河南省駐馬店市上蔡縣第二高級中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

河南省駐馬店市上蔡縣第二高級中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線的傾斜角為，在軸上的截距為，則此直線的方程為（）A. B.C. D.2．在二面角的棱上有兩個點、，線段、分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱，若，，，，則這個二面角的大小為（）A. B.C. D.3．某校開展研學(xué)活動時進行勞動技能比賽，通過初選，選出共6名同學(xué)進行決賽，決出第1名到第6名的名次（沒有并列名次），和去詢問成績，回答者對說“很遺?，你和都末拿到冠軍；對說“你當(dāng)然不是最差的”.試從這個回答中分析這6人的名次排列順序可能出現(xiàn)的結(jié)果有（）A.720種 B.600種C.480種 D.384種4．已知實數(shù)，，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.5．在四面體中，設(shè)，若F為BC的中點，P為EF的中點，則＝（）A. B.C. D.6．已知圓與圓外切，則（）A. B.C. D.7．已知向量，且，則（）A. B.C. D.8．已知拋物線，則拋物線的焦點到其準線的距離為（）A. B.C. D.9．已知橢圓：與雙曲線：有相同的焦點、，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點P為橢圓與雙曲線的交點，且，則的最大值為（）A. B.C. D.10．觀察：則第行的值為（）A. B.C. D.11．一輛汽車做直線運動，位移與時間的關(guān)系為，若汽車在時的瞬時速度為12，則（）A. B.C.2 D.312．的展開式中的系數(shù)是（）A.1792 B.C.448 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點為F，A為拋物線C上一點．以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓交拋物線C的準線于B，D兩點，A，F(xiàn)，B三點共線，且，則______14．已知復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在復(fù)平面第一象限內(nèi)，甲、乙、丙三人對復(fù)數(shù)的陳述如下為虛數(shù)單位：甲：；乙：；丙：，在甲、乙、丙三人陳述中，有且只有兩個人的陳述正確，則復(fù)數(shù)______15．基礎(chǔ)建設(shè)對社會經(jīng)濟效益產(chǎn)生巨大的作用．某市投入億元進行基礎(chǔ)建設(shè)，年后產(chǎn)生億元社會經(jīng)濟效益．若該市投資基礎(chǔ)建設(shè)4年后產(chǎn)生的社會經(jīng)濟效益是投資額的2倍，則再過______年．該項投資產(chǎn)生的社會經(jīng)濟效益是投資額的8倍16．平面直角坐標系內(nèi)動點M（）與定點F（4，0）的距離和M到定直線的距離之比是常數(shù)，則動點M的軌跡是___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線：上的點到其準線的距離為5.（1）求拋物線的方程；（2）已知為原點，點在拋物線上，若的面積為6，求點的坐標.18．（12分）已知的二項展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為，（1）求的值；（2）求展開式的所有有理項(指數(shù)為整數(shù))，并指明是第幾項19．（12分）如圖，在四棱錐中，已知平面ABCD，為等邊三角形，，，.（1）證明：平面PAD；（2）若M是BP的中點，求二面角的余弦值.20．（12分）已知為坐標原點，圓的圓心在軸上，點、均在圓上.（1）求圓的標準方程；（2）若直線與橢圓交于兩個不同的點、，點在圓上，求面積的最大值.21．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域22．（10分）已知拋物線的焦點為，點為拋物線上一點，且.（1）求拋物線方程；（2）直線與拋物線相交于兩個不同的點，為坐標原點，若，求實數(shù)的值；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】求出直線的斜率，利用斜截式可得出直線的方程.【詳解】直線的斜率為，由題意可知，所求直線的方程為.故選：D.2、C【解析】設(shè)這個二面角的度數(shù)為，由題意得，從而得到，由此能求出結(jié)果.【詳解】設(shè)這個二面角的度數(shù)為，由題意得，，，解得，∴，∴這個二面角的度數(shù)為，故選：C.【點睛】本題考查利用向量的幾何運算以及數(shù)量積研究面面角.3、D【解析】不是第一名且不是最后一名，的限制最多，先排有4種情況，再排，也有4種情況，余下的問題是4個元素在4個位置全排列，根據(jù)分步計數(shù)原理求解即可【詳解】由題意，不是第一名且不是最后一名，的限制最多，故先排，有4種情況，再排，也有4種情況，余下4人有種情況，利用分步相乘計數(shù)原理知有種情況故選：D.4、C【解析】根據(jù)不等式性質(zhì)和作差法判斷大小依次判斷每個選項得到答案.【詳解】當(dāng)時，不等式不成立，錯誤；，故錯誤正確；當(dāng)時，不等式不成立，錯誤；故選：.【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，作差法判斷大小，意在考查學(xué)生對于不等式知識的綜合應(yīng)用.5、A【解析】作出圖示，根據(jù)空間向量的加法運算法則，即可得答案.【詳解】如圖示：連接OF,因為P為EF中點，，F(xiàn)為BC的中點，則，故選：A6、D【解析】根據(jù)兩圓外切關(guān)系，圓心距離等于半徑的和列方程求參數(shù).【詳解】由題設(shè)，兩圓圓心分別為、，半徑分別為1、r，∴由外切關(guān)系知：，可得.故選：D.7、A【解析】利用空間向量共線的坐標表示即可求解.【詳解】由題意可得，解得，所以.故選：A8、D【解析】將拋物線方程化為標準方程，由此確定的值即可.【詳解】由可得拋物線標準方程為：，，拋物線的焦點到其準線的距離為.故選：D.9、B【解析】不妨設(shè)點為第一象限的交點，結(jié)合橢圓與雙曲線的定義得到，進而結(jié)合余弦定理得到，即，令然后結(jié)合三角函數(shù)即可求出結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)點為第一象限的交點，則由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，所以，因此，即，所以，即，令因此，其中，所以當(dāng)時，有最大值，最大值為，故選：B.【點睛】一、橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)二、雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)10、B【解析】根據(jù)數(shù)陣可知第行為，利用等差數(shù)列求和，即可得到答案；【詳解】根據(jù)數(shù)陣可知第行為，，故選：B11、D【解析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可解得；【詳解】解：因為，所以又汽車在時的瞬時速度為12，即即，解得故選：D【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在物理中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】根據(jù)二項式展開式的通項公式計算出正確答案.【詳解】的展開式中，含的項為.所以的系數(shù)是.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】求得拋物線的焦點和準線方程，由，，三點共線，推得，由三角形的中位線性質(zhì)可得到準線的距離，可得的值【詳解】拋物線的焦點為，，準線方程為，因為，，三點共線，可得為圓的直徑，如圖示：設(shè)準線交x軸于E，所以，則，由拋物線的定義可得，又是的中點，所以到準線的距離為,故答案為：214、##【解析】設(shè)，則，然后分別求出甲，乙，丙對應(yīng)的結(jié)論，先假設(shè)甲正確，則得出乙錯誤，丙正確，由此即可求解【詳解】解：設(shè)，則，甲：由可得，則，乙：由可得：，丙：由可得，即，所以，若，則，則不成立，，則，解得或，所以甲，丙正確，乙錯誤，此時或，又復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在復(fù)平面第一象限內(nèi)，所以，故答案為：15、8【解析】由4年后產(chǎn)生的社會經(jīng)濟效益是投資額的2倍，代入已知函數(shù)式求得參數(shù)，再求得社會經(jīng)濟效益是投資額的8倍時的時間，即為所求結(jié)論【詳解】由條件得，∴，即．設(shè)投資年后，產(chǎn)生的社會經(jīng)濟效益是投資額的8倍，則有，解得，所以再過年，該項投資產(chǎn)生社會經(jīng)濟效益是投資額的8倍故答案為：816、【解析】根據(jù)直接法，即可求軌跡.【詳解】解：動點與定點的距離和它到定直線的距離之比是常數(shù)，根據(jù)題意得，點的軌跡就是集合，由此得．將上式兩邊平方，并化簡，得所以，動點的軌跡是長軸長、短軸長分別為12、的橢圓故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）結(jié)合拋物線的定義求得，由此求得拋物線的方程.（2）設(shè)，根據(jù)三角形的面積列方程，求得的值，進而求得點的坐標.【小問1詳解】由拋物線的方程可得其準線方程，依拋物線的性質(zhì)得，解得.∴拋物線的方程為.【小問2詳解】將代入，得.所以，直線的方程為，即.設(shè)，則點到直線的距離，又，由題意得，解得或.∴點的坐標是或.18、（1）（2）【解析】（1）由二項式系數(shù)和公式可得答案；（2）求出的通項，利用的指數(shù)為整數(shù)可得答案.【小問1詳解】的二項展開式中所有項的二項式系數(shù)之和，所以.【小問2詳解】，因此時，有理項，有理項是第一項和第七項.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)條件先證明，再根據(jù)線面平行的判定定理證明平面PAD；（2）確定坐標原點，建立空間直角坐標系，從而求出相關(guān)的點的坐標，進而求得相關(guān)向量的坐標，再求相關(guān)平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式求得結(jié)果.【小問1詳解】證明：由已知為等邊三角形，且，所以又因為，,在中，，又，所以在底面中，，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】解：取的中點，連接，則，由（1）知，所以，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系.則，，，所以，由已知可知平面ABCD的一個法向量設(shè)平面的一個法向量為，由，即，得，令，則，所以，由圖形可得二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.20、（1）；（2）.【解析】（1）求出圓心坐標，可求得圓的半徑，進而可得出圓的標準方程；（2）求得點到直線的距離，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求得的表達式，利用三角形的面積公式結(jié)合基本不等式可求得結(jié)果.【小問1詳解】解：由題知，線段的中點為，直線的斜率，所以線段的中垂線為，即為，所以圓的圓心為軸與的交點，所以圓的半徑，所以圓的標準方程為.【小問2詳解】解：由題知：圓心到直線的距離，因為，所以圓心到直線的距離，所以到直線的距離，設(shè)點、，聯(lián)立可得，，，則，所以，，所以，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以當(dāng)時，取得最大值.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值21、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值點，從而求出函數(shù)的最值即可【詳解】解：（1）由題意得，，令，得，令，得或，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）易知，因為,所以（或由，可得）,又當(dāng)時