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文檔簡介
河南省羅山高中老校區(qū)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在雙曲線的左支上,點(diǎn)Q為圓上一動(dòng)點(diǎn),則的最小值為()A.6 B.7C. D.52.點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn),P為拋物線上一點(diǎn),P不在直線AF上,則△PAF的周長的最小值是()A.4 B.6C. D.3.拋物線的準(zhǔn)線方程為,則實(shí)數(shù)的值為()A. B.C. D.4.如圖,我市某地一拱橋垂直軸截面是拋物線,已知水利人員在某個(gè)時(shí)刻測(cè)得水面寬,則此時(shí)刻拱橋的最高點(diǎn)到水面的距離為()A. B.C. D.5.閱讀程序框圖,該算法的功能是輸出A.數(shù)列的第4項(xiàng) B.數(shù)列的第5項(xiàng)C.數(shù)列的前4項(xiàng)的和 D.數(shù)列的前5項(xiàng)的和6.如果橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6,則線段的中點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于()A.7 B.10C.12 D.147.已知直線,若直線與垂直,則的傾斜角為()A. B.C. D.8.下列命題錯(cuò)誤的是()A.命題“若,則”的逆否命題為“若,則”B.命題“若,則”的否命題為“若,則”C.若命題p:或;命題q:或,則是的必要不充分條件D.“”是“”的充分不必要條件9.已知在四棱錐中,平面,底面是邊長為4的正方形,,E為棱的中點(diǎn),則直線與平面所成角的正弦值為()A. B.C. D.10.已知曲線,則曲線W上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值是()A. B.C. D.11.年底以來,我國多次在重要場合和政策文件中提及碳中和,碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收量可以正負(fù)抵消,實(shí)現(xiàn)二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一個(gè)碳原子和兩個(gè)氧原子構(gòu)成的,其結(jié)構(gòu)式為.已知氧有、、三種天然同位素,碳有、、三種天然同位素,則由上述同位素可構(gòu)成的不同二氧化碳分子共有()A.種 B.種C.種 D.種12.中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為,實(shí)軸長為2,則雙曲線C的方程為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在區(qū)間上隨機(jī)取1個(gè)數(shù),則取到的數(shù)小于2的概率為___________.14.若直線與直線互相垂直,則___________.15.直線與圓相交于A,B兩點(diǎn),則的最小值為__________.16.已知點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn),則點(diǎn)到直線距離的最小值為______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知等差數(shù)列中,,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)求的前項(xiàng)和的最大值.18.(12分)在棱長為的正方體中,、分別為線段、的中點(diǎn).(1)求平面與平面所成銳二面角的余弦值;(2)求直線到平面的距離.19.(12分)已知橢圓的長軸長是,以其短軸為直徑的圓過橢圓的左右焦點(diǎn),.(1)求橢圓E的方程;(2)過橢圓E左焦點(diǎn)作不與坐標(biāo)軸垂直的直線,交橢圓于M,N兩點(diǎn),線段MN的垂直平分線與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)Q,若點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的最大值是,求面積的取值范圍.20.(12分)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)與橢圓M:=1的右焦點(diǎn)重合.(1)求拋物線C的方程;(2)直線y=x+m與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)m為何值時(shí),=0.21.(12分)已知橢圓:,的左右焦點(diǎn),是雙曲線的左右頂點(diǎn),的離心率為,的離心率為,點(diǎn)在上,過點(diǎn)E和,分別作直線交橢圓于,和,點(diǎn),如圖.(1)求,的方程;(2)求證:直線和的斜率之積為定值;(3)求證:為定值.22.(10分)如圖,在三棱錐中,底面,.點(diǎn),,分別為棱,,的中點(diǎn),是線段的中點(diǎn),,(1)求證:平面;(2)求二面角的正弦值;(3)已知點(diǎn)在棱上,且直線與直線所成角的余弦值為,求線段的長
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由雙曲線的定義及三角形的幾何性質(zhì)可求解.【詳解】如圖,圓的圓心為,半徑為1,,,當(dāng),,三點(diǎn)共線時(shí),最小,最小值為,而,所以故選:A2、C【解析】由拋物線的定義轉(zhuǎn)化后求距離最值【詳解】拋物線的焦點(diǎn),準(zhǔn)線為過點(diǎn)作準(zhǔn)線于點(diǎn),故△PAF的周長為,,可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)周長最小,為故選:C3、B【解析】由題得,解方程即得解.【詳解】解:拋物線的準(zhǔn)線方程為,所以.故選:B4、D【解析】代入計(jì)算即可.【詳解】設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為,由拋物線方程得,則此時(shí)刻拱橋的最高點(diǎn)到水面的距離為2米.故選:D5、B【解析】分析:模擬程序的運(yùn)行,依次寫出每次循環(huán),直到滿足條件,退出循環(huán),輸出A的值即可詳解:模擬程序的運(yùn)行,可得:
A=0,i=1執(zhí)行循環(huán)體,,
不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,滿足條件,退出循環(huán),輸出A的值為31.觀察規(guī)律可得該算法的功能是輸出數(shù)列{}的第5項(xiàng).所以B選項(xiàng)是正確的.點(diǎn)睛:模擬程序的運(yùn)行,依次寫出每次循環(huán)得到的A,i的值,當(dāng)i=6時(shí)滿足條件,退出循環(huán),輸出A的值,觀察規(guī)律即可得解.6、A【解析】可由橢圓方程先求出,在利用橢圓的定義求出,利用已知求解出,再取的中點(diǎn),連接,利用中位線,即可求解出線段的中點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離.【詳解】因?yàn)闄E圓,,所以,結(jié)合得,,取的中點(diǎn),連接,所以為的中位線,所以.故選:A.7、D【解析】由直線與垂直得到的斜率,再利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得到答案.【詳解】因?yàn)橹本€與垂直,且,所以,解得,設(shè)的傾斜角為,,所以.故選:D8、C【解析】根據(jù)逆否命題的定義可判斷A;根據(jù)否命題的定義可判斷B;求出、,根據(jù)充分條件和必要條件的概念可以判斷C;解出不等式,根據(jù)充分條件和必要條件的概念可判斷D.【詳解】命題“若,則”的逆否命題為“若,則”,故A正確;命題“若,則”的否命題為“若,則”,故B正確;若命題p:或;命題q:或,則:-1≤x≤1是:-2≤x≤1的充分不必要條件,故C錯(cuò)誤;或x<1,故“”是“”的充分不必要條件,故D正確.故選:C.9、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系,以向量法去求直線與平面所成角的正弦值即可.【詳解】平面,底面是邊長為4的正方形,則有,而,故平面,以A為原點(diǎn),分別以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖:則,,,設(shè)直線與平面所成角為,又由題可知為平面的一個(gè)法向量,則故選:B10、A【解析】化簡方程,得到,求出的范圍,作出曲線的圖形,通過圖象觀察,即可得到原點(diǎn)距離的最小值詳解】解:即為,兩邊平方,可得,即有,則作出曲線的圖形,如下:則點(diǎn)與點(diǎn)或的距離最小,且為故選:A11、C【解析】分兩種情況討論:兩個(gè)氧原子相同、兩個(gè)氧原子不同,分別計(jì)算出兩種情況下二氧化碳分子的個(gè)數(shù),利用分類加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】分以下兩種情況討論:若兩個(gè)氧原子相同,此時(shí)二氧化碳分子共有種;若兩個(gè)氧原子不同,此時(shí)二氧化碳分子共有種.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知,由上述同位素可構(gòu)成的不同二氧化碳分子共有種.故選:C.12、D【解析】根據(jù)條件,求出,的值,結(jié)合雙曲線的方程進(jìn)行求解即可【詳解】解:設(shè)雙曲線的方程為由已知得:,,再由,,雙曲線的方程為:故選:D二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】根據(jù)幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)“區(qū)間上隨機(jī)取1個(gè)數(shù)”,對(duì)應(yīng)集合為,區(qū)間長度為3,“取到的數(shù)小于2”,對(duì)應(yīng)集合為,區(qū)間長度為1,所以.故答案為:14、4【解析】由直線垂直的性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意得,解得.故答案為:15、【解析】直線過定點(diǎn),圓心,當(dāng)時(shí),取得最小值,再由勾股定理即可求解.【詳解】由,得,由,得直線過定點(diǎn),且在圓的內(nèi)部,由圓可得圓心,半徑,當(dāng)時(shí),取得最小值,圓心與定點(diǎn)的距離為,則的最小值為.故答案為:.16、【解析】求橢圓上平行于的直線方程,利用平行線的距離公式求橢圓上點(diǎn)到直線的最小值.【詳解】設(shè)與橢圓相切,且平行于的直線為,聯(lián)立橢圓整理可得:,則,∴,又兩平行線的距離,∴到直線距離的最小值為.故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)30.【解析】(1)設(shè)出等差數(shù)列的公差,由已知列式求得公差,進(jìn)一步求出首項(xiàng),代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)利用等差數(shù)列求和公式求和,再利用二次函數(shù)求得最值即可.【詳解】解:(1)由題意得,數(shù)列公差為,則解得:,∴(2)由(1)可得,∴∵,∴當(dāng)或時(shí),取得最大值【點(diǎn)睛】本題考查利用基本量求解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,以及前n項(xiàng)和及最值,屬基礎(chǔ)題18、(1);(2).【解析】(1)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法可求得平面與平面所成銳二面角的余弦值;(2)證明出平面,利用空間向量法可求得直線到平面的距離.【小問1詳解】解:以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,則、、、、,設(shè)平面的法向量為,,,由,取,可得,易知平面的一個(gè)法向量為,,因此,平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【小問2詳解】解:,則,所以,,因?yàn)槠矫妫?,平面,,所以,直線到平面的距離為.19、(1);(2).【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合列式計(jì)算即可作答.(2)設(shè)出直線MN的方程,與橢圓方程聯(lián)立并結(jié)合已知求出m的范圍,再借助韋達(dá)定理求出面積函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性計(jì)算作答.【小問1詳解】令橢圓半焦距為c,依題意,,解得,所以橢圓E的方程為.【小問2詳解】由(1)知,橢圓E左焦點(diǎn)為,設(shè)過橢圓E左焦點(diǎn)的直線為(存在且不為0),由消去x得,,設(shè),則,線段的中點(diǎn)為,因此線段的垂直平分線為,由得的縱坐標(biāo)為,依題意,且,解得,由(1)知,,,令,在上單調(diào)遞減,當(dāng),即時(shí),,當(dāng),即時(shí),,所以面積的取值范圍.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛:過定點(diǎn)的直線l:y=kx+b交圓錐曲線于點(diǎn),,則面積;過定點(diǎn)直線l:x=ty+a交圓錐曲線于點(diǎn),,則面積20、(1)y2=4x(2)m=﹣4或m=0【解析】(1)由橢圓的右焦點(diǎn)得出的值,進(jìn)而得出拋物線C的方程;(2)聯(lián)立直線和拋物線方程,利用韋達(dá)定理結(jié)合數(shù)量積公式證明即可【小問1詳解】由題意,橢圓=1的右焦點(diǎn)為(1,0),拋物線y2=2px的焦點(diǎn)為(,0),所以,解得p=2,所以拋物線的方程為y2=4x;【小問2詳解】因?yàn)橹本€y=x+m與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立方程組,可得x2+2(m﹣2)x+m2=0,由Δ=4(m﹣2)2﹣4m2>0,解得m<1,所以x1+x2=﹣2m+4,x1x2=m2,又因?yàn)?,又=(x1,y1),=(x2,y2),可得x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m)=2x1x2+m(x1+x2)+m2=m2+4m=0,解得m=﹣4<1或m=0<1,故m=﹣4或m=0.21、(1):;:(2)證明見解析(3)證明見解析【解析】(1)利用待定系數(shù)法,根據(jù)條件先求曲線的方程,再求曲線的方程;(2)首先設(shè),表示直線和的斜率之積,即可求解定值;(3)首先表示直線與方程聯(lián)立消,利用韋達(dá)定理表示弦長,以及利用直線和的斜率關(guān)系,表示弦長,并證明為定值.【小問1詳解】由題設(shè)知,橢圓離心率為解得∴,∵橢圓的左右焦點(diǎn),是雙曲線的左右頂點(diǎn),∴設(shè)雙曲線:∴的離心率為解得.∴::;【小問2詳解】證明:∵點(diǎn)在上∴設(shè)則,∴.∴直線和的斜率之積為定值1;【小問3詳解】證明:設(shè)直線和的斜率分別為,,則設(shè),:與方程聯(lián)立消得“*”則,是“*”的二根則則同理∴.22、(1)證明見解析;(2);(3)或【解析】本小題主要考查直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角等基礎(chǔ)知識(shí).考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.首先要建立空間直角坐標(biāo)系,寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),證明線面平行只需求出平面的法向量,計(jì)算直線對(duì)應(yīng)的向量與法向量的數(shù)量積為0,求二面角只需求出兩個(gè)半平面對(duì)應(yīng)的法向量,借助法向量的夾角求二面角,利用向量的夾角公式,求出異面直線所成角的余弦值,利用已知條件,求出的值.試題解析:如圖,以A為原點(diǎn),分別以,,方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).(1)證明:=(0,2,0),=(2,0,).設(shè),為平面BDE的法向量,則,即.不妨設(shè),可得.又=(1,2,),可得.因?yàn)槠矫鍮
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