2025屆北京市第四十三中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2025屆北京市第四十三中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖是一個(gè)程序框圖，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的n值是（）A.2 B.3C.4 D.52．某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為3∶3∶4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高三年級(jí)抽取的學(xué)生數(shù)為（）A.10 B.15C.20 D.303．已知，記M到x軸的距離為a，到y(tǒng)軸的距離為b，到z軸的距離為c，則（）A. B.C. D.4．若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B.C. D.且5．等差數(shù)列的公差，且，，則的通項(xiàng)公式是（）A. B.C. D.6．記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A.12 B.18C.21 D.277．已知直線與直線，若，則（）A.6 B.C.2 D.8．已知分別表示隨機(jī)事件發(fā)生的概率，那么是下列哪個(gè)事件的概率（）A事件同時(shí)發(fā)生B.事件至少有一個(gè)發(fā)生C.事件都不發(fā)生D事件至多有一個(gè)發(fā)生9．已知直線，，若，則實(shí)數(shù)等于（）A.0 B.1C. D.1或10．設(shè)、是兩條不同的直線，、、是三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則11．在中，，則邊的長(zhǎng)等于（）A. B.C. D.212．若a>b，c>d，則下列不等式中一定正確的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若數(shù)列的前n項(xiàng)和，則其通項(xiàng)公式________14．如圖，某建筑物的高度，一架無(wú)人機(jī)上的儀器觀測(cè)到建筑物頂部的仰角為，地面某處的俯角為，且，則此無(wú)人機(jī)距離地面的高度為_(kāi)_______15．下圖是個(gè)幾何體的展開(kāi)圖，圖①是由個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形組成；圖②是由四個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形組成；圖③是由個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形組成；圖④是由個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形組成.若幾何體能夠穿過(guò)直徑為的圓，則該幾何體的展開(kāi)圖可以是______（填所有正確結(jié)論的序號(hào)）.16．雙曲線的離心率為_(kāi)_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，底面分別為的中點(diǎn)，（1）求證：平面平面；（2）求二面角的大小18．（12分）已知與定點(diǎn)，的距離比為的點(diǎn)P的軌跡為曲線C，過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn).（1）求曲線C的軌跡方程；（2）若，求.19．（12分）已知函數(shù)滿足.（1）求的解析式，并判斷其奇偶性；（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.20．（12分）一個(gè)經(jīng)銷(xiāo)鮮花產(chǎn)品的微店，為保障售出的百合花品質(zhì)，每天從云南鮮花基地空運(yùn)固定數(shù)量的百合花，如有剩余則免費(fèi)分贈(zèng)給第二天購(gòu)花顧客，如果不足，則從本地鮮花供應(yīng)商處進(jìn)貨.今年四月前10天，微店百合花的售價(jià)為每支2元，云南空運(yùn)來(lái)的百合花每支進(jìn)價(jià)1.6元，本地供應(yīng)商處百合花每支進(jìn)價(jià)1.8元，微店這10天的訂單中百合花的需求量（單位：支）依次為：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252.（Ⅰ）求今年四月前10天訂單中百合花需求量的平均數(shù)和眾數(shù)，并完成頻率分布直方圖；（Ⅱ）預(yù)計(jì)四月的后20天，訂單中百合花需求量的頻率分布與四月前10天相同，百合花進(jìn)貨價(jià)格與售價(jià)均不變，請(qǐng)根據(jù)（Ⅰ）中頻率分布直方圖判斷（同一組中的需求量數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，位于各區(qū)間的頻率代替位于該區(qū)間的概率），微店每天從云南固定空運(yùn)250支，還是255支百合花，四月后20天百合花銷(xiāo)售總利潤(rùn)會(huì)更大？21．（12分）為落實(shí)國(guó)家扶貧攻堅(jiān)政策，某地區(qū)應(yīng)上級(jí)扶貧辦的要求，對(duì)本地區(qū)所有貧困戶每年年底進(jìn)行收入統(tǒng)計(jì)，下表是該地區(qū)貧困戶從2017年至2020年的收入統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：（其中y為貧困戶的人均年純收入）年份2017年2018年2019年2020年年份代碼1234人均年純收入y/百元25283235（1）在給定的坐標(biāo)系中畫(huà)出A貧困戶的人均年純收入關(guān)于年份代碼的散點(diǎn)圖；（2）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并估計(jì)A貧困戶在年能否脫貧.（注：假定脫貧標(biāo)準(zhǔn)為人均年純收入不低于元）參考公式：，參考數(shù)據(jù)：，.22．（10分）如圖所示在多面體中，平面，四邊形是正方形，，，，.（1）求證：直線平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般需重復(fù)計(jì)算，根據(jù)判斷框中的條件，確定何時(shí)終止循環(huán)，輸出結(jié)果.【詳解】初始值：，當(dāng)時(shí)，，進(jìn)入循環(huán)；當(dāng)時(shí)，，進(jìn)入循環(huán)；當(dāng)時(shí)，，終止循環(huán)，輸出的值為3.故選：B2、C【解析】根據(jù)抽取比例乘以即可求解.【詳解】由題意可得應(yīng)從高三年級(jí)抽取的學(xué)生數(shù)為，故選：C.3、C【解析】分別求出點(diǎn)M在x軸，y軸，z軸上的投影點(diǎn)的坐標(biāo)，再借助空間兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算作答.【詳解】設(shè)點(diǎn)M在x軸上的投影點(diǎn)，則，而x軸的方向向量，由得：，解得，則，設(shè)點(diǎn)M在y軸上的投影點(diǎn)，則，而y軸的方向向量，由得：，解得，則，設(shè)點(diǎn)M在z軸上的投影點(diǎn)，則，而z軸的方向向量，由得：，解得，則，所以.故選：C4、A【解析】根據(jù)雙曲線定義，且焦點(diǎn)在y軸上，則可直接列出相關(guān)不等式.【詳解】若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則必有：，且解得：故選：5、C【解析】由于數(shù)列為等差數(shù)列，所以，再由可得可以看成一元二次方程的兩個(gè)根，由可知，所以，從而可求出，可得到通項(xiàng)公式.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，因?yàn)?，所以可以看成一元二次方程的兩個(gè)根，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以故選：C【點(diǎn)睛】此題考查的是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可知等比數(shù)列的公比,所以成等比數(shù)列，根據(jù)等比的中項(xiàng)性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和，且，，易知等比數(shù)列的公比,所以成等比數(shù)列所以，所以，解得.故選：C7、A【解析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件得到方程，解得即可；【詳解】解：因?yàn)橹本€與直線，且，所以，解得；故選：A8、C【解析】表示事件至少有一個(gè)發(fā)生概率，據(jù)此得到答案.【詳解】分別表示隨機(jī)事件發(fā)生的概率，表示事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率，故表示事件都不發(fā)生的概率.故選：C.9、C【解析】由題意可得，則由得，從而可求出的值【詳解】由題意可得，因?yàn)?，，，所以，解得，故選：C10、B【解析】根據(jù)線線、線面、面面的位置關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A.一條直線垂直于一平面內(nèi)的，兩條相交直線，則改直線與平面垂直則由，不能得出，故選項(xiàng)A不正確.選項(xiàng)B.,則正確，故選項(xiàng)B正確.選項(xiàng)C若，則與可能相交，可能異面，也可能平行，故選項(xiàng)C不正確.選項(xiàng)D.若，則與可能相交，可能平行，故選項(xiàng)D不正確.故選：B11、A【解析】由余弦定理求解【詳解】由余弦定理，得，即，解得（負(fù)值舍去）故選：A12、B【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)及反例判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】因?yàn)閏>d，所以，所以，所以B正確；時(shí)，不滿足選項(xiàng)A；時(shí)，，且，所以不滿足選項(xiàng)CD；故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由和計(jì)算【詳解】由題意，時(shí)，，所以故答案為：14、200【解析】在Rt△ABC中求得AC的值，△ACQ中由正弦定理求得AQ的值，在Rt△APQ中求得PQ的值【詳解】根據(jù)題意，可得Rt△ABC中，∠BAC＝60°，BC＝300，∴AC200；△ACQ中，∠AQC＝45°+15°＝60°，∠QAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠QCA＝180°﹣∠AQC﹣∠QAC＝45°，由正弦定理，得，解得AQ200，在Rt△APQ中，PQ＝AQsin45°＝200200m故答案為200【點(diǎn)睛】本題考查了解三角形的應(yīng)用問(wèn)題，考查正弦定理，三角形內(nèi)角和問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化化歸能力，是基礎(chǔ)題15、①【解析】根據(jù)幾何體展開(kāi)圖可知①正四面體、②正四棱錐、③正八面體、④正方體，進(jìn)而求其外接球半徑，并與比較大小，即可確定答案.【詳解】①由題設(shè)，幾何體為棱長(zhǎng)為的正四面體，該正四面體可放入一個(gè)正方體中，且正方體的棱長(zhǎng)為，該正四面體的外接球半徑為，滿足要求；②由題設(shè)，幾何體為棱長(zhǎng)為的正四棱錐，如下圖所示：設(shè)，連接，則為、的中點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為的正方形，則，所以，，所以，，所以，，，所以點(diǎn)為正四棱錐的外接球球心，且該球的半徑為，不滿足要求；③由題設(shè)，幾何體為棱長(zhǎng)為的正八面體，該正八面體可由兩個(gè)共底面，且棱長(zhǎng)均為的正四棱錐拼接而成，由②可知，該正八面體的外接球半徑為，不滿足要求；④由題設(shè)，幾何體為棱長(zhǎng)為的正方體，其外接球半徑為，不滿足要求；故答案為：①.16、【解析】∵雙曲線的方程為∴，∴∴故答案為三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）依題意可得平行四邊形是矩形，即可得到，再由及面面垂直的性質(zhì)定理得到平面，從而得到，即可得到平面，從而得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值，即可得解；【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，因?yàn)?，所以平行四邊形是矩形，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面面，所以平面，因?yàn)槊?，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面；【小?wèn)2詳解】解：由（1）可得：兩兩垂直，如圖，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則則，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由則，令，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，所以，根據(jù)圖像可知二面角為銳二面角，所以二面角的大小為；18、（1）（2）或【解析】（1）設(shè)曲線上的任意一點(diǎn)，由題意可得，化簡(jiǎn)即可得出（2）分直線的斜率不存在與存在兩種情況討論，當(dāng)斜率不存在時(shí)，即可求出、的坐標(biāo)，從而求出，當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立直線與圓的方程，消元列出韋達(dá)定理，則，即可求出，從而求出直線方程，由圓心在直線上，即可求出弦長(zhǎng)；【小問(wèn)1詳解】解：（1）設(shè)曲線上的任意一點(diǎn)，由題意可得：，即，整理得【小問(wèn)2詳解】解：依題意當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，則，則或，即、，所以、，所以滿足條件，此時(shí)，當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，，，則，消去整理得，由，解得或，所以、，因?yàn)椋?，所以，解得，所以直線方程為，又直線過(guò)圓心，所以，綜上可得或；19、（1），是奇函數(shù)（2）【解析】(1)由求出，進(jìn)而求得的解析式，利用奇偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)的奇偶性即可；(2)根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對(duì)任意使得恒成立即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，所?所以.的定義城為，且，所以是奇函數(shù).【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，在上均為增函?shù)，所以在上增函數(shù)，所以.對(duì)任意，不等式恒成立，則，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范固為.20、（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）四月后20天總利潤(rùn)更大【解析】（Ⅰ）根據(jù)眾數(shù)的定義直接可求出眾為255.利用平均數(shù)的公式可以求出平均數(shù)．根據(jù)給定的分組，通過(guò)計(jì)算完成頻率分布直方圖（Ⅱ）設(shè)訂單中百合花需求量為（支），由（Ⅰ）中頻率分布直方圖，可以求出可能取值、每個(gè)可能取值相應(yīng)頻率，每個(gè)可能取值相應(yīng)的天數(shù)．分別求出空運(yùn)250支，255支百合花時(shí)，銷(xiāo)售總利潤(rùn)的大小，進(jìn)行比較，得出結(jié)論【詳解】解：（Ⅰ）四月前10天訂單中百合需求量眾數(shù)為255，平均數(shù)頻率分布直方圖補(bǔ)充如下：（Ⅱ）設(shè)訂單中百合花需求量為（支），由（Ⅰ）中頻率分布直方圖，可能取值為235，245，255，265，相應(yīng)頻率分別為0.1，0.3，0.4，0.2，∴20天中相應(yīng)的天數(shù)為2天，6天，8天，4天.①若空運(yùn)250支，當(dāng)日利潤(rùn)為，，當(dāng)日利潤(rùn)為，，當(dāng)日利潤(rùn)為，，當(dāng)日利潤(rùn)為，20天總利潤(rùn)為元.②若空運(yùn)255支，當(dāng)日利潤(rùn)為，，當(dāng)日利潤(rùn)為，，當(dāng)日利潤(rùn)為，，當(dāng)日利潤(rùn)為，20天總利潤(rùn)為元.∵，∴每天空運(yùn)250支百合花四月后20天總利潤(rùn)更大.【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)、平均數(shù)、頻率分布直方圖；重點(diǎn)考查了學(xué)生通過(guò)閱讀，提取有用信息，用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際生活問(wèn)題的能力21、（1）散點(diǎn)圖見(jiàn)解析；（2），能夠脫貧.【解析】（1）直接畫(huà)出點(diǎn)即可；（2）利用公式求出與，即可求出，把代入即可估計(jì)出A貧困戶在2021年能否脫貧.【小問(wèn)1詳解】畫(huà)出y關(guān)于x的散點(diǎn)圖，如圖所示：【小問(wèn)2詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算，，又