（2）根據(jù)等比數(shù)列、等差數(shù)列的求和公式解計算即可.【小問1詳解】選條件①：設等比數(shù)列的公比為q，，，解得或，，，.設等差數(shù)列的公差為d，，，解得，，.選條件②：設等比數(shù)列的公比為q，，，解得或，，，.設等差數(shù)列的公差為，，，解得，，選條件③：設等比數(shù)列的公比為，，，解得或，，，.設等差數(shù)列的公差為，，，解得，【小問2詳解】由（1）知，，22、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的簡單幾何性質知，又，寫出橢圓的方程；（2）先斜截式設出直線，聯(lián)立方程組，根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關系，可得出中點為的坐標，再根據(jù)△為等腰三角形知，從而得的斜率為，求出，寫出：，并計算，再根據(jù)點到直線距離公式求高，即可計算出面積【詳解】（1）由已知得，，解得，又，所以橢圓的方程為（2）設直線的方程為，由得，①