陜西省長(zhǎng)安市第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題含解析

陜西省長(zhǎng)安市第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線與圓交于兩點(diǎn)，過(guò)分別作的垂線與軸交于兩點(diǎn)，則A.2 B.3C. D.42．在的展開(kāi)式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，則含的項(xiàng)的系數(shù)為（）A.-20 B.-15C.-6 D.153．橢圓上一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，則到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是（）A. B.C. D.4．已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件5．直線的傾斜角為（）A.30° B.60°C.90° D.120°6．如圖給出的是一道典型的數(shù)學(xué)無(wú)字證明問(wèn)題：各矩形塊中填寫(xiě)的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮數(shù)列，所有數(shù)字之和等于1.按照?qǐng)D示規(guī)律，有同學(xué)提出了以下結(jié)論，其中正確的是（）A.由大到小的第八個(gè)矩形塊中應(yīng)填寫(xiě)的數(shù)字為B.前七個(gè)矩形塊中所填寫(xiě)的數(shù)字之和等于C.矩形塊中所填數(shù)字構(gòu)成的是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列D.按照這個(gè)規(guī)律繼續(xù)下去，第n-1個(gè)矩形塊中所填數(shù)字是7．等比數(shù)列的公比為，則“”是“對(duì)于任意正整數(shù)n，都有”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件8．已知拋物線，則其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C.1 D.49．已知直線為拋物線的準(zhǔn)線，直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.C.4 D.810．由小到大排列的一組數(shù)據(jù)：，其中每個(gè)數(shù)據(jù)都小于，另一組數(shù)據(jù)2、的中位數(shù)可以表示為（）A. B.C. D.11．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為．若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則取得最大值時(shí)n的值為（）A.2 B.3C.4 D.512．雙曲線的離心率為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則雙曲線的焦距等于A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)、，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，則的面積為_(kāi)__________.14．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，與拋物線分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），_________15．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于__________.16．一條直線過(guò)點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)．若，則弦中點(diǎn)到直線的距離等于__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，①求；②若不等式對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍18．（12分）已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）四邊形的頂點(diǎn)在橢圓上，且對(duì)角線，均過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求的取值范圍.19．（12分）如圖，已知圓錐SO底面圓的半徑r=1，直徑AB與直徑CD垂直，母線SA與底面所成的角為.（1）求圓錐SO的側(cè)面積；（2）若E為母線SA的中點(diǎn)，求二面角E-CD-B的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）20．（12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，，若點(diǎn)P為棱上一點(diǎn)，且，Q，R分別為棱上的點(diǎn)，且.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.21．（12分）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為的曲線C上.（1）求雙曲線C的方程；（2）記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q(0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，若△OEF的面積為求直線l的方程22．（10分）（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）用向量方法證明：已知直線l，a和平面，，，，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由題意，圓心到直線的距離，∴，∵直線∴直線的傾斜角為，∵過(guò)分別作的垂線與軸交于兩點(diǎn)，∴，故選D.2、C【解析】先由只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，求出n=6；再由展開(kāi)式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，用賦值法求出,用通項(xiàng)公式求出的項(xiàng)的系數(shù).【詳解】∵在的展開(kāi)式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，∴在的展開(kāi)式有7項(xiàng)，即n=6；而展開(kāi)式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，令x=1，代入，即，所以.∴是展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，要求含的項(xiàng)，只需，解得，所以系數(shù)為.故選：C3、B【解析】利用橢圓的定義可得結(jié)果.【詳解】在橢圓中，，由橢圓的定義可知，到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是.故選：B.4、B【解析】求得中的取值范圍，由此確定充分、必要條件.【詳解】，，所以“”是“”的充要條件.故選：B5、B【解析】根據(jù)給定方程求出直線斜率，再利用斜率的定義列式計(jì)算得解.【詳解】直線的斜率，設(shè)其傾斜角為，顯然，則有，解得，直線的傾斜角為.故選：B6、B【解析】根據(jù)題意可得矩形塊中的數(shù)字從大到小形成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求.【詳解】設(shè)每個(gè)矩形塊中的數(shù)字從大到小形成數(shù)列，則可得是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，所以由大到小的第八個(gè)矩形塊中應(yīng)填寫(xiě)的數(shù)字為，故A錯(cuò)誤；前七個(gè)矩形塊中所填寫(xiě)的數(shù)字之和等于，故B正確；矩形塊中所填數(shù)字構(gòu)成的是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故C錯(cuò)誤；按照這個(gè)規(guī)律繼續(xù)下去，第個(gè)矩形塊中所填數(shù)字是，故D錯(cuò)誤.故選：B.7、D【解析】結(jié)合等比數(shù)列的單調(diào)性，根據(jù)充分必要條件的定義判斷【詳解】若，，則，，充分性不成立；反過(guò)來(lái)，若，，則時(shí)，必要性不成立；因此“”是“對(duì)于任意正整數(shù)n，都有”的既不充分也不必要條件.故選：D8、B【解析】化簡(jiǎn)拋物線的方程為，求得，即為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.【詳解】由題意，拋物線，即，解得，即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是故選：B9、D【解析】先求拋物線的方程，再聯(lián)立直線方程和拋物線方程，由弦長(zhǎng)公式可求的最小值.【詳解】因?yàn)橹本€為拋物線的準(zhǔn)線，故即，故拋物線方程為：.設(shè)直線，則，，而，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故的最小值為8，故選：D.10、C【解析】先根據(jù)題意對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排列，然后由中位數(shù)的定義求解即可【詳解】因?yàn)橛尚〉酱笈帕械囊唤M數(shù)據(jù)：，其中每個(gè)數(shù)據(jù)都小于，所以另一組數(shù)據(jù)2、從小到大的排列為，所以這一組數(shù)的中位數(shù)為，故選：C11、C【解析】根據(jù)單調(diào)性分析出數(shù)列的正數(shù)項(xiàng)有哪些即可求解.【詳解】由條件有，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即.即，所以取得最大值時(shí)n的值為.故選：C12、D【解析】不妨設(shè)雙曲線方程為，則，即設(shè)焦點(diǎn)為，漸近線方程為則又解得．則焦距為．選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可求得直線、的方程，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，可求得以及點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，其中，則，可得，即點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，，所以，直線的方程為，聯(lián)立，解得或，即點(diǎn)，所以，，直線的方程為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，聯(lián)立，可得點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，因此，.故答案為：.14、3【解析】根據(jù)拋物線焦半徑公式，所以.故答案為：3.15、【解析】先將拋物線方程，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程即可.【詳解】因?yàn)閽佄锞€方程是，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，所以拋物線開(kāi)口方向向右，焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程為：，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】求出弦的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離，進(jìn)一步得到弦的中點(diǎn)到直線的距離【詳解】解：如圖，拋物線的焦點(diǎn)為，，弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則弦的中點(diǎn)到直線的距離等于故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析，（2）①；②【解析】（1）由得到，即可得到，從而得證，即可求出的通項(xiàng)公式，從而得到的通項(xiàng)公式；（2）①由（1）可得，再利用錯(cuò)位相減法求和即可；②利用作差法證明的單調(diào)性，即可得到，即可得到，再解一元二次不等式即可；【小問(wèn)1詳解】證明：由，，當(dāng)時(shí)，可得，解得，當(dāng)時(shí)，，又，兩式相減得，所以，所以，即，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；所以，所以【小問(wèn)2詳解】解：①由（1）可得，所以，所以，所以，所以整理得②由①知，所以，即單調(diào)遞增，所以，因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意的正整數(shù)n恒成立，所以，即，解得或，即18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，由求解；（2）設(shè)直線AC方程為，則直線BD的方程為，分時(shí)，與橢圓方程聯(lián)立求得A，B的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)闄E圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以橢圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線AC的方程為，則直線BD的方程為.當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，得，不妨設(shè)A，聯(lián)立，得，當(dāng)B時(shí)，，，當(dāng)B時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，同理可得上述結(jié)論.綜上，19、（1）（2）【解析】（1）先根據(jù)母線與底面的夾角求出圓錐的母線長(zhǎng)，然后根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式即可（2）利用三角形的中位線性質(zhì)，先求出二面角，然后利用二面角與二面角的互補(bǔ)關(guān)系即可求得【小問(wèn)1詳解】根據(jù)母線SA與底面所成的角為，且底面圓的半徑可得：則圓錐的側(cè)面積為：【小問(wèn)2詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作底面的垂線交于，連接，則為的中位線則有：，，易知，則，又直徑AB與直徑CD垂直，則則有：為二面角可得：又二面角與二面角互為補(bǔ)角，則二面角的余弦值為故二面角大小為20、（1）（2）【解析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求線面角；（2）用空間向量法求二面角【小問(wèn)1詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線方向?yàn)閤，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.當(dāng)時(shí)，，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，即不妨得，，又，所以，則【小問(wèn)2詳解】在長(zhǎng)方體中，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，因?yàn)槠矫媾c平面交于，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，所以平面，即為平面的一個(gè)法向量，，所以，又平面的法向量為，所以.21、(1)雙曲線方程為(2)滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y=和【解析】（1）由雙曲線焦點(diǎn)可得值，進(jìn)而可得到的關(guān)系式，將點(diǎn)P代入雙曲線可得到的關(guān)系式，解方程組可求得值，從而確定雙曲線方程；（2）求直線方程采用待定系數(shù)法，首先設(shè)出方程的點(diǎn)斜式，與雙曲線聯(lián)立，求得相交的弦長(zhǎng)和O到直線的距離，代入面積公式可得到直線的斜率，求得直線方程試題解析：（1）由已知及點(diǎn)在雙曲線上得解得；所以，雙曲線的方程為（2）由題意直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為由得設(shè)直線與雙曲線交