2025屆陜西省西安市新城區(qū)西安中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題含解析

2025屆陜西省西安市新城區(qū)西安中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，平行六面體中，與的交點(diǎn)為，設(shè)，則選項(xiàng)中與向量相等的是（）A. B.C. D.2．若數(shù)列滿(mǎn)足，則（）A.2 B.6C.12 D.203．已知空間、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線(xiàn)，設(shè)為空間中任意一點(diǎn)，若，則（）A.2 B.C.1 D.4．若雙曲線(xiàn)一條漸近線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則雙曲線(xiàn)的離心率是（）A. B.C. D.5．焦點(diǎn)為的拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.6．命題“若，都是偶數(shù)，則也是偶數(shù)”的逆否命題是A.若是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù)B.若是偶數(shù)，則與都不是偶數(shù)C.若不是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù)D.若不是偶數(shù)，則與都不是偶數(shù)7．某研究所為了研究近幾年中國(guó)留學(xué)生回國(guó)人數(shù)的情況，對(duì)2014至2018年留學(xué)生回國(guó)人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下表：年份20142015201620172018年份代碼12345留學(xué)生回國(guó)人數(shù)/萬(wàn)36.540.943.348.151.9根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)求得留學(xué)生回國(guó)人數(shù)（單位：萬(wàn)）與年份代碼滿(mǎn)足的線(xiàn)性回歸方程為，利用回歸方程預(yù)測(cè)年留學(xué)生回國(guó)人數(shù)為（）A.63.14萬(wàn) B.64.72萬(wàn)C.66.81萬(wàn) D.66.94萬(wàn)8．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（）①，；②；③A.0 B.1C.2 D.39．某校開(kāi)學(xué)“迎新”活動(dòng)中要把3名男生，2名女生安排在5個(gè)崗位，每人安排一個(gè)崗位，每個(gè)崗位安排一人，其中甲崗位不能安排女生，則安排方法的種數(shù)為（）A.72 B.56C.48 D.3610．若直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則a=（）A.-2 B.0C.0或-2 D.111．計(jì)算復(fù)數(shù)：（）A. B.C. D.12．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，則線(xiàn)段的長(zhǎng)度的最小值為（）A. B.4C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將由2，5，8，11，14，…組成的等差數(shù)列，按順序?qū)懺诰毩?xí)本上，已知每行寫(xiě)13個(gè)，每頁(yè)有21行，則5555在第______頁(yè)第______行．（用數(shù)字作答）14．已知點(diǎn)，則線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的一般式方程為_(kāi)_________.15．已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，公差，則當(dāng)?shù)那皀項(xiàng)和最大時(shí)，___________16．已知雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且漸近線(xiàn)方程為，則該雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)___________________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且其傾斜角是直線(xiàn)的傾斜角的（1）求直線(xiàn)的方程；（2）若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，且點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是，求直線(xiàn)的方程18．（12分）已知橢圓，離心率分別為左右焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)滿(mǎn)足，且的面積為1.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn).過(guò)點(diǎn)且平行于的直線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)，證明：為定值.19．（12分）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，上頂點(diǎn)為A，△AF1F2的周長(zhǎng)為6，離心率等于.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)(4，0)的直線(xiàn)l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON，求直線(xiàn)l的方程.20．（12分）一個(gè)長(zhǎng)方體的平面展開(kāi)圖及該長(zhǎng)方體的直觀(guān)圖的示意圖如圖所示（1）請(qǐng)將字母F，G，H標(biāo)記在長(zhǎng)方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處（不需說(shuō)明理由）：（2）若且有下面兩個(gè)條件：①；②，請(qǐng)選擇其中一個(gè)條件，使得DF⊥平面，并證明你的結(jié)論21．（12分）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，試問(wèn)拋物線(xiàn)上是否存在定點(diǎn)使得直線(xiàn)與的斜率互為倒數(shù)？若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在說(shuō)明理由22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，.（1）證明：平面平面；（2）若，為棱的中點(diǎn)，，，求二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】利用空間向量加減法、數(shù)乘的幾何意義，結(jié)合幾何體有，進(jìn)而可知與向量相等的表達(dá)式.【詳解】連接，如下圖示：，.故選：B2、D【解析】由已知條件變形可得，然后累乘法可得，即可求出詳解】由得，，.故選：D3、B【解析】根據(jù)空間四點(diǎn)共面的充要條件代入即可解決.【詳解】，即整理得由、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線(xiàn)，可得，解之得故選：B4、A【解析】根據(jù)（為弦長(zhǎng)，為圓半徑，為圓心到直線(xiàn)的距離），求解出的關(guān)系式，結(jié)合求解出離心率的值.【詳解】取的一條漸近線(xiàn)，因?yàn)椋橄议L(zhǎng)，為圓半徑，為圓心到直線(xiàn)的距離），其中，所以，所以，所以，所以，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是利用幾何法表示出圓的半徑、圓心到直線(xiàn)的距離、半弦長(zhǎng)之間的關(guān)系.5、D【解析】設(shè)拋物線(xiàn)的方程為，根據(jù)題意，得到，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)拋物線(xiàn)的方程為，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)為，可得，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為.故選：D.6、C【解析】命題的逆否命題是將條件和結(jié)論對(duì)換后分別否定，因此“若都是偶數(shù)，則也是偶數(shù)”的逆否命題是若不是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù)考點(diǎn)：四種命題7、D【解析】先求出樣本點(diǎn)的中心，代入線(xiàn)性回歸方程即可求出，再將代入線(xiàn)性回歸方程即可得到結(jié)果【詳解】由題意知：，，所以樣本點(diǎn)的中心為，所以，解得：，可得線(xiàn)性回歸方程為，年對(duì)應(yīng)的年份代碼為，令，則，所以預(yù)測(cè)2022年留學(xué)生回國(guó)人數(shù)為66.94萬(wàn)，故選：D.8、C【解析】構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷大小，從而得解；【詳解】解：令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即，，故①正確；令，，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立，所以，故②正確；令，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故③錯(cuò)誤；故選：C9、A【解析】以位置優(yōu)先法去安排即可解決.【詳解】第一步：安排甲崗位，由3名男生中任選1人，有3種方法;第二步：安排余下的4個(gè)崗位，由2名女生和余下的2名男生任意安排即可，有種方法故安排方法的種數(shù)為故選：A10、C【解析】代入兩直線(xiàn)垂直的公式，即可求解.【詳解】因?yàn)閮芍本€(xiàn)垂直，所以，解得：或.故選：C11、D【解析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)可得結(jié)論.【詳解】故選：D.12、A【解析】求出的最小值，由切線(xiàn)長(zhǎng)公式可結(jié)論【詳解】解：由，得最小時(shí)，最小，而，所以故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.7②.17【解析】首先求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到為第項(xiàng)，再根據(jù)每行每頁(yè)的項(xiàng)數(shù)計(jì)算可得；【詳解】解：由2，5，8，11，14，…組成的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，令，解得又，，．所以555在第7頁(yè)第17行故答案為：；14、【解析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和斜率公式可得的中點(diǎn)和直線(xiàn)斜率，由垂直關(guān)系可得垂直平分線(xiàn)的斜率，由點(diǎn)斜式可得直線(xiàn)方程，化為一般式即可【詳解】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，的中點(diǎn)為，可得直線(xiàn)的斜率為，由垂直關(guān)系可得其垂直平分線(xiàn)的斜率為，故可得所求直線(xiàn)的方程為：，化為一般式可得故答案為：15、3【解析】根據(jù)公式求出前n項(xiàng)和，再利用二次函數(shù)的性質(zhì).【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列，，所以，當(dāng)時(shí)，取到最大值.故答案為：3.16、【解析】依題意，設(shè)所求的雙曲線(xiàn)的方程為.點(diǎn)為該雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)，.該雙曲線(xiàn)的方程為：，即.故本題正確答案是.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）或【解析】（1）先求得直線(xiàn)的傾斜角，由此求得直線(xiàn)的傾斜角和斜率，進(jìn)而求得直線(xiàn)的方程；（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離列方程，由此求解出直線(xiàn)的方程【詳解】解（1）直線(xiàn)的傾斜角為，∴直線(xiàn)的傾斜角為，斜率為，又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，∴直線(xiàn)的方程為，即；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，解得或∴直線(xiàn)的方程為或18、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）方法一：根據(jù)離心率以及，可得出，將條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在以為直徑的圓上，即為圓與橢圓的交點(diǎn)，將的面積用表示，求出，進(jìn)而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；方法二：根據(jù)橢圓的定義，，再根據(jù)勾股定理和直角三角形的面積公式，即可解得，又由離心率求出，則可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程，代入橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示出，再將直線(xiàn)的方程代入橢圓方程，求出，則為定值.【小問(wèn)1詳解】方法一：由離心率，得：，所以橢圓上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，所以點(diǎn)為圓：與橢圓的交點(diǎn)，聯(lián)立方程組解得所以，解得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.方法二：由橢圓定義；，因?yàn)?，所以，得到：，即，又，得所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線(xiàn)AB的方程為：.得設(shè)過(guò)點(diǎn)且平行于的直線(xiàn)方程：.19、（1）；（2）或.【解析】（1）由條件得，再結(jié)合，可求得橢圓方程；（2）由題意設(shè)直線(xiàn)l：x=my+4，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去，整理后利用根與系的關(guān)系可得，，再由OM⊥ON，可得x1x2+y1y2=0，從而可列出關(guān)于的方程，進(jìn)而可求出的值，即可得到直線(xiàn)的方程【詳解】（1）由條件知，解得，則故橢圓的方程為（2）顯然直線(xiàn)l的斜率存在，且斜率不為0，設(shè)直線(xiàn)l：x=my+4交橢圓C于M(x1，y1)，N(x2，y2)，由，當(dāng)=(24m)2-4(3m2+4)×36>0時(shí)，有，，由條件OM⊥ON可得，，即x1x2+y1y2=0，從而有(my1+4)(my2+4)+y1y2=0，(m2+1)y1y2+4m(y1+y2)+16=0，，解得，故且滿(mǎn)足>0從而直線(xiàn)l方程為或20、（1）答案見(jiàn)解析（2）答案見(jiàn)解析【解析】（1）由展開(kāi)圖及直觀(guān)圖直接觀(guān)察可得；（2）選擇②，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理即可證明DF⊥平面.【小問(wèn)1詳解】如圖，【小問(wèn)2詳解】若選擇①，若此時(shí)有平面，則由平面可得，而平面，而平面，故，因?yàn)椋瑒t平面，由平面可得，故此時(shí)矩形為正方形，，矛盾.選擇條件②，使得平面，下面證明如圖，連接,在長(zhǎng)方體中，平面，而平面，故，而，故矩形為正方形，故，而，故平面，而平面，故，同理，又,所以平面.21、（1）（2）存在，【解析】（1）利用拋物線(xiàn)的焦半徑公式求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得p,可得答案;（2）根據(jù)題意可設(shè)直線(xiàn)方程，和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，利用直線(xiàn)與的斜率互為倒數(shù)列出等式，化簡(jiǎn)可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】（1）則，，，，故C的方程為：；【小問(wèn)2詳解】假設(shè)存在定點(diǎn)，使得直線(xiàn)與的斜率互為倒數(shù)，由題意可知，直線(xiàn)AB的斜率存在，且不為零，，，，，所以Δ>0y1+即或，，，則，，使得直線(xiàn)與的斜率互為倒數(shù).22、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】分析：（1）由四邊形為矩形，可得，再由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得平面，進(jìn)一步得到，再由，利用線(xiàn)面垂直的判定定理可得面，即可證得平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題得，解得.進(jìn)而求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值.詳解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD⊥BC.∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，CD平面ABCD，∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PB.∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD平面PCD，∴PB⊥平面PCD.∵PB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.（2）設(shè)BC中點(diǎn)為,連接，，又面面，且面面，所以面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由（1）知PB⊥平面PCD，故PB⊥，設(shè)，可得