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2025屆遼寧省普通高中數(shù)學(xué)高三上期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.一場(chǎng)考試需要2小時(shí),在這場(chǎng)考試中鐘表的時(shí)針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為()A. B. C. D.2.在中,,,,點(diǎn)滿足,則等于()A.10 B.9 C.8 D.73.設(shè)集合,,則集合A. B. C. D.4.閱讀下側(cè)程序框圖,為使輸出的數(shù)據(jù)為31,則①處應(yīng)填的數(shù)字為A.4 B.5 C.6 D.75.2019年10月1日,中華人民共和國成立70周年,舉國同慶.將2,0,1,9,10這5個(gè)數(shù)字按照任意次序排成一行,拼成一個(gè)6位數(shù),則產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個(gè)數(shù)為A.96 B.84 C.120 D.3606.函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.7.已知,則()A. B. C. D.8.已知實(shí)數(shù)滿足則的最大值為()A.2 B. C.1 D.09.△ABC中,AB=3,,AC=4,則△ABC的面積是()A. B. C.3 D.10.復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的值是()A. B. C. D.11.“角谷猜想”的內(nèi)容是:對(duì)于任意一個(gè)大于1的整數(shù),如果為偶數(shù)就除以2,如果是奇數(shù),就將其乘3再加1,執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,則輸出的()A.6 B.7 C.8 D.912.已知集合,,則=()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在三棱錐中,,三角形為等邊三角形,二面角的余弦值為,當(dāng)三棱錐的體積最大值為時(shí),三棱錐的外接球的表面積為______.14.設(shè)全集,集合,,則集合______.15.若奇函數(shù)滿足,為R上的單調(diào)函數(shù),對(duì)任意實(shí)數(shù)都有,當(dāng)時(shí),,則________.16.春節(jié)期間新型冠狀病毒肺炎疫情在湖北爆發(fā),為了打贏疫情防控阻擊戰(zhàn),我省某醫(yī)院選派2名醫(yī)生,6名護(hù)士到湖北、兩地參加疫情防控工作,每地一名醫(yī)生,3名護(hù)士,其中甲乙兩名護(hù)士不到同一地,共有__________種選派方法.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)若數(shù)列前n項(xiàng)和為,且滿足(t為常數(shù),且)(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式:(2)設(shè),且數(shù)列為等比數(shù)列,令,.求證:.18.(12分)如圖,在三棱柱中,是邊長為2的等邊三角形,,,.(1)證明:平面平面;(2),分別是,的中點(diǎn),是線段上的動(dòng)點(diǎn),若二面角的平面角的大小為,試確定點(diǎn)的位置.19.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)函數(shù),若對(duì)于,使得成立,求的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求的最小值;(2)設(shè)數(shù)列,其前項(xiàng)和為,證明:.21.(12分)某健身館為響應(yīng)十九屆四中全會(huì)提出的“聚焦增強(qiáng)人民體質(zhì),健全促進(jìn)全民健身制度性舉措”,提高廣大市民對(duì)全民健身運(yùn)動(dòng)的參與程度,推出了健身促銷活動(dòng),收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:健身時(shí)間不超過1小時(shí)免費(fèi),超過1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為20元(不足l小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算).現(xiàn)有甲、乙兩人各自獨(dú)立地來該健身館健身,設(shè)甲、乙健身時(shí)間不超過1小時(shí)的概率分別為,,健身時(shí)間1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)的概率分別為,,且兩人健身時(shí)間都不會(huì)超過3小時(shí).(1)設(shè)甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用之和為隨機(jī)變量(單位:元),求的分布列與數(shù)學(xué)期望;(2)此促銷活動(dòng)推出后,健身館預(yù)計(jì)每天約有300人來參與健身活動(dòng),以這兩人健身費(fèi)用之和的數(shù)學(xué)期望為依據(jù),預(yù)測(cè)此次促銷活動(dòng)后健身館每天的營業(yè)額.22.(10分)已知,,不等式恒成立.(1)求證:(2)求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
因?yàn)闀r(shí)針經(jīng)過2小時(shí)相當(dāng)于轉(zhuǎn)了一圈的,且按順時(shí)針轉(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角,綜合以上即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)闀r(shí)針旋轉(zhuǎn)一周為12小時(shí),轉(zhuǎn)過的角度為,按順時(shí)針轉(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角,所以經(jīng)過2小時(shí),時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)過的弧度數(shù)為.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查正負(fù)角的定義以及弧度制,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
利用已知條件,表示出向量,然后求解向量的數(shù)量積.【詳解】在中,,,,點(diǎn)滿足,可得則==【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算,關(guān)鍵是利用基向量表示所求向量.3、B【解析】
先求出集合和它的補(bǔ)集,然后求得集合的解集,最后取它們的交集得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于集合A,,解得或,故.對(duì)于集合B,,解得.故.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查對(duì)數(shù)不等式的解法,考查集合的補(bǔ)集和交集的運(yùn)算.對(duì)于有兩個(gè)根的一元二次不等式的解法是:先將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù),且不等號(hào)的另一邊化為,然后通過因式分解,求得對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩個(gè)根,再利用“大于在兩邊,小于在中間”來求得一元二次不等式的解集.4、B【解析】考點(diǎn):程序框圖.分析:分析程序中各變量、各語句的作用,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是利用循環(huán)求S的值,我們用表格列出程序運(yùn)行過程中各變量的值的變化情況,不難給出答案.解:程序在運(yùn)行過程中各變量的值如下表示:Si是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11/第一圈32是第二圈73是第三圈154是第四圈315否故最后當(dāng)i<5時(shí)退出,故選B.5、B【解析】
2,0,1,9,10按照任意次序排成一行,得所有不以0開頭的排列數(shù)共個(gè),其中含有2個(gè)10的排列數(shù)共個(gè),所以產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個(gè)數(shù)為.故選B.6、C【解析】
顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),由的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),則,即可求解.【詳解】由題,顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),因?yàn)榈囊粋€(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),所以,即,解得,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,即當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)單調(diào)遞增,當(dāng)?shù)讛?shù)大于零小于1時(shí)單調(diào)遞減,對(duì)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可得到正確答案.【詳解】因?yàn)?,所以,所以是減函數(shù),又因?yàn)?,所以,,所以,,所以A,B兩項(xiàng)均錯(cuò);又,所以,所以C錯(cuò);對(duì)于D,,所以,故選D.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查的是應(yīng)用不等式的性質(zhì)和指對(duì)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,兩個(gè)式子比較大小的常用方法有:做差和0比,作商和1比,或者直接利用不等式的性質(zhì)得到大小關(guān)系,有時(shí)可以代入一些特殊的數(shù)據(jù)得到具體值,進(jìn)而得到大小關(guān)系.8、B【解析】
作出可行域,平移目標(biāo)直線即可求解.【詳解】解:作出可行域:由得,由圖形知,經(jīng)過點(diǎn)時(shí),其截距最大,此時(shí)最大得,當(dāng)時(shí),故選:B【點(diǎn)睛】考查線性規(guī)劃,是基礎(chǔ)題.9、A【解析】
由余弦定理求出角,再由三角形面積公式計(jì)算即可.【詳解】由余弦定理得:,又,所以得,故△ABC的面積.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用,三角形的面積公式,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.10、C【解析】
直接利用復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】由得:本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.11、B【解析】
模擬程序運(yùn)行,觀察變量值可得結(jié)論.【詳解】循環(huán)前,循環(huán)時(shí):,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,滿足條件,退出循環(huán),輸出.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖,考查循環(huán)結(jié)構(gòu),解題時(shí)可模擬程序運(yùn)行,觀察變量值,從而得出結(jié)論.12、C【解析】
計(jì)算,,再計(jì)算交集得到答案.【詳解】,,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)題意作出圖象,利用三垂線定理找出二面角的平面角,再設(shè)出的長,即可求出三棱錐的高,然后利用利用基本不等式即可確定三棱錐的體積最大值,從而得出各棱的長度,最后根據(jù)球的幾何性質(zhì),利用球心距,半徑,底面半徑之間的關(guān)系即可求出三棱錐的外接球的表面積.【詳解】如圖所示:過點(diǎn)作面,垂足為,過點(diǎn)作交于點(diǎn),連接.則為二面角的平面角的補(bǔ)角,即有.∵易證面,∴,而三角形為等邊三角形,∴為的中點(diǎn).設(shè),.∴.故三棱錐的體積為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,即.∴三點(diǎn)共線.設(shè)三棱錐的外接球的球心為,半徑為.過點(diǎn)作于,∴四邊形為矩形.則,,,在中,,解得.三棱錐的外接球的表面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐的外接球的表面積的求法,涉及二面角的運(yùn)用,基本不等式的應(yīng)用,以及球的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的直觀想象能力,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力,屬于較難題.14、【解析】
分別解得集合A與集合B的補(bǔ)集,再由集合交集的運(yùn)算法則計(jì)算求得答案.【詳解】由題可知,集合A中集合B的補(bǔ)集,則故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集與補(bǔ)集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
根據(jù)可得,函數(shù)是以為周期的函數(shù),令,可求,從而可得,代入解析式即可求解.【詳解】令,則,由,則,所以,解得,所以,由時(shí),,所以時(shí),;由,所以,所以函數(shù)是以為周期的函數(shù),,又函數(shù)為奇函數(shù),所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了換元法求函數(shù)解析式、函數(shù)的奇偶性、周期性的應(yīng)用,屬于中檔題.16、24【解析】
先求出每地一名醫(yī)生,3名護(hù)士的選派方法的種數(shù),再減去甲乙兩名護(hù)士到同一地的種數(shù)即可.【詳解】解:每地一名醫(yī)生,3名護(hù)士的選派方法的種數(shù)有,若甲乙兩名護(hù)士到同一地的種數(shù)有,則甲乙兩名護(hù)士不到同一地的種數(shù)有.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用間接法求排列組合問題,正難則反,是基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)詳見解析【解析】
(1)利用可得的遞推關(guān)系,從而可求其通項(xiàng).(2)由為等比數(shù)列可得,從而可得的通項(xiàng),利用錯(cuò)位相減法可得的前項(xiàng)和,利用不等式的性質(zhì)可證.【詳解】(1)由題意,得:(t為常數(shù),且),當(dāng)時(shí),得,得.由,故,,故.(2)由,由為等比數(shù)列可知:,又,故,化簡(jiǎn)得到,所以或(舍).所以,,則.設(shè)的前n項(xiàng)和為.則,相減可得【點(diǎn)睛】數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系式,我們常利用這個(gè)關(guān)系式實(shí)現(xiàn)與之間的相互轉(zhuǎn)化.數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式,如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和,則用分組求和法;如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積,則用錯(cuò)位相減法;如果通項(xiàng)可以拆成一個(gè)數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差,那么用裂項(xiàng)相消法;如果通項(xiàng)的符號(hào)有規(guī)律的出現(xiàn),則用并項(xiàng)求和法.18、(1)證明見解析;(2)為線段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn),且坐標(biāo)為【解析】
(1)先通過線面垂直的判定定理證明平面,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明;(2)分析位置關(guān)系并建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)二面角的余弦值與平面法向量夾角的余弦值之間的關(guān)系,即可計(jì)算出的坐標(biāo)從而位置可確定.【詳解】(1)證明:因?yàn)?,,,所以,?又因?yàn)?,,所以,,所以平?因?yàn)槠矫?,所以平面平?(2)解:連接,因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn),所以.由(1)知,平面平面,所以平面.以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則平面的一個(gè)法向量是,,,.設(shè),,,,代入上式得,,,所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,,,由,得.令,得.因?yàn)槎娼堑钠矫娼堑拇笮?,所以,即,解?所以點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn),且坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明以及利用向量法求解二面角有關(guān)的問題,難度一般.(1)證明面面垂直,可通過先證明線面垂直,再證明面面垂直;(2)二面角的余弦值不一定等于平面法向量夾角的余弦值,要注意結(jié)合圖形分析.19、(1)當(dāng)時(shí),在上增;當(dāng)時(shí),在上減,在上增(2)【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù),分類討論確定的正負(fù),確定單調(diào)區(qū)間;(2)題意說明,利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值,由(1)可得的最小值,從而得出結(jié)論.【詳解】解:(1)定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),即在上增;當(dāng)時(shí),即得得綜上所述,當(dāng)時(shí),在上增;當(dāng)時(shí),在上減,在上增(2)由題在上增由(1)當(dāng)時(shí),在上增,所以此時(shí)無最小值;當(dāng)時(shí),在上減,在上增,即,解得綜上【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查不等式恒成立問題,解題關(guān)鍵是掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想,本題恒成立問題轉(zhuǎn)化為,求出兩函數(shù)的最小值后可得結(jié)論.20、(1);(2)證明見解析.【解析】
(1),分,,三種情況推理即可;(2)由(1)可得,即,利用累加法即可得到證明.【詳解】(1)由,得.當(dāng)時(shí),方程的,因此在區(qū)間上恒為負(fù)數(shù).所以時(shí),,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.又,所以函數(shù)在區(qū)間上恒成立;當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不等實(shí)根,且滿足,所以函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零,函數(shù)在區(qū)間上單增,又,所以函數(shù)在區(qū)間上恒大于零,不滿足題意;當(dāng)時(shí),在區(qū)間上,函數(shù)在區(qū)間上恒為
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