2025屆江西省九江一中數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考模擬試題含解析

2025屆江西省九江一中數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是（）A. B.C.1 D.2．在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.3．如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，圓錐PO的軸截面PAE是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是底面圓的內(nèi)接正三角形．則（）A. B.C. D.4．已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示，則（）X123Pa2a3aA. B.C. D.5．向量，向量，若，則實(shí)數(shù)（）A. B.1C. D.6．如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.7．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，則的最小值為（）A. B.C. D.8．已知，，，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出值為（）A. B.C. D.9．已知雙曲線的一條漸近線方程為，它的焦距為2，則雙曲線的方程為（）A B.C. D.10．拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，點(diǎn)在拋物線上，則拋物線的方程為（）A. B.C. D.11．已知過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.2C. D.312．下列說(shuō)法中正確的是（）A.棱柱的側(cè)面可以是三角形B.棱臺(tái)的所有側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)C.所有幾何體的表面都能展開(kāi)成平面圖形D.正棱錐的各條棱長(zhǎng)都相等二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知曲線在處的切線方程為，則________14．在等差數(shù)列中，，那么等于______.15．已知數(shù)列滿足，則__________.16．如圖，把正方形紙片沿對(duì)角線折成直二面角，則折紙后異面直線，所成的角為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，扇形AOB的半徑為2，圓心角，點(diǎn)C為弧AB上一點(diǎn)，平面AOB且，點(diǎn)且，面MOC（1）求證：平面平面POB；（2）求平面POA與平面MOC所成二面角的正弦值的大小18．（12分）共享電動(dòng)車（sharedev）是一種新的交通工具，通過(guò)掃碼開(kāi)鎖，實(shí)現(xiàn)循環(huán)共享.某記者來(lái)到中國(guó)傳媒大學(xué)探訪，在校園噴泉旁停放了10輛共享電動(dòng)車，這些電動(dòng)車分為熒光綠和橙色兩種顏色，已知從這些共享電動(dòng)車中任取1輛，取到的是橙色的概率為，若從這些共享電動(dòng)車中任意抽取3輛.（1）求取出的3輛共享電動(dòng)車中恰好有一輛是橙色的概率；（2）求取出的3輛共享電動(dòng)車中橙色的電動(dòng)車的輛數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望.19．（12分）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，若的面積為，求點(diǎn)P的坐標(biāo)20．（12分）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和（3）設(shè)，若不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍21．（12分）在直三棱柱中，、、、分別為中點(diǎn)，.（1）求證：平面（2）求二面角的余弦值22．（10分）已知函數(shù).（1）求的導(dǎo)數(shù)；（2）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】先確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，和雙曲線的漸近線方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為,由點(diǎn)到直線的距離公式可得.故選：B2、D【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，方向分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，方向分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，，因此異面直線與所成角的余弦值等于.故選：D.3、B【解析】先求出，再利用向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積計(jì)算求解.【詳解】解：由題得,,故選：B4、C【解析】根據(jù)分布列性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：依題意，解得，所以；故選：C5、C【解析】由空間向量垂直的坐標(biāo)表示列方程即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，向量，若，則，解得：，故選：C.6、B【解析】利用空間向量運(yùn)算求得正確答案.【詳解】.故選：B7、B【解析】設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|＝|PD|，進(jìn)而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求|PM|+|PD|的最小值，即可求解【詳解】解：由題意，設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|＝|PD|，所以要求|PM|+|PF|的最小值，即求|PM|+|PD|的最小值，當(dāng)D，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|+|PD|取得最小值為故選：B8、A【解析】模擬程序運(yùn)行可得程序框圖的功能是計(jì)算并輸出三個(gè)數(shù)中的最小數(shù)，計(jì)算三個(gè)數(shù)判斷作答.【詳解】模擬程序運(yùn)行可得程序框圖的功能是計(jì)算并輸出三個(gè)數(shù)中的最小數(shù)，因，，，則，不成立，則，不成立，則，所以應(yīng)輸出的x值為.故選：A9、B【解析】根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為，可得，再結(jié)合焦距為2和，求得，即可得解.【詳解】解：因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，所以，即，又因焦距為2，即，即，因?yàn)?，所以，所以，所以雙曲線的方程為.故選：B.10、B【解析】首先根據(jù)題意設(shè)出拋物線的方程，利用點(diǎn)在曲線上的條件為點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線的方程，代入求得參數(shù)的值，最后得到答案.【詳解】解：根據(jù)題意設(shè)出拋物線的方程，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以有，解得，所以拋物線的方程是：，故選：B.11、D【解析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到韋達(dá)定理，求得，利用拋物線定義，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的代數(shù)式，消元后，利用基本不等式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，顯然要滿足題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為聯(lián)立可得，其，設(shè)坐標(biāo)為，顯然，則，，根據(jù)拋物線定義，MF=故=4+4令，故4+4當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考察拋物線中的最值問(wèn)題，涉及到韋達(dá)定理的使用，基本不等式的使用；其中利用的關(guān)系，以及拋物線的定義轉(zhuǎn)化目標(biāo)式，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.12、B【解析】根據(jù)棱柱、棱臺(tái)、球、正棱錐結(jié)構(gòu)特征依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，A不正確；棱臺(tái)是由對(duì)應(yīng)的棱錐截得的，B正確；不是所有幾何體的表面都能展開(kāi)成平面圖形，例如球不能展開(kāi)成平面圖形，C不正確；正棱錐的各條棱長(zhǎng)并不是都相等，應(yīng)該為正棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，所以D不正確.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】先求導(dǎo)，由，代入即得解【詳解】由題意，故答案為：114、14【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，求得，再由，即可求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，解答，又由.故答案為：14.15、【解析】由題，用累乘法求得通項(xiàng)公式：，則，通過(guò)裂項(xiàng)求和即可得出結(jié)果.【詳解】由題，所以累乘法求通項(xiàng)公式：，所以，經(jīng)驗(yàn)證時(shí)，符合.所以，則.故答案為：16、##30°【解析】過(guò)點(diǎn)E作CE∥AB，且使得CE=AB，則四邊形ABEC是平行四邊形，進(jìn)而（或其補(bǔ)角）是所求角，算出答案即可.【詳解】過(guò)點(diǎn)E作CE∥AB，且使得CE=AB，則四邊形ABEC是平行四邊形，設(shè)所求角為，于是.設(shè)原正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，取AC的中點(diǎn)O，連接DO,BO，則且，而平面平面，且交于AC，所以平面ABEC，則.易得，，，而則于是，,.在中，，取DE的中點(diǎn)F，則，所以，即，于是.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）連接，設(shè)與相交于點(diǎn)，連接MN，利用余弦定理可求得，，的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到，又，由此可得平面，最后利用面面垂直的判定定理即可得證；（2）建立恰當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，然后利用向量法求解二面角的余弦值，從而即可得答案【小問(wèn)1詳解】證明：連接，設(shè)與相交于點(diǎn)，連接MN，平面，在平面內(nèi)，平面平面，，，，在中，由余弦定理可得，，，又在中，，由余弦定理可得，，，故，又平面，在平面內(nèi)，，又，平面，又平面，平面平面；【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可知直線，，兩兩互相垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可??；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可取，，平面與平面所成二面角的正弦值為18、（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為.【解析】（1）先求出兩種顏色的電動(dòng)車各有多少輛，然后根據(jù)超幾何分布求概率的方法即可求得答案；（2）先確定X的所有可能取值，進(jìn)而求出概率并列出分布列，然后根據(jù)期望公式求出答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閺?0輛共享電動(dòng)車中任取一輛，取到橙色的概率為0.4，所以橙色的電動(dòng)車有4輛，熒光綠的電動(dòng)車有6輛.記A為“從中任取3輛共享單車中恰好有一輛是橙色”，則.【小問(wèn)2詳解】隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.所以，，，.所以分布列為0123數(shù)學(xué)期望.19、（1）（2）或或或【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）根據(jù)三角形的面積列方程，化簡(jiǎn)求得點(diǎn)的坐標(biāo).【小問(wèn)1詳解】設(shè)橢圓C的焦距為，由題意有，得，，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由的面積為，有，得，有，得，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或20、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）利用的關(guān)系，根據(jù)等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)公式.（2）由（1）可得，應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求.（3）應(yīng)用錯(cuò)位相減法求得，由題設(shè)有，討論為奇數(shù)、偶數(shù)求的取值范圍【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，可得，∴是首項(xiàng)、公比都為的等比數(shù)列，故.【小問(wèn)2詳解】由（1），，∴.【小問(wèn)3詳解】由題設(shè)，，∴，則，∴，由對(duì)一切恒成立，令，則，∴數(shù)列單調(diào)遞減，∴當(dāng)為奇數(shù)，恒成立且在上遞減，則，當(dāng)為偶數(shù)，恒成立且在上遞增，則，綜上，.21、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，根據(jù)直棱柱的特征，易知，再由、分別為的中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理，可得，得到四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理證明.（2）取的中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則．，再分別求得平面和平面的一個(gè)法向量，利用面面角的向量公式求解.【詳解】（1）證明：如圖所示：取中點(diǎn)，連接，易知，、分別為的中點(diǎn)，∴，∴故四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，平面（2）取的中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐