湖南省湘西土家族苗族自治州2025屆數學高二上期末監(jiān)測試題含解析

湖南省湘西土家族苗族自治州2025屆數學高二上期末監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線是圓的對稱軸，過點A作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|=（）A.1 B.2C.4 D.82．如圖，平面四邊形中，，，，為等邊三角形，現(xiàn)將沿翻折，使點移動至點，且，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B.C. D.3．是數列，，，－17，中的第幾項()A第項 B.第項C.第項 D.第項4．宋元時期數學名著《算學啟蒙》中有關于“松竹并生"的問題，松長三尺，竹長一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等，如圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入的，分別為3，1，則輸出的等于A.5 B.4C.3 D.25．我國古代的數學名著《九章算術》中有“衰分問題”：今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問次日織幾問?其意為：一女子每天織布的尺數是前一天的2倍，5天共織布5尺，請問第二天織布的尺數是（）A. B.C. D.6．我國古代數學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“一百八十九里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關.”其大意為：“有一個人共行走了189里的路程，第一天健步行走，從第二天起，因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天才到達目的地.”則該人第一天行走的路程為（）A.108里 B.96里C.64里 D.48里7．已知雙曲線左右焦點為，，過的直線與雙曲線的右支交于P，Q兩點，且，若為以Q為頂角的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.8．甲組數據為：5，12，16，21，25，37，乙組數據為：1，6，14，18，38，39，則甲、乙的平均數、極差及中位數相同的是（）A.極差 B.平均數C.中位數 D.都不相同9．不等式的解集是（）A. B.C.或 D.或10．已知，是雙曲線C：（，）的兩個焦點，過點與x軸垂直的直線與雙曲線C交于A、B兩點，若是等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.11．命題“，使得”的否定形式是A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得12．已知圓C的方程為，點P在圓C上，O是坐標原點，則的最小值為（）A.3 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．必然事件的概率是________.14．已知點，，點P在x軸上，且，則點P的坐標為______15．已知點和，圓，當圓C與線段沒有公共點時，則實數m的取值范圍為___________16．已知過橢圓上的動點作圓（為圓心）：的兩條切線，切點分別為，若的最小值為，則橢圓的離心率為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓C的圓心在直線上，且過點.（1）求圓C的方程；（2）若圓C與直線交于A，B兩點，且，求m的值.18．（12分）已知橢圓：經過點為，且.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相切于點，與直線相交于點.已知點，且，求此時的值.19．（12分）已知函數.（1）設函數，討論在區(qū)間上的單調性；（2）若存在兩個極值點，（）（極值點是指函數取極值時對應的自變量的值），且，證明：.20．（12分）已知函數f（x）＝x3﹣3ax2+2bx在x＝處有極大值.（1）求a、b的值；（2）求f（x）在[0，2]上的值域.21．（12分）已知函數（1）當時，求的單調區(qū)間與極值；（2）若不等式在區(qū)間上恒成立，求k的取值范圍22．（10分）已知函數（…是自然對數的底數）.（1）求的單調區(qū)間；（2）求函數的零點的個數.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】首先將圓心坐標代入直線方程求出參數a，求得點A的坐標，由切線與圓的位置關系構造直角三角形從而求得.【詳解】圓即，圓心為，半徑為r=3，由題意可知過圓的圓心，則，解得，點A坐標為，，切點為B則，故選:C【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，屬于基礎題.2、A【解析】將三棱錐補形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心應在棱柱上下底面三角形的外心連線上，在中，計算半徑即可.【詳解】由，，可知平面將三棱錐補形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心應在棱柱上下底面三角形的外心連線上，記的外心為，由為等邊三角形，可得又，故在中，此即為外接球半徑，從而外接球表面積為故選：A【點睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數學運算的能力，屬中檔題.3、C【解析】利用等差數列的通項公式即可求解【詳解】設數列，，，，是首項為，公差d＝－4的等差數列{}，，令，得故選：C4、B【解析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量S的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案【詳解】解：當n＝1時，a＝3，b＝2，滿足進行循環(huán)的條件，當n＝2時，a，b＝4，滿足進行循環(huán)的條件，當n＝3時，a，b＝8，滿足進行循環(huán)的條件，當n＝4時，a，b＝16，不滿足進行循環(huán)的條件，故輸出的n值為4，故選：B【點睛】本題考查的知識點是程序框圖，當循環(huán)的次數不多，或有規(guī)律時，常采用模擬循環(huán)的方法解答5、C【解析】根據等比數列求和公式求出首項即可得解.【詳解】由題可得該女子每天織布的尺數成等比數列，設其首項為，公比為，則，解得所以第二天織布的尺數為.故選：C6、B【解析】根據題意，記該人每天走的路程里數為，分析可得每天走的路程里數構成以的為公比的等比數列，由求得首項即可【詳解】解：根據題意，記該人每天走的路程里數為，則數列是以的為公比的等比數列，又由這個人走了6天后到達目的地，即，則有，解可得：，故選：B.【點睛】本題考查數列的應用，涉及等比數列的通項公式以及前項和公式的運用，注意等比數列的性質的合理運用.7、C【解析】由雙曲線的定義得出中各線段長（用表示），然后通過余弦定理得出的關系式，變形后可得離心率【詳解】由題意，又，所以，從而，，，中，，中．，所以，，所以，故選：C8、B【解析】由平均數、極差及中位數的定義依次求解即可比較【詳解】，，故甲、乙的平均數相同，甲、乙的極差分別為，，故不同，甲、乙的中位數分別為，，故不同，故選：9、A【解析】確定對應二次方程的解，根據三個二次的關系寫出不等式的解集【詳解】，即為，故選：A10、B【解析】根據等腰直角三角形的性質，結合雙曲線的離心率公式進行求解即可.【詳解】由題意不妨設，，當時，由，不妨設，因為是等腰直角三角形，所以有，或舍去，故選：B11、D【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故選D【考點】全稱命題與特稱命題的否定【方法點睛】全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題．對含有存在（全稱）量詞的命題進行否定需要兩步操作：①將存在（全稱）量詞改成全稱（存在）量詞；②將結論加以否定12、B【解析】化簡判斷圓心和半徑，利用圓的性質判斷連接線段OC，交圓于點P時最小，再計算求值即得結果.【詳解】化簡得圓C的標準方程為，故圓心是，半徑，則連接線段OC，交圓于點P時最小，因為原點到圓心的距離，故此時.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】直接由必然事件的定義求解【詳解】因為必然事件是一定要發(fā)生的，所以必然事件的概率是1，故答案為：114、【解析】設，由，可得，求解即可【詳解】設，由故解得：則點P的坐標為故答案為：15、【解析】當點和都在圓的內部時，結合點與圓的位置關系得出實數m的取值范圍，再由圓心到直線的距離大于半徑得出實數m的取值范圍.【詳解】當點和都在圓的內部時，，解得或直線的方程為，即圓心到直線的距離為，當圓心到直線的距離大于半徑時，，且.綜上，實數m的取值范圍為.故答案為：16、【解析】由橢圓方程和圓的方程可確定橢圓焦點、圓心和半徑；當最小時，可知，此時；根據橢圓性質知，解方程可求得，進而得到離心率.【詳解】由橢圓方程知其右焦點為；由圓的方程知：圓心為，半徑為；當最小時，則最小，即，此時最小；此時，；為橢圓右頂點時，，解得：，橢圓的離心率.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）由已知設圓C的方程為，點代入計算即可得出結果.（2）由已知可得圓心C到直線的距離,利用點到直線的距離公式計算即可求得值.【小問1詳解】設圓心坐標為，半徑為，圓C的圓心在直線上，.則圓C的方程為，圓C過點，則，解得：則，圓C的圓心坐標為.則圓C的方程為；【小問2詳解】圓心C到直線的距離.則，解得或18、（1）；（2）.【解析】（1）根據橢圓離心率公式，結合代入法進行求解即可；（2）根據直線與橢圓的位置關系求出點的坐標，結合平面向量垂直的性質進行求解即可.【詳解】（1）由已知得，，而，解得，橢圓的方程為；（2）設直線方程為代入得，化簡得由，得，，設，則，，則設，則，則，所以在軸存在使.，，所以在.19、（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）由題意得，然后對其求導，再分，兩種情況討論導數的正負，從而可求出函數的單調區(qū)間，（2）由（1）結合零點存在性定理可得在和上各有一個零點，且是的兩個極值點，再將極值點代入導函數中化簡結合已知可得，，從而將要證的結論轉化為證，令，再次轉化為利用導數求的最小值大于零即可【小問1詳解】由，得，則，當時，在上單調遞增；當時，令.當時，單調遞增；當時，單調遞減.綜上，當時，的增區(qū)間為，無減區(qū)間當時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為小問2詳解】由（1）知若存在兩個極值點，則，且，且注意到，所以在和上各有一個零點，且時，單調遞減；當時，單調遞增；當時，單調遞減.所以是的兩個極值點.，因為，所以，所以，所以，即，所以而，所以，所以，要證，即要證即要證：因為，所以所以，即要證：即要證：令，即要證：即要證：令當時，，所以在上單調增所以結論得證.【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數的應用，考查利用求函數的單調區(qū)間，考查利用導數證明不等式，解題的關鍵是將兩個極值點代入導函數中化簡后，將問題轉化為證明成立，換元后構造函數，再利用導數證明，考查數學轉化思想和計算能力，屬于較難題20、（1）（2）【解析】（1）由于在點處有極小值，所以，從而可求出、的值；（2）由（1）可得，得在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，從而可求出其值域.【小問1詳解】因為函數在處有極大值，所以，①且②聯(lián)立①②得：；【小問2詳解】由（1）得，所以，由得；由得，所以，函數區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增；又，所以在上的值域為.21、（1）在上單調遞增，在上單調遞減，極大值為﹣1，無極小值（2）【解析】（1）利用導數求出單調區(qū)間，即可求出極值；（2）令，利用分離參數法得到，利用導數求出的最大值即可求解.【小問1詳解】當時，，定義域為，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減∴當時，取得極大值﹣1所以在上單調遞增，在上單調遞減極大值為﹣1，無極小值【小問2詳解】由，得，令，只需.求導得，所以當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，∴當時，取得最大值，∴k的取值范圍為22、（1）當時，的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；當時，的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；（2）時函數沒有零點；或時函數有且只有一個零點；時，函數有兩個零點.【解析】（1）先對函數求導，然后分和兩種情況判斷導函數正負，求其單調區(qū)間；（2）由，得，構造函數，然后利用導數求出其單調區(qū)間和極值，畫出此函數的圖像，再判斷圖像與直線的交點情況，從而可得答案【詳解】（1）因為，所以，當時，恒成立，所以的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；當時，令，得；令，得，所以的單調遞