廣東省廣州市越秀區(qū)荔灣區(qū)聯(lián)考2025屆高一上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題含解析

廣東省廣州市越秀區(qū)荔灣區(qū)聯(lián)考2025屆高一上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知集合，，那么（）A. B.C. D.2．設(shè)，，定義運算“△”和“”如下：，.若正數(shù)，，，滿足，，則（）A.△，△ B.，C.△， D.，△3．已知向量，，則與的夾角為A. B.C. D.4．是上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時，，則（）A. B.C. D.5．設(shè)，滿足約束條件，且目標(biāo)函數(shù)僅在點處取得最大值，則原點到直線的距離的取值范圍是（）A. B.C. D.6．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則=A. B.C. D.8．設(shè)為的邊的中點，為內(nèi)一點，且滿足，則（）A. B.C. D.9．已知是方程的兩根，且，則的值為A. B.C.或 D.10．已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，若它的終邊經(jīng)過點，則（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知集合，若，則________.12．棱長為2個單位長度的正方體中，以為坐標(biāo)原點，以，，分別為，，軸，則與的交點的坐標(biāo)為__________13．已知，則____________________.14．函數(shù)y=的定義域是______.15．下列說法中，所有正確說法的序號是__________①終邊落在軸上角的集合是；②函數(shù)圖象一個對稱中心是；③函數(shù)在第一象限是增函數(shù)；④為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度16．已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，，若，則m的值為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．若集合，，.（1）求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.18．已知函數(shù)（其中，）的圖象與軸的任意兩個相鄰交點間的距離為，且直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸.（1）求的值；（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）若，求的值域.19．如圖，某園林單位準(zhǔn)備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，外的地方種草，的內(nèi)接正方形PQRS為一水池，其余的地方種花.若，，設(shè)的面積為，正方形PQRS的面積為.（1）用a，表示和；（2）當(dāng)a為定值，變化時，求的最小值，及此時的值.20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知為坐標(biāo)原點，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，其中且．設(shè)（）若，，，求方程在區(qū)間內(nèi)的解集（）若函數(shù)滿足：圖象關(guān)于點對稱，在處取得最小值，試確定、和應(yīng)滿足的與之等價的條件21．如圖，直三棱柱中，分別是的中點，.（1）證明：平面；（2）證明：平面平面.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】解方程確定集合，然后由交集定義計算【詳解】，∴故選：B2、D【解析】根據(jù)所給運算，取特殊值檢驗即可排除ACB，得到答案.【詳解】令滿足條件，則，可排除A,C；令滿足。則，排除B;故選：D3、C【解析】利用夾角公式進(jìn)行計算【詳解】由條件可知，，，所以，故與的夾角為故選【點睛】本題考查了運用平面向量數(shù)量積運算求解向量夾角問題，熟記公式準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題4、D【解析】根據(jù)函數(shù)的周期性與奇偶性可得，結(jié)合當(dāng)時，，得到結(jié)果.【詳解】∵∴的周期為4，∴，又是上奇函數(shù)，當(dāng)時，，∴，故選：D【點睛】本題考查函數(shù)的周期性與奇偶性，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)將未知解析式的區(qū)間上函數(shù)的求值問題轉(zhuǎn)化為已知解析式的區(qū)間上來求，本題考查了轉(zhuǎn)化化歸的能力及代數(shù)計算的能力.5、B【解析】作出可行域，由目標(biāo)函數(shù)僅在點取最大值，分，，三種情況分類討論，能求出實數(shù)的取值范圍．然后求解到直線的距離的表達(dá)式，求解最值即可詳解】解：由約束條件作出可行域，如右圖可行域，目標(biāo)函數(shù)僅在點取最大值，當(dāng)時，僅在上取最大值，不成立；當(dāng)時，目標(biāo)函數(shù)的斜率，目標(biāo)函數(shù)在取不到最大值當(dāng)時，目標(biāo)函數(shù)的斜率，小于直線的斜率，綜上，原點到直線的距離則原點到直線的距離的取值范圍是：故選B【點睛】本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意線性規(guī)劃知識的合理運用.6、B【解析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于的不等式，即可得解.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得.故選：B.7、C【解析】因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，即，因此，選C.8、C【解析】根據(jù)，確定點的位置；再根據(jù)面積公式，即可求得結(jié)果.【詳解】如圖取得點，使得四邊形為平行四邊形，，故選：C.【點睛】本題考查平面向量的基本定理，以及三角形的面積公式，屬綜合中檔題.9、A【解析】∵是方程的兩根，∴，∴又，∴，∵，∴又，∴，∴．選A點睛：解決三角恒等變換中給值求角問題的注意點解決“給值求角”問題時，解題的關(guān)鍵也是變角，即把所求角用含已知角的式子表示，然后求出適合的一個三角函數(shù)值．再根據(jù)所給的條件確定所求角的范圍，最后結(jié)合該范圍求得角，有時為了解題需要壓縮角的取值范圍10、D【解析】利用定義法求出，再用二倍角公式即可求解.【詳解】依題意，角的終邊經(jīng)過點，則，于是.故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、0【解析】若兩個集合相等,則兩個集合中的元素完全相同.,又,故答案為0.點睛：利用元素的性質(zhì)求參數(shù)的方法（1）確定性的運用：利用集合中元素的確定性解出參數(shù)的所有可能值；（2）互異性的運用：根據(jù)集合中元素的互異性對集合中元素進(jìn)行檢驗.12、【解析】設(shè)即的坐標(biāo)為13、7【解析】將兩邊平方，化簡即可得結(jié)果.【詳解】因為，所以,兩邊平方可得，所以，故答案為7.【點睛】本題主要考查指數(shù)的運算，意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握情況，屬于簡單題.14、【解析】要使函數(shù)有意義，需滿足，函數(shù)定義域為考點：函數(shù)定義域15、②④【解析】當(dāng)時，，終邊不在軸上，①錯誤；因為，所以圖象的一個對稱中心是，②正確；函數(shù)的單調(diào)性相對區(qū)間而言，不能說在象限內(nèi)單調(diào)，③錯誤；函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，④正確.故填②④16、【解析】由奇函數(shù)可得,則可得,解出即可【詳解】因為是奇函數(shù),,所以,即,解得故答案為：【點睛】本題考查利用奇偶性求值,考查已知函數(shù)值求參數(shù)三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）解不等式求出集合，再進(jìn)行交集運算即可求解；（2）解不等式求集合，根據(jù)并集的結(jié)果列不等式即可求解.【詳解】（1），，；（2），或，，.即實數(shù)的取值范圍為.18、（1）2（2）（3）【解析】小問1：先求解函數(shù)周期再求得參數(shù)的值；小問2：根據(jù)對稱軸求出的值，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)減區(qū)間定義即可求解；小問3：因為，所以，結(jié)合正弦函數(shù)的值域即可求出結(jié)果【小問1詳解】因為函數(shù)的圖象與軸的任意兩個相鄰交點間的距離為，所以函數(shù)的周期，所以【小問2詳解】因為直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，所以，.又，所以所以函數(shù)的解析式是令，解得所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為【小問3詳解】因為，所以.所以，即函數(shù)的值域為19、（1）；（2）當(dāng)時，的值最小，最小值為【解析】（1）利用已知條件，根據(jù)銳角三角形中正余弦的利用，即可表示出和；（2）根據(jù)題意，將表示為的函數(shù)，利用倍角公式對函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用換元法，借助對勾函數(shù)的單調(diào)性，從而求得最小值.【詳解】（1）在中，，所以；設(shè)正方形的邊長為x，則，，由，得，解得；所以；（2），令，因為，所以，則，所以；設(shè)，根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，因此當(dāng)時，有最小值，此時，解得；所以當(dāng)時，的值最小，最小值為.【點睛】本題考查倍角公式的使用，三角函數(shù)在銳角三角形中的應(yīng)用，以及利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，涉及換元法，屬綜合性中檔題.20、（1）解集為；（2）見解析.【解析】分析：（）由平面向量數(shù)量積公式、結(jié)合輔助角公式可得，令，從而可得結(jié)果；（）“圖象關(guān)于點對稱，且在處取得最小值”．因此，根據(jù)三角函數(shù)的圖象特征可以知道，，故有，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)，時，的圖象關(guān)于點對稱；此時，，對討論兩種情況可得使得函數(shù)滿足“圖象關(guān)于點對稱，且在處取得最小值的充要條件”是“，時，，；或當(dāng)時，，”.詳解：（）根據(jù)題意，當(dāng)，，時，，，則有或，即或，又因為，故在內(nèi)解集為（）解：因為，設(shè)周期因為函數(shù)須滿足“圖象關(guān)于點對稱，且在處取得最小值”因此，根據(jù)三角函數(shù)的圖象特征可以知道，，故有，∴，，又因為，形如的函數(shù)的圖象的對稱中心都是的零點，故需滿足，而當(dāng)，時，因為，；所以當(dāng)且僅當(dāng)，時，的圖象關(guān)于點對稱；此時，，∴，（i）當(dāng)，時，，進(jìn)一步要使處取得最小值，則有，∴，故，又，則有，，因此，由可得，（ii）當(dāng)時，，進(jìn)一步要使處取得最小值，則有；又，則有，因此，由，可得，綜上，使得函數(shù)滿足“圖象關(guān)于點對稱，且在處取得最小值的充要條件”是“，時，，；或當(dāng)時，，”點睛：本題主要考查公式三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及輔助角公式的應(yīng)用，屬于難題.利用該公式()可以求出:①的周期;②單調(diào)區(qū)間（利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可通過解不等式求得）；③值域（）；④對稱軸及對稱中心（由可得對稱軸方程，由可得對稱中心橫坐標(biāo).21、（1）見解析；（2）見解析【解析】