四川省遂寧第二中學2025屆高一上數(shù)學期末學業(yè)水平測試試題含解析

四川省遂寧第二中學2025屆高一上數(shù)學期末學業(yè)水平測試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．16、17世紀，隨著社會各領(lǐng)域的科學知識迅速發(fā)展，龐大的數(shù)學計算需求對數(shù)學運算提出了更高要求，改進計算方法，提高計算速度和準確度成了當務(wù)之急．蘇格蘭數(shù)學家納皮爾發(fā)明了對數(shù)，是簡化大數(shù)運算的有效工具，恩格斯曾把納皮爾的對數(shù)稱為十七世紀的三大數(shù)學發(fā)明之一．已知，，設(shè)，則所在的區(qū)間為（是自然對數(shù)的底數(shù)）（）A. B.C. D.2．定義：對于一個定義域為的函數(shù)，若存在兩條距離為的直線和，使得時，恒有，則稱在內(nèi)有一個寬度為的通道．下列函數(shù)：①；②；③；④.其中有一個寬度為2的通道的函數(shù)的序號為A.①② B.②③C.②④ D.②③④3．已知a，b，c∈R，那么下列命題中正確的是（）A.若a>b，則ac2>bc2C.若a>b，ab<0，則1a>1b D.若a4．已知,,,則的大小關(guān)系A(chǔ). B.C. D.5．若定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當時，f(x)=x,則函數(shù)y=f(x)-的零點個數(shù)是A.6個 B.4個C.3個 D.2個6．若直線與直線互相垂直,則等于(

)A.1 B.-1C.±1 D.-27．設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝2x＋2x＋b(b為常數(shù))，則f(－1)＝()A.3 B.1C.－1 D.－38．已知,則=（）A. B.C. D.9．已知f(x)、g(x)均為[﹣1，3]上連續(xù)不斷的曲線，根據(jù)下表能判斷方程f(x)=g(x)有實數(shù)解的區(qū)間是（）x﹣10123f(x)﹣06773.0115.4325.9807.651g(x)﹣0.5303.4514.8905.2416.892A.(﹣1，0) B.(1，2)C.(0，1) D.(2，3)10．天文學中為了衡量天體的明暗程度，古希臘天文學家喜帕恰斯（，又名依巴谷）在公元前二世紀首先提出了星等這個概念．星等的數(shù)值越小，天體就越亮；星等的數(shù)值越大，天體就越暗．到了1850年，由于光度計在天體光度測量中的應(yīng)用，英國天文學家普森（）又提出了衡量天體明暗程度的亮度的概念．天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述，兩顆星的星等與亮度滿足（），其中星等為的星的亮度為（，2）．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，則的近似值為（當較小時，）（）A1.23 B.1.26C.1.51 D.1.57二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如果滿足對任意實數(shù)，都有成立，那么a的取值范圍是______12．函數(shù)f（x）=2x+x-7的零點在區(qū)間（n，n+1）內(nèi)，則整數(shù)n的值為______13．在空間直角坐標系中，一點到三個坐標軸的距離都是1，則該點到原點的距離是______答案】14．已知，則函數(shù)的最大值為__________.15．已知函數(shù)．若關(guān)于的方程，有兩個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是____________16．已知，，則___________（用a、b表示）.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某種放射性元素的原子數(shù)隨時間的變化規(guī)律是，其中是正的常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）判斷函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)；（2）把表示成原子數(shù)的函數(shù).18．已知函數(shù)（，且）（1）求的值及函數(shù)的定義域；（2）若函數(shù)在上的最大值與最小值之差為3，求實數(shù)的值19．已知函數(shù)f（x）=+ln（5-x）的定義域為A，集合B={x|2x-a≥4}．（Ⅰ）當a=1時，求集合A∩B；（Ⅱ）若A∪B=B，求實數(shù)a的取值范圍．20．定義：若函數(shù)的定義域為D，且存在非零常數(shù)，對任意，恒成立，則稱為線周期函數(shù)，為的線周期.（1）下列函數(shù)（其中表示不超過x的最大整數(shù)），是線周期函數(shù)的是____________（直接填寫序號）；（2）若為線周期函數(shù)，其線周期為，求證：為周期函數(shù)；（3）若為線周期函數(shù)，求的值.21．如圖,在圓錐中,已知,圓的直徑,是弧的中點,為的中點.（1）求異面直線和所成的角的正切值；（2）求直線和平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)運算法則直接計算.【詳解】，所以故選：A.2、D【解析】②③可由作圖所得，④作圖可知有一個寬度為1的通道，由定義可知比1大的通道都存在.3、C【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)或通過舉反例，對四個選項進行分析【詳解】A．若a>b，當c=0時，ac2=bB．若ac>bc，當c<0時，則C．因為ab<0，將a>b兩邊同除以ab，則1a>1D．若a2>b2且ab>0，當a<0b<0時，則a<b故選：C4、D【解析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出【詳解】∵0＜a＝0.71.3＜1，b＝30.2＞1，c＝log0.25＜0，∴c＜a＜b故選D【點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題5、B【解析】因為偶函數(shù)滿足，所以的周期為2，當時，，所以當時，，函數(shù)的零點等價于函數(shù)與的交點個數(shù)，在同一坐標系中，畫出的圖象與的圖象，如上圖所示，顯然的圖象與的圖象有4個交點．選B.點睛：本題考查了根的存在性及根的個數(shù)判斷，以及函數(shù)與方程的思想，是中檔題．根據(jù)函數(shù)零點和方程的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化是解答本題的關(guān)鍵6、C【解析】分類討論：兩條直線的斜率存在與不存在兩種情況，再利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系即可【詳解】解：①當時，利用直線方程分別化為：，，此時兩條直線相互垂直②如果，兩條直線的方程分別為與，不垂直，故；③，當時，此兩條直線的斜率分別為，兩條直線相互垂直，，化為，綜上可知：故選【點睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、分類討論思想方法，屬于基礎(chǔ)題7、D【解析】∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=2x+2x+b（b為常數(shù)），∴f（0）=1+b=0，解得b=-1∴f（1）=2+2-1=3∴f（-1）=-f（1）=-3故選D8、B【解析】根據(jù)兩角和的正切公式求出，再根據(jù)二倍角公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，代入求值即可.【詳解】解：解得故選：【點睛】本題考查三角恒等變換以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于中檔題.9、C【解析】設(shè)h(x)=f(x)﹣g(x)，利用h(0)=f(0)﹣g(0)=﹣0.44<0，h(1)=f(1)﹣g(1)=0.542>0，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)h(x)=f(x)﹣g(x)，則h(0)=f(0)﹣g(0)=﹣0.44<0，h(1)=f(1)﹣g(1)=0.542>0，∴h(x)的零點在區(qū)間(0，1)，故選：C.【點睛】思路點睛：該題考查的是有關(guān)零點存在性定理的應(yīng)用問題，解題思路如下：（1）先構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)﹣g(x)；（2）利用題中所給的有關(guān)函數(shù)值，得到h(0)=﹣0.44<0，h(1)=0.542>0；（3）利用零點存在性定理，得到結(jié)果.10、B【解析】根據(jù)題意列出方程，結(jié)合對數(shù)式與指數(shù)式的互化以及對數(shù)運算性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)“心宿二”的星等為，“天津四”的星等為，“心宿二”和“天津四”的亮度分別為，，，，，所以，所以，所以，所以與最接近的是1.26，故選：B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】根據(jù)題中條件先確定函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)的取值范圍.【詳解】由對任意實數(shù)都成立可知，函數(shù)為實數(shù)集上的單調(diào)減函數(shù).所以解得.故答案為.12、2【解析】因為函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，又f(0)＝20＋0－7＝－6<0，f(1)＝21＋1－7＝－4<0，f(2)＝22＋2－7＝－1<0，f(3)＝23＋3－7＝4>0所以f(2)·f(3)<0，故函數(shù)f(x)的零點所在的一個區(qū)間是(2,3)，所以整數(shù)n的值為2.13、【解析】設(shè)出該點的坐標，根據(jù)題意列方程組，從而求得該點到原點的距離【詳解】設(shè)該點的坐標是（x，y，z），∵該點到三個坐標軸的距離都是1，∴x2+y2＝1，x2+z2＝1，y2+z2＝1，∴x2+y2+z2，∴該點到原點的距離是故答案為【點睛】本題考查了空間中點的坐標與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題14、【解析】換元，，化簡得到二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得到最值.【詳解】設(shè)，，則，，故當，即時，函數(shù)有最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)的最值，意在考查學生的計算能力，換元是解題的關(guān)鍵.15、【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖所示，當時，單調(diào)遞減，且，當時，單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)的圖象與直線有兩個交點時，有16、##【解析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)可得，再由指對數(shù)關(guān)系有，，即可得答案.【詳解】由，又，，∴，，故.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)減函數(shù)；(2)（其中）.【解析】（1）即得是關(guān)于的減函數(shù)；（2）利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化，可以把t表示為原子數(shù)N的函數(shù)試題解析：（1）由已知可得因為是正常數(shù)，，所以，即，又是正常數(shù)，所以是關(guān)于的減函數(shù)（2）因為，所以，所以，即（其中）.點睛：本題利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可容易得出函數(shù)的單調(diào)性，利用指數(shù)與對數(shù)的互化可得出函數(shù)的表達式.18、（1）0；；（2）或.【解析】（1）代入計算得，由對數(shù)有意義列出不等式求解作答.（2）由a值分類討論單調(diào)性，再列式計算作答.【小問1詳解】函數(shù)，則，由解得：，所以的值是0，的定義域是.【小問2詳解】當時，在上單調(diào)遞減，，，于是得，即，解得，則，當時，在上單調(diào)遞增，，，于是得，即，解得，則，所以實數(shù)的值為或.19、（I）；（II）.【解析】（Ⅰ）可求出定義域，從而得出，并可求出集合，從而得出時的集合，然后進行交集的運算即可；（Ⅱ）根據(jù)即可得出，從而得出，從而得出實數(shù)的取值范圍【詳解】解：（Ⅰ）要使f（x）有意義，則：；解得-4≤x＜5；∴A={x|-4≤x＜5}；B={x|x≥a+2}，a=1時，B={x|x≥3}；∴A∩B={x|3≤x＜5}；（Ⅱ）∵A∪B=B；∴A?B；∴a+2≤-4；∴a≤-6；∴實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-6]．【點睛】考查函數(shù)的定義域的概念及求法，交集的概念及運算，以及子集的概念，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）根據(jù)新定義逐一判斷即可；（2）根據(jù)新定義證明即可；（3）若為線周期函數(shù)，則存在非零常數(shù)，對任意，都有，可得，解得的值再檢驗即可.【詳解】（1）對于，，所以不是線周期函數(shù)，對于，，所以不是線周期函數(shù)，對于，，所以是線周期函數(shù)；（2）若為線周期函數(shù)，其線周期為，則存在非零常數(shù)對任意，都有恒成立，因為，所以，所以為周期函數(shù)；（3）因為為線周期函數(shù)，則存在非零常數(shù)，對任意，都有，所以，令，得，令，得，所以，因為，所以，檢驗：當時，，存在非零常數(shù)，對任意，，所以為線周期函數(shù)，所以：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是對新定義的理解和應(yīng)用，以及特殊值解決恒成立問題.21、（1）2；（2）【解析】（1）由三角形中位線定理可得∥，則可得是異