2025屆安徽省安徽師大附中高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題含解析

2025屆安徽省安徽師大附中高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，焦距，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，且，則橢圓C的方程為（）A. B.C. D.2．用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，從“k到”左邊需增乘的代數(shù)式是（）A. B.C. D.3．如圖，已知二面角平面角的大小為，其棱上有、兩點(diǎn)，、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都與垂直.已知，，則（）A. B.C. D.4．已知兩個(gè)向量，若，則的值為（）A. B.C.2 D.85．在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時(shí)所有人都沒有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù).一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為4天，那么感染人數(shù)超過1000人大約需要（）（初始感染者傳染個(gè)人為第一輪傳染，這個(gè)人每人再傳染個(gè)人為第二輪傳染）A.20天 B.24天C.28天 D.32天6．圓與圓的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)切 B.相交C.外切 D.相離7．在棱長為4的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體各棱及表面上運(yùn)動(dòng)且滿足，則點(diǎn)P軌跡圍成的圖形的面積為（）A. B.C. D.8．直線的一個(gè)法向量為（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)，那么“”是“在上為增函數(shù)”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則為（）A. B.C. D.11．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對立的兩個(gè)事件是（）A.“至少有1個(gè)白球”和“都是紅球”B.“至少有2個(gè)白球”和“至多有1個(gè)紅球”C.“恰有1個(gè)白球”和“恰有2個(gè)白球”D.“至多有1個(gè)白球”和“都是紅球”12．在平行六面體中，，，，則（）A. B.5C. D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正方體,點(diǎn)在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng),且始終保持平面,設(shè)直線與底面所成的角為,則的最大值為______.14．已知為拋物線：的焦點(diǎn)，為拋物線上在第一象限的點(diǎn).若為的中點(diǎn)，為拋物線的頂點(diǎn)，則直線斜率的最大值為______.15．若“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分條件，則a的最小值為________.16．已知向量，若，則實(shí)數(shù)___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，是棱長為的正方體，是棱的中點(diǎn)，是棱的中點(diǎn)（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求到平面的距離18．（12分）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓上，過點(diǎn)P作軸的垂線，垂足為Q且.（1）求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡E的方程；（2）直線與圓相切，且直線與曲線E相交于兩不同的點(diǎn)A、B，T為線段AB的中點(diǎn).線段OA、OB分別與圓O交于M、N兩點(diǎn)，記的面積分別為，求的取值范圍.19．（12分）我國是世界最大的棉花消費(fèi)國、第二大棉花生產(chǎn)國，其中，新疆棉產(chǎn)量約占國內(nèi)產(chǎn)量的87%，消費(fèi)量約占國內(nèi)消費(fèi)量的67%．新疆棉的品質(zhì)高：纖維柔長，潔白光澤，彈性良好，各項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)均超國家標(biāo)準(zhǔn)．尤其是被授予“中國彩棉之鄉(xiāng)”稱號(hào)的新疆建設(shè)兵團(tuán)一四八團(tuán)生產(chǎn)的天然彩棉，株型緊湊，吐絮集中，品質(zhì)優(yōu)良，色澤純正、艷麗，手感柔軟，適合中高檔紡織．新疆彩棉根據(jù)色澤、手感、纖維長度等評分指標(biāo)打分，得分在區(qū)間內(nèi)分別對應(yīng)四級、三級、二級、一級．某經(jīng)銷商從采購的新蚯彩棉中隨機(jī)抽取20包（每包1kg），得分?jǐn)?shù)據(jù)如圖（1）試統(tǒng)計(jì)各等級數(shù)量，并估計(jì)各等級在該批彩棉中所占比例；（2）用樣本估計(jì)總體，經(jīng)銷商參考以下兩種銷售方案進(jìn)行銷售：方案1：不分等級賣出，單價(jià)為1.79萬元/噸；方案2：分等級賣出，不同等級的新疆彩棉售價(jià)如下表所示：等級一級二級三級四級售價(jià)（萬元/噸）若從經(jīng)銷商老板的角度考慮，采用哪種方案較好？并說明理由20．（12分）2021年7月25日，在東京奧運(yùn)會(huì)自行車公路賽中，奧地利數(shù)學(xué)女博士安娜·基秣崔天以3小時(shí)52分45秒的成績獲得冠軍，震驚了世界！廣大網(wǎng)友驚呼“學(xué)好數(shù)理化，走遍天下都不怕”．某市對中學(xué)生的體能測試成績與數(shù)學(xué)測試成績進(jìn)行分析，并從中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行抽樣分析，得到下表（單位：人）：體能一般體能優(yōu)秀合計(jì)數(shù)學(xué)一般5050100數(shù)學(xué)優(yōu)秀4060100合計(jì)90110200（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為“體能優(yōu)秀”還是“體能一般”與數(shù)學(xué)成績有關(guān)？（結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）（2）①現(xiàn)從抽取的數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人中，按“體能優(yōu)秀”與“體能一般”這兩類進(jìn)行分層抽樣抽取10人，然后，再從這10人中隨機(jī)選出4人，求其中至少有2人是“體能優(yōu)秀”的概率；②將頻率視為概率，以樣本估計(jì)總體，從該市中學(xué)生中隨機(jī)抽取10人參加座談會(huì)，記其中“體能優(yōu)秀”的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望和方差參考公式：，其中參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.250.0102.0722.7063.8415.0246.63521．（12分）如圖，正方體的棱長為4，E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，且.（1）求與平面所成角的正切值；（2）求證：.22．（10分）在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點(diǎn)，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點(diǎn)（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；（2）若點(diǎn)F在BC上，滿足BF=BC，設(shè)二面角F—DE—C的大小為θ，求sinθ的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】畫出圖形，利用已知條件，推出，延長交橢圓于點(diǎn)，得到直角和直角，設(shè)，則，根據(jù)橢圓的定義轉(zhuǎn)化求解，即可求得橢圓的方程.【詳解】如圖所示，，則，延長交橢圓于點(diǎn)，可得直角和直角，設(shè)，則，根據(jù)橢圓的定義，可得，在直角中，，解得，又在中，，代入可得，所以，所以橢圓的方程為.故選：A.2、C【解析】分別求出n＝k時(shí)左端的表達(dá)式，和n＝k+1時(shí)左端的表達(dá)式，比較可得“n從k到k+1”左端需增乘的代數(shù)式【詳解】當(dāng)n＝k時(shí)，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），當(dāng)n＝k+1時(shí)，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），∴左邊需增乘的代數(shù)式是故選：C【點(diǎn)睛】本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，分別求出n＝k時(shí)左端的表達(dá)式和n＝k+1時(shí)左端的表達(dá)式，是解題的關(guān)鍵3、C【解析】以、為鄰邊作平行四邊形，連接，計(jì)算出、的長，證明出，利用勾股定理可求得的長.【詳解】如下圖所示，以、為鄰邊作平行四邊形，連接，因?yàn)?，，則，又因?yàn)椋?，，故二面角的平面角為，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，則，，因?yàn)?，故為等邊三角形，則，，則，，，故平面，因?yàn)槠矫?，則，故.故選：C.4、B【解析】直接利用空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，即，解?故選：B5、B【解析】根據(jù)題意列出方程，利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算n輪傳染后感染的總?cè)藬?shù)，得到指數(shù)方程，求得近似解，然后可得需要的天數(shù).【詳解】感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1000人大約需要n輪傳染,則每輪新增感染人數(shù)為，經(jīng)過n輪傳染，總共感染人數(shù)為：即，解得，所以感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1000人大約需要24天，故選：B【點(diǎn)睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)該要分類討論，有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡化運(yùn)算過程6、C【解析】寫出兩圓的圓心和半徑，求出圓心距，發(fā)現(xiàn)與兩圓的半徑和相等，所以判斷兩圓外切【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以圓心坐標(biāo)為，半徑；圓的圓心為，半徑，圓心距，所以兩圓相外切故選：C7、A【解析】構(gòu)造輔助線，找到點(diǎn)P軌跡圍成的圖形為長方形，從而求出面積.【詳解】取的中點(diǎn)E，的中點(diǎn)F，連接BE，EF，AF，則由于為的中點(diǎn)，可得，所以∠CBE=∠ECN，從而∠BCN+∠CBE=∠BCN+∠ECN=90°，所以BE⊥CN，又EF⊥平面，平面，所以EF⊥CN，又因?yàn)锽EEF=E，所以CN⊥平面ABEF，所以點(diǎn)P軌跡圍成的圖形為矩形ABEF，又，所以矩形ABEF面積為.故選：A8、B【解析】直線化為，求出直線的方向向量，因?yàn)榉ㄏ蛄颗c方向向量垂直，逐項(xiàng)驗(yàn)證可得答案.【詳解】直線的方向向量為，化為，直線的方向向量為，因?yàn)榉ㄏ蛄颗c方向向量垂直，設(shè)法向量為，所以，由于，A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤；故選：B.9、A【解析】對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，進(jìn)而得時(shí)，，在上為增函數(shù)，然后判斷充分性和必要性即可.【詳解】解：因?yàn)榈亩x域是，所以，當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù).所以在上為增函數(shù)，是充分條件；反之，在上為增函數(shù)或，不是必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，屬于中檔題.10、C【解析】直接由等差數(shù)列求和公式結(jié)合，求出，再由求和公式求出即可.【詳解】由題意知：，解得，則.故選：C.11、C【解析】結(jié)合互斥事件與對立事件的概念,對選項(xiàng)逐個(gè)分析可選出答案.【詳解】對于選項(xiàng)A,“至少有1個(gè)白球”和“都是紅球”是對立事件,不符合題意;對于選項(xiàng)B,“至少有2個(gè)白球”表示取出2個(gè)球都是白色的,而“至多有1個(gè)紅球”表示取出的球1個(gè)紅球1個(gè)白球,或者2個(gè)都是白球,二者不是互斥事件,不符合題意;對于選項(xiàng)C,“恰有1個(gè)白球”表示取出2個(gè)球1個(gè)紅球1個(gè)白球,與“恰有2個(gè)白球”是互斥而不對立的兩個(gè)事件,符合題意;對于選項(xiàng)D,“至多有1個(gè)白球”表示取出的2個(gè)球1個(gè)紅球1個(gè)白球,或者2個(gè)都是紅球,與“都是紅球”不是互斥事件,不符合題意.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了互斥事件和對立事件的定義的運(yùn)用,考查了學(xué)生對知識(shí)的理解和掌握,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】由，則結(jié)合已知條件及模長公式即可求解.【詳解】解：，所以，所以，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】畫出立體圖形,因?yàn)槊婷?在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng),且始終保持平面,可得點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng),因?yàn)槊婷?直線與底面所成的角和直線與底面所成的角相等,即可求得答案.【詳解】連接和,面面在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng),且始終保持平面可得點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng),面面,直線與底面所成的角和直線與底面所成的角相等面直線與底面所成的角為:有圖像可知:長是定值,當(dāng)最短時(shí),,即最大,即角最大設(shè)正方體的邊長為,故故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了求線面角的最大值,解題是掌握線面角的定義和處理動(dòng)點(diǎn)問題時(shí),應(yīng)畫出圖形,尋找?guī)缀侮P(guān)系,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于難題.14、1【解析】由題意，可得，設(shè)，，，根據(jù)是線段的中點(diǎn)，求出的坐標(biāo)，可得直線的斜率，利用基本不等式即可得結(jié)論【詳解】解：由題意，可得，設(shè)，，，，是線段的中點(diǎn)，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，直線的斜率的最大值為1故答案為：115、3【解析】解出不等式x2-x-6>0,由“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分條件,求出a的最小值.【詳解】由x2-x-6>0，解得x<-2或x>3.因?yàn)椤皒2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分條件，所以{x|x>a}是{x|x<-2或x>3}的真子集，即a≥3，故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件的應(yīng)用,考查一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.16、2【解析】利用向量平行的條件直接解出.【詳解】因?yàn)橄蛄?，且，所以，解得?故答案為：2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值；（2）求出平面的法向量，利用空間向量法可求得到平面的距離.【小問1詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的坐標(biāo)系則、、、、、、，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，由，取，可得，所以，，直線與平面所成角的正弦為小問2詳解】解：設(shè)平面的一個(gè)法向量，，，由，即，令，得，，所以點(diǎn)到平面的距離為即到平面的距離為18、（1）；（2）.【解析】(1)設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，借助向量運(yùn)算表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓O的方程計(jì)算作答.(2)在直線的斜率存在時(shí)設(shè)出其方程，與軌跡E的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理表示出，再利用二次函數(shù)性質(zhì)計(jì)算得解，然后計(jì)算直線的斜率不存在的值作答.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，則，因，則有，又點(diǎn)P在圓上，即，所以動(dòng)點(diǎn)D的軌跡E的方程是.【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為：，因直線與圓相切，則，即，而時(shí)，直線與橢圓E相切，不符合題意，因此，由消去x并整理得：，設(shè)，則，而點(diǎn)T是線段AB中點(diǎn)，則有：，令，則，而，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，而，于是得，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，，此時(shí)，所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題，往往需要利用韋達(dá)定理構(gòu)建目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，自變量可以斜率或點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)等.而目標(biāo)函數(shù)的最值可以通過二次函數(shù)或基本不等式或?qū)?shù)等求得.19、（1）答案見解析；（2）答案、理由見解析【解析】（1）根據(jù)莖葉圖計(jì)算出數(shù)量以及比例.（2）計(jì)算出方案的彩棉售價(jià)平均值，由此作出決策.【詳解】（1）得分在（0，25]內(nèi)的有19，21，共2個(gè)，所以四緩彩棉在該批彩棉中所占比例為；得分在（25，50]內(nèi)的有27，31，36，42，45，48，共6個(gè)，所以三級彩棉在該批彩棉中所占比例為；得分在（50，75]內(nèi)的有51，51，58，63，65，68，73，共7個(gè)，所以二級彩棉在該批彩棉中所占比例為；得分在（75，100]內(nèi)的有76，79，83，85，92，共5個(gè)，所以一級彩棉在該批彩棉中所占比例（2）解答一：選用方案2，理由如下：方案1：不分等級賣出，單價(jià)為1.79萬元/噸；設(shè)方案2的彩棉售價(jià)平均值為萬元/噸，則因?yàn)?，所以從?jīng)銷商老板角度考慮，采用方案2時(shí)銷售利潤比較大，應(yīng)選方案2解答二：選用方案1，理由如下：方案1：不分等級賣出，單價(jià)為1.79萬元/噸；設(shè)方案2的彩棉售價(jià)平均值為則，因?yàn)?，但（萬元）差別較小所以從經(jīng)銷商老板后期對彩棉分類的人力資源和時(shí)間成本角度考慮，采用方案1比較好20、（1）不能，理由見解析；（2）①，②，【解析