彎曲變形課件

*材力

彎曲變形

*材力§7–1

概述工程中的彎曲變形

*材力§7–1

概述簡支梁的彎曲變形

*材力§7–1

概述簡支梁的彎曲變形

*材力§7–1

概述簡支梁的彎曲變形

*材力§7–1

概述簡支梁的彎曲變形

*材力§7–1

概述簡支梁的彎曲變形

*材力§7–1

概述外伸梁的彎曲變形*材力xwxωFw=w(x)梁在平面彎曲時，其軸線彎成一平面曲線，稱為梁的撓曲軸。梁橫截面形心的豎向位移稱為截面的撓度，用w來表示。撓度以向下為正，向上為負(fù)。梁橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度稱為截面的轉(zhuǎn)角，用

來表示。轉(zhuǎn)角以順時針為正，逆時針為負(fù)。梁不同截面的撓度和轉(zhuǎn)角不同，它們是截面坐標(biāo)的函數(shù)，稱為梁的撓曲軸方程和轉(zhuǎn)角方程。*材力梁變形時，橫截面始終保持平面，且始終與梁的軸線垂直，由高等數(shù)學(xué)可知：小變形下，

很小，tg

≈

，于是得這就是梁的變形，撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系。xwxwFw=w(x)*材力§7–2梁的撓曲軸近似微分方程撓曲線的曲率與彎矩間的關(guān)系為由高等數(shù)學(xué)可知，曲線的曲率為小變形下，

很小，，于是得*材力xwMMxwMM這就是梁的撓曲軸近似微分方程，由此微分方程積分一次可求轉(zhuǎn)角，再積分一次可求撓度。*材力§7–3積分法計算彎曲變形為計算方便，將撓曲線近似微分方程改寫為轉(zhuǎn)角方程撓度方程

解題關(guān)鍵：

⒈正確建立梁的彎矩方程M（x）。若梁的各段彎矩方程不同，需分段建立；*材力每段梁都要積分兩次，均出現(xiàn)兩個積分常數(shù)，需通過邊界條件和變形連續(xù)條件來確定。

⑴邊界條件（支承條件）固定端：鉸支座（固定鉸支座和可動鉸支座）：

⑵變形連續(xù)條件在兩段梁的交界面：

=0，w=0。w=0。⒉確定積分常數(shù)。*材力解題步驟：⒈建立坐標(biāo)系。取梁的最左端為坐標(biāo)原點，x軸水平向右，w軸豎直向下；⒉將梁分段（與畫彎矩圖分段相同），分別寫出每段梁的彎矩方程；⒊將彎矩方程代入撓曲線近似微分方程，并積分兩次；⒋根據(jù)邊界條件和變形連續(xù)條件確定積分常數(shù)；⒌將要求變形的截面坐標(biāo)代入轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，求指定截面的轉(zhuǎn)角和撓度。*材力[例7—1]求圖示懸臂梁B

截面的轉(zhuǎn)角和撓度。ABq解：EIxxwqBll-xFS(x)M(x)*材力ABqEIxxwl確定積分常數(shù)：*材力ABqEIxxwl轉(zhuǎn)角方程撓度方程*材力[例7—2]求圖示外伸梁B

截面的轉(zhuǎn)角和C

截面的撓度。EIABCFx1x2xwFA=F/2解：l/2l*材力EIABCFx1x2xwFA=F/2l/2l*材力EIABCFx1x2xwFA=F/2l/2l*材力[練習(xí)1]用積分法計算圖示簡支梁的

A，

B，wC。EIABCxxwFA=ql/2l/2l/2qFB=ql/2解：*材力EIABCxxwFA=ql/2l/2l/2qFB=ql/2*材力[例7—3]用積分法計算圖示各梁需分幾段，確定積分常數(shù)的邊界條件和變形連續(xù)條件是什么？ACDF2x1x3wBF1l/2l/4l/4x2xqqABCxxwlEAa*材力[練習(xí)2]用積分法計算圖示各梁需分幾段，確定積分常數(shù)的邊界條件和變形連續(xù)條件是什么？ACFx3wBl/2l/2x2xqqABx1xwll/2x1DDCx2x3l/2l/2l*材力§7–4疊加法計算彎曲變形一、簡單梁簡單荷載下的變形L/2*材力ABEIlABEIlABEIlmFq*材力ABmABl/2ABEIEIEIql/2Fl/2l/2l/2l/2CCC*材力1、載荷疊加法：多個載荷同時作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形

等于每個載荷單獨作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。這里F為廣義力：力和力偶二、疊加法計算彎曲變形*材力ABl/2EIl/2FCm=FlABEIl/2l/2CABl/2EIl/2FC=+m=Fl==++*材力⒈懸臂梁⑴荷載在內(nèi)側(cè)，求端部位移abABFCEIwB2、逐段分析疊加法（逐段剛化法）：*材力⑵荷載在外側(cè)，求內(nèi)側(cè)位移abAFCEIwBABCaFM=Fb*材力FABClawcwc1

BaABlaM=FaFBCwc1FC*材力[例7—4]求圖示梁B，C截面的轉(zhuǎn)角和撓度。ABCEIl/2l/2q解：ABCEIqABCEIq+*材力ABCEIl/2l/2qABCEIqABCEIq+*材力ABCEIl/2l/2qAEICF=ql/2 M=ql2/8l/2*材力[例7—5]求圖示梁A截面的轉(zhuǎn)角和撓度。ABCDF=qlEIql/2l/2l/2BCDF=qlEIl/2l/2F=ql/2 Aq解：BM=ql2/8

*材力[練習(xí)3]求圖示階梯形懸臂梁自由端的轉(zhuǎn)角和撓度。ABC2EIaaFEIAC2EIaFaBFEIM=Fa解：CB*材力A2EIaaBFEIC*材力[練習(xí)4]求圖示外伸梁自由端的轉(zhuǎn)角和撓度。ABCll/2qF=ql/2ABll/2M=ql2/4FC解：qEIEIBCF*材力§7–5梁的剛度條件一、梁的剛度條件梁要正常工作，其應(yīng)力要控制在一定的范圍內(nèi)，即滿足強度條件；同時梁的變形也要控制在一定的范圍內(nèi)，即滿足剛度條件。土建類工程，主要要求梁的最大撓度與跨長之比要小于或等于容許值，即*材力機(jī)械類工程，傳動軸是裝在軸承上，軸的轉(zhuǎn)角過大會損壞軸承，因此要求軸在軸承處的轉(zhuǎn)角必須小于或等于容許值，即

二、提高梁的抗彎能力的主要措施⒈增大梁的抗彎剛度EI因各種鋼材的彈性模量差別不大，對于鋼梁來說，只有改善截面形狀，增大截面的慣性矩，才能提高梁的抗彎剛度EI。如采用工字形、槽形、箱形等。*材力⒉減小梁的跨度因梁的變形與跨度的若干次冪成正比，減小跨度可有效地降低梁的變形。如改變支座位置、增加支座等。ABEIqlABEIlq*材力§7–6簡單超靜定梁的解法計算梁的內(nèi)力、應(yīng)力、變形，首先要求出梁的支座反力。靜定梁的全部支座反力均可用平衡方程求之，但超靜定梁的支座反力數(shù)多于平衡方程數(shù)，需通過變形條件增加補充方程方可求解。ABCEIFl/2l/2FAFBMA*材力ACEIFl/2l/2FAMAFBB多余約束可以選擇，無論去掉哪個多余約束，最終結(jié)果相同。去掉多余約束支座B，將支座B的反力視為荷載，靜定梁AB在荷載F、FB作用下，B端撓度為零。*材力BCEIFl/2l/2FAFBMAAF3Fl/16Fl/4M圖⊕○－*材力上述解超靜定梁的方法稱為變形比較法。具體解題步驟如下：⑴去掉多余約束，代之以相應(yīng)的多余約束反力；⑵根據(jù)多余約束處的變形關(guān)系建立補充方程；⑶解補充方程求出多余約束反力；

⑷將多余約束反力視為主動力，將原超靜定梁視為靜定梁，然后按靜定梁求解其它問題。*材力[例7—6]解圖示超靜定梁，并畫彎矩圖。AB2aCaaEIFABCEIFFC解：去掉可動支座C，代之以反力FC。ABFBCFCFC2aFCC*材力ABCEIFFC=－3F/32M圖3Fa/16⊕○－*材力[例7—7]求圖示各梁的固端彎矩。ABCDFEIEIEIa2aFDA