2025屆重慶市綦江區(qū)南州中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試題含解析

2025屆重慶市綦江區(qū)南州中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線y＝kx＋3與圓(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N兩點，若，則k的取值范圍是()A. B.(－∞，]∪[0，＋∞)C. D.2．小方每次投籃的命中率為，假設(shè)每次投籃相互獨立，則他連續(xù)投籃2次，恰有1次命中的概率為（）A. B.C. D.3．已知拋物線上的一點，則點M到拋物線焦點F的距離等于（）A.6 B.5C.4 D.24．已知拋物線的焦點為，拋物線的焦點為，點在上，且，則直線的斜率為A. B.C. D.5．已知雙曲線C：（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，的C的離心率為（）A. B.C.2 D.6．已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分又不必要條件7．在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項，前3項和為21，則()A.84 B.72C.33 D.1898．甲、乙兩名同學(xué)同時從教室出發(fā)去體育館打球（路程相等），甲一半時間步行，一半時間跑步；乙一半路程步行，一半路程跑步.如果兩人步行速度、跑步速度均相等，則（）A.甲先到體育館 B.乙先到體育館C.兩人同時到體育館 D.不確定誰先到體育館9．若點P在曲線上運動，則點P到直線的距離的最大值為（）A. B.2C. D.410．過橢圓的左焦點作弦，則最短弦的長為（）A. B.2C. D.411．如圖，在正方體中，，，，若為的中點，在上，且，則等于（）A. B.C. D.12．“冰雹猜想”數(shù)列滿足：，，若，則（）A.4 B.3C.2 D.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．不大于100的正整數(shù)中，被3除余1的所有數(shù)的和是___________14．已知數(shù)列滿足，將數(shù)列按如下方式排列成新數(shù)列：，，，，，，，，，…，，…．則新數(shù)列的前70項和為______15．設(shè)數(shù)列滿足且，則________.數(shù)列的通項=________.16．在等比數(shù)列中，，，則公比________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)橢圓方程為，短軸長，____________.請在①與雙曲線有相同的焦點，②離心率，③這三個條件中任選一個補充在上面的橫線上，完成以下問題.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求以點為中點的弦所在的直線方程.18．（12分）已知橢圓C與橢圓有相同的焦點，且長軸長為4（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線，分別經(jīng)過點與C相切，切點分別為A，B，證明：19．（12分）已知雙曲線C：的離心率為，過點作垂直于x軸的直線截雙曲線C所得弦長為（1）求雙曲線C的方程；（2）直線（）與該雙曲線C交于不同的兩點A，B，且A，B兩點都在以點為圓心的同一圓上，求m的取值范圍20．（12分）已知拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，雙曲線E的漸近線方程為（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若O是坐標(biāo)原點，直線與拋物線C交于A，B兩點，求的面積21．（12分）在對某老舊小區(qū)污水分流改造時，需要給該小區(qū)重新建造一座底面為矩形且容積為324立方米的三級污水處理池（平面圖如圖所示）.已知池的深度為2米，如果池四周圍墻的建造單價為400元/平方米，中間兩道隔墻的建造單價為248元/平方米，池底的建造單價為80元/平方米，池蓋的建造單價為100元/平方米，建造此污水處理池相關(guān)人員的勞務(wù)費以及其他費用是9000元.（水池所有墻的厚度以及池底池蓋的厚度按相關(guān)規(guī)定執(zhí)行，計算時忽略不計）（1）現(xiàn)有財政撥款9萬元，如果將污水處理池的寬建成9米，那么9萬元的撥款是否夠用？（2）能否通過合理的設(shè)計污水處理池的長和寬，使總費用最低？最低費用為多少萬元？22．（10分）已知數(shù)列的首項為，且滿足.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項和為，求，并證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】圓心為，半徑為2，圓心到直線的距離為，解不等式得k的取值范圍考點：直線與圓相交的弦長問題2、A【解析】先弄清連續(xù)投籃2次，恰有1次命中的情況有兩種，它們是互斥關(guān)系，因此根據(jù)相互獨立事件以及互斥事件的概率計算公式進(jìn)行求解.【詳解】由題意知，他連續(xù)投籃2次，有兩種互斥的情況，即第一次投中第二次不中和第一次不中第二次投中，因此恰有1次命中的概率為，故選：A.3、B【解析】將點代入拋物線方程求出，再由拋物線的焦半徑公式可得答案.詳解】將點代入拋物線方程可得，解得則故選：B4、B【解析】根據(jù)拋物線的定義，求得p的值，即可得拋物線，的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得拋物線的焦點坐標(biāo)后，再根據(jù)斜率公式求解.【詳解】因為，所以，解得，所以直線的斜率為．故選B.【點睛】本題考查了拋物線的定義的應(yīng)用，考查了拋物線的簡單性質(zhì)，涉及了直線的斜率公式；拋物線上的點到焦點的距離等于其到準(zhǔn)線的距離；解題過程中注意焦點的位置.5、C【解析】由雙曲線的方程可得漸近線的直線方程，根據(jù)直線和圓相交弦長可得圓心到直線的距離，進(jìn)而可得，結(jié)合，可得離心率.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，即，被圓所截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離為，，解得，故選：C【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率、直線和圓的相交弦、點到直線距離等基本知識，考查了運算求解能力和邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于一般題目.6、B【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可求解.【詳解】由可得或，所以由得不出，故充分性不成立，由可得，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B.7、A【解析】分析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)前三項的和為列方程，結(jié)合等比數(shù)列中，各項都為正數(shù)，解得，從而可以求出的值.詳解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項為3，前三項的和為，，解之得或，在等比數(shù)列中，各項都為正數(shù)，公比為正數(shù)，舍去），，故選A.點睛：本題考查以一個特殊的等比數(shù)列為載體，通過求連續(xù)三項和的問題，著重考查了等比數(shù)列的通項，等比數(shù)列的性質(zhì)和前項和等知識點，屬于簡單題.8、A【解析】設(shè)出總路程與步行速度、跑步速度，表示出兩人所花時間后比較不等式大小【詳解】設(shè)總路程為，步行速度，跑步速度對于甲：，得對于乙：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，而，故，乙花時間多，甲先到體育館故選：A9、A【解析】由方程確定曲線的形狀，然后轉(zhuǎn)化為求圓上的點到直線距離的最大值【詳解】由曲線方程為知曲線關(guān)于軸成軸對稱，關(guān)于原點成中心對稱圖形，在第一象限內(nèi)，方程化為，即，在第一象限內(nèi)，曲線是為圓心，為半徑的圓在第一象限的圓弧（含坐標(biāo)軸上的點），實際上整個曲線就是這段圓弧及其關(guān)于坐標(biāo)軸．原點對稱的圖形加上原點，點到直線的距離為，所以所求最大值為故選：A10、A【解析】求出橢圓的通徑，即可得到結(jié)果【詳解】過橢圓的左焦點作弦，則最短弦的長為橢圓的通徑：故選：A11、B【解析】利用空間向量的加減法、數(shù)乘運算推導(dǎo)即可.【詳解】.故選：B.12、A【解析】根據(jù)題意分別假設(shè)為奇數(shù)、偶數(shù)的情況，求出對應(yīng)的即可.【詳解】由題意知，因為，若為奇數(shù)時，，與為奇數(shù)矛盾，不符合題意；若為偶數(shù)時，，可得，符合題意.不符合故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1717【解析】利用等差數(shù)列的前項和公式可求所有數(shù)的和.【詳解】100以內(nèi)的正整數(shù)中，被3除余1由小到大構(gòu)成等差數(shù)列，其首項為1，公差為3，共有項，它們的和為，故答案為：.14、##2.9375【解析】先根據(jù)題干條件得到，再利用錯位相減法求前64項和，最后求出前70項和.【詳解】①，當(dāng)時，；當(dāng)時，②，①-②得：，即又滿足，所以由，得令，則，兩式相減得，則所以新數(shù)列的前70項和為故答案為：15、①.5②.【解析】設(shè)，根據(jù)題意得到數(shù)列是等差數(shù)列，求得，得到，利用，結(jié)合“累加法”，即可求得.【詳解】解：由題意，數(shù)列滿足，所以當(dāng)時，，，解得，設(shè)，則，且，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，首項為，所以，即，所以，當(dāng)時，可得，其中也滿足，所以數(shù)列的通項公式為.故答案為：；.16、【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為等比數(shù)列中,故,又,故,故.故答案為：【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)運用,需要注意分析項與公比的正負(fù),屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析，.（2）.【解析】（1）若選①：求得雙曲線得雙曲線的焦點得出橢圓的，再由，可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若選②：根據(jù)已知條件和橢圓的離心率可求得，從而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若選③：由已知建立方程，求解可求得，從而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)直線的斜率為k，所求的直線方程為，代入橢圓的方程并整理得，設(shè)直線與橢圓的交點為，由根與系數(shù)的關(guān)系和中點坐標(biāo)公式可求得答案.【小問1詳解】解：若選①：由雙曲線得雙曲線的焦點和，因為橢圓與雙曲線有相同的焦點，所以橢圓的，又，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若選②：因為，所以，又離心率，所以，即，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若選③：因為，所以，即，又，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】解：由題意得直線的斜率必存在，設(shè)直線的斜率為k，所求的直線方程為，代入橢圓的方程并整理得，設(shè)直線與橢圓的交點為，則，因為點為AB中點，所以，解得，所以所求的直線方程為，即.18、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)共焦點求出參數(shù)c，由長軸長求參數(shù)a，即可確定C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）令過切線為，聯(lián)立橢圓C結(jié)合得到關(guān)于k的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系即可證明結(jié)論.【小問1詳解】由題設(shè)，對于橢圓C有，又橢圓的焦點為，則，所以，故C的標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問2詳解】由題設(shè)，直線，的斜率必存在，令橢圓C的切線方程為，聯(lián)立橢圓方程并整理可得：，由相切關(guān)系知：，整理得：，所以，即直線，相互垂直，則.19、（1）（2）或【解析】（1）利用雙曲線離心率、點在雙曲線上及得到關(guān)于、、的方程組，進(jìn)而求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立直線和雙曲線的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用直線和雙曲線的位置關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系得到兩個交點坐標(biāo)間的關(guān)系，利用A，B兩點都在以點為圓心的同一圓上得到，再利用向量的數(shù)量積為0得到、的關(guān)系，進(jìn)而消去得到的不等式進(jìn)行求解.【小問1詳解】解：因為過點作垂直于x軸的直線截雙曲線C所得弦長為，所以點在雙曲線上，由題意，得，解得，，，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：聯(lián)立，得，因為直線與該雙曲線C交于不同的兩點，所以且，即且，設(shè)，，的中點，則，，因為A，B兩點都在以點為圓心的同一圓上，所以，即，因為，，所以，即，將代入，得，解得或，即m的取值范圍為或.20、（1）；（2）【解析】（1）由雙曲線的漸近線方程為，可得，繼而得到雙曲線的右焦點為，即為拋物線的焦點坐標(biāo)，可得，即得解；（2）聯(lián)立直線與拋物線，可得，再由直線過拋物線的焦點，故，三角形的高為O到直線的距離，利用點到直線公式，求解即可【小問1詳解】由題意，雙曲線漸近線方程為：，所以，所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：故雙曲線故雙曲線的右焦點為，所以，，所以【小問2詳解】由題意聯(lián)立，得，又所以因為直線過拋物線的焦點，所以O(shè)到直線的距離，21、（1）不夠；（2）將污水處理池建成長為16.2米，寬為10米時，建造總費用最低，最低費用為90000元.【解析】（1）根據(jù)題意結(jié)合單價直接計算即可得出；（2）設(shè)污水處理池的寬為米，表示出總費用，利用基本不等式可求.【小問1詳解】如果將污水處理池的寬建成9米，則長為（米），建造總費用為：（元）因為，