河北省安平縣安平中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

河北省安平縣安平中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，是球的球面上兩點，，為該球面上的動點，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為（）A. B.C. D.2．函數(shù)在處的切線方程為()A. B.C. D.3．用數(shù)學(xué)歸納法時，從“k到”左邊需增乘的代數(shù)式是（）A. B.C. D.4．已知F是雙曲線的右焦點，過F且垂直于x軸的直線交E于A，B兩點，若E的漸近線上恰好存在四個點，，，，使得，則E的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知等比數(shù)列的前n項和為，且滿足公比0＜q＜1，＜0，則下列說法不正確的是（）A.一定單調(diào)遞減 B.一定單調(diào)遞增C.式子-≥0恒成立 D.可能滿足=，且k≠16．已知，，則等于（）A.2 B.C. D.7．已知橢圓方程為，點在橢圓上，右焦點為F，過原點的直線與橢圓交于A，B兩點，若，則橢圓的方程為（）A. B.C. D.8．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，，則線段的中點坐標(biāo)與向量的模長分別是（）A.；5 B.；C.； D.；9．若拋物線x2=8y上一點P到焦點的距離為9，則點P的縱坐標(biāo)為（）A. B.C.6 D.710．如圖，把橢圓的長軸分成6等份，過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于點，F(xiàn)是橢圓C的右焦點，則（）A.20 B.C.36 D.3011．已知斜率為1的直線與橢圓相交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，AB的中點為P，若直線OP的斜率為，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.12．以原點為對稱中心的橢圓焦點分別在軸，軸，離心率分別為，直線交所得的弦中點分別為，，若，，則直線的斜率為()A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)x，y滿足約束條件則的最大值為________14．已知數(shù)列滿足，，則______.15．已知函數(shù)，則函數(shù)在上的最大值為_______16．在中.若成公比為的等比數(shù)列，則____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的離心率為，，分別為橢圓的左，右焦點，為橢圓上一點，的周長為.（1）求橢圓的方程；（2）為圓上任意一點，過作橢圓的兩條切線，切點分別為A，B，判斷是否為定值?若是，求出定值：若不是，說明理由，18．（12分）如圖，在三棱錐中，側(cè)面PBC是邊長為2的等邊三角形，M，N分別為AB，AP的中點．過MN的平面與側(cè)面PBC交于EF（1）求證：；（2）若平面平面ABC，，求直線PB與平面PAC所成角的正弦值19．（12分）已知數(shù)列，若_________________（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和從下列三個條件中任選一個補(bǔ)充在上面的橫線上，然后對題目進(jìn)行求解①；②，，；③，點，在斜率是2的直線上20．（12分）已知橢圓：的長軸長為6，離心率為，長軸的左，右頂點分別為A，B（1）求橢圓的方程；（2）已知過點的直線交橢圓于M、N兩個不同的點，直線AM，AN分別交軸于點S、T，記，（為坐標(biāo)原點），當(dāng)直線的傾斜角為銳角時，求的取值范圍21．（12分）如圖①，等腰梯形中，，分別為的中點，，現(xiàn)將四邊形沿折起，使平面平面，得到如圖②所示的多面體，在圖②中：（1）證明：平面平面；（2）求四棱錐的體積.22．（10分）設(shè)a，b是實數(shù)，若橢圓過點，且離心率為.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓E的上頂點P分別作斜率為，的兩條直線與橢圓交于C，D兩點，且，試探究過C，D兩點的直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標(biāo)；否則，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】當(dāng)平面時，三棱錐體積最大，根據(jù)棱長與球半徑關(guān)系即可求出球半徑，從而求出表面積.【詳解】當(dāng)平面時，三棱錐體積最大.又，則三棱錐體積，解得；故表面積.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查三棱錐與球的組合體的綜合問題，本題的關(guān)鍵是判斷當(dāng)平面時，三棱錐體積最大.2、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求切線方程﹒【詳解】，，，，在處的切線為：，即﹒故選：C﹒3、C【解析】分別求出n＝k時左端的表達(dá)式，和n＝k+1時左端的表達(dá)式，比較可得“n從k到k+1”左端需增乘的代數(shù)式【詳解】當(dāng)n＝k時，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），當(dāng)n＝k+1時，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），∴左邊需增乘的代數(shù)式是故選：C【點睛】本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，分別求出n＝k時左端的表達(dá)式和n＝k+1時左端的表達(dá)式，是解題的關(guān)鍵4、D【解析】由題意以AB為直徑的圓M與雙曲線E的漸近線有四個不同的交點，則必有，又當(dāng)圓M經(jīng)過原點時此時以AB為直徑的圓M上與雙曲線E的漸近線有三個不同的交點，不滿足，從而得出答案.【詳解】由題意，由得，雙曲線的漸近線方程為所以，由，可知，，，在以AB為直徑的圓M上，圓的半徑為即以AB為直徑的圓M與雙曲線E的漸近線有四個不同的交點當(dāng)圓M與漸近線相切時，圓心到漸近線的距離，則必有，即，則雙曲線E的離心率，所以又當(dāng)圓M經(jīng)過原點時，，解得E的離心率為，此時以AB為直徑圓M與雙曲線E的漸近線有三個不同的交點，不滿足條件.所以E的離心率的取值范圍是.故選：D5、D【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，前n項和的意義，可逐項分析求解.【詳解】因為等比數(shù)列的前n項和為，且滿足公比0＜q＜1，＜0，所以當(dāng)時，由可得，故數(shù)列為增函數(shù)，故B正確；由0＜q＜1，＜0知，所以，故一定單調(diào)遞減，故A正確；因為當(dāng)時，，，所以，即-，當(dāng)時，，綜上，故C正確；若=，且k≠1，則，即，因為，故，故矛盾，所以D不正確.故選：D6、D【解析】利用兩角和的正切公式計算出正確答案.【詳解】.故選：D7、A【解析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得，則橢圓方程可求.【詳解】由點在橢圓上得，由橢圓的對稱性可得，則，故橢圓方程為.故選：A.8、B【解析】根據(jù)給定條件利用中點坐標(biāo)公式及空間向量模長的坐標(biāo)表示計算作答.【詳解】因點，，所以線段的中點坐標(biāo)為，.故選：B9、D【解析】設(shè)出P的縱坐標(biāo)，利用拋物線的定義列出方程，求出答案.【詳解】由題意得：拋物線準(zhǔn)線方程為，P點到拋物線的焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，設(shè)點縱坐標(biāo)為，則，解得：.故選：D10、D【解析】由橢圓的對稱性可知，，代入計算可得答案.【詳解】設(shè)橢圓左焦點為，連接由橢圓的對稱性可知，，所以.故選：D.11、B【解析】這是中點弦問題，注意斜率與橢圓a,b之間的關(guān)系.【詳解】如圖：依題意，假設(shè)斜率為1的直線方程為：，聯(lián)立方程：，解得：，代入得，故P點坐標(biāo)為，由題意，OP的斜率為，即，化簡得：，，，；故選：B.12、A【解析】分類討論直線的斜率存在與不存在兩種情況，聯(lián)立直線與曲線方程，再根據(jù)，求解.【詳解】設(shè)橢圓的方程分別為，，由可知，直線的斜率一定存在，故設(shè)直線的方程為.聯(lián)立得，故，；聯(lián)立得，則，.因為，所以，所以.又，所以，所以，所以，.故選：A.【點睛】此題利用設(shè)而不求的方法，找出、、、之間的關(guān)系，化簡即可得到的值.此題的難點在于計算量較大，且容易計算出錯.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】先作出可行域，由，得，作出直線，向下平移過點時，取得最大值，求出點坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)中可得答案【詳解】作出可行域如圖（圖中陰影部分），由，得，作出直線，向下平移過點時，取得最大值，由，得，即，所以的最大值為，故答案為：114、1023【解析】由數(shù)列遞推公式求特定項，依次求下去即可解決.【詳解】數(shù)列中，則，，，，，，故答案為：102315、【解析】利用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性求出的單調(diào)性，比較極小值與兩端點，的大小求出在上的最大值.【詳解】因為，則，令，即時，函數(shù)單調(diào)遞增.令，即時，函數(shù)單調(diào)遞減.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值也是函數(shù)的最小值.，兩端點為，，即最大值為.故答案為：.16、【解析】由條件可得，即，由余弦定理可得答案.【詳解】由成公比為的等比數(shù)列，即由正弦定理可知所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）是；【解析】（1）由離心率和焦點三角形周長可求出，結(jié)合關(guān)系式得出，即可得出橢圓的方程；（2）由平行于軸特殊情況求出，即；當(dāng)平行于軸時，設(shè)過的直線為，聯(lián)立橢圓方程，令化簡得關(guān)于的二次方程，由韋達(dá)定理即可求解.【小問1詳解】由題可知，，解得，又，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問2詳解】如圖所示，當(dāng)平行于軸時，恰好平行于軸，，，；當(dāng)不平行于軸時，設(shè)，設(shè)過點的直線為，聯(lián)立得，令得，化簡得，設(shè)，則，又，故，即.綜上所述，.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意先證明平面PBC，然后由線面平行的性質(zhì)定理可證明.（2）由平面平面ABC，取BC中點O，則平面ABC，可得，由條件可得，以O(shè)坐標(biāo)原點，分別以O(shè)B，AO，OP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】因為M，N分別為AB，AP的中點，所以，又平面PBC，所以平面PBC，因為平面平面，所以【小問2詳解】因為平面平面ABC，取BC中點O，連接PO，AO，因為是等邊三角形，所以，所以平面ABC，故，又因，所以，以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)B，AO，OP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得：，，，，，所以，，，設(shè)平面PAC的法向量為，則,則，令，得，，所以，所以直線PB與平面PAC所成角的正弦值為19、答案見解析.【解析】（1）若選①，根據(jù)通項公式與前項和的關(guān)系求解通項公式即可；若選②，根據(jù)可得數(shù)列為等差數(shù)列，利用基本量法求解通項公式即可；若選③，根據(jù)兩點間的斜率公式可得，可得數(shù)列為等差數(shù)列進(jìn)而求得通項公式；（2）利用裂項相消求和即可【詳解】解：（1）若選①，由，所以當(dāng)，，兩式相減可得：，而在中，令可得：，符合上式，故若選②，由（，）可得：數(shù)列為等差數(shù)列，又因為，，所以，即，所以若選③，由點，在斜率是2的直線上得：，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列且（2）由（1）知：，所以20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的長軸和離心率，可求得，進(jìn)而得橢圓方程；（2）先判斷直線斜率為正，然后設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立，整理得根與系數(shù)的關(guān)系，利用直線方程求出點S、T的坐標(biāo)，再根據(jù)確定的表達(dá)式，將根與系數(shù)的關(guān)系式代入化簡，求得結(jié)果.【小問1詳解】由題意可得：解得：，所以橢圓的方程：【小問2詳解】當(dāng)直線l的傾斜角為銳角時，設(shè)，設(shè)直線，由得，從而，又，得，所以，又直線的方程是：，令，解得，所以點S為；直線的方程是：，同理點T為·所以，因為，所以，所以∵，∴，綜上，所以的范圍是21、（1）證明見解析.（2）2【解析】（1）根據(jù)面面平行的判定定理結(jié)合已知條件即可證明；（2）將所求四棱錐的體積轉(zhuǎn)化為求即可.【小問1詳解】證明：因為，面，面，所以面，同理面，又因為面,所以面面.【小問2詳解】解：因為在圖①等腰梯形中，分別為的中點，所以，在圖②多面體中，因為，面，，所以面.因為，面面，面，面面,所以面，又因為面，所以，在直角三角形中，因為,所以，同理，，所以，則，有，所以.所以四棱錐的體積為2.22、（1）；（2）過定點，坐標(biāo)為.【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線斜率公式和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解