2025屆安徽省合肥市廬陽(yáng)區(qū)第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2025屆安徽省合肥市廬陽(yáng)區(qū)第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某學(xué)校高二級(jí)選擇“史政地”“史政生”和“史地生”組合的同學(xué)人數(shù)分別為240，120和60．現(xiàn)采用分層抽樣的方法選出14位同學(xué)進(jìn)行一項(xiàng)調(diào)查研究，則“史政生”組合中選出的人數(shù)為（）A.8 B.6C.4 D.32．是等差數(shù)列，且，，則的值（）A. B.C. D.3．已知角為第二象限角，，則的值為（）A. B.C. D.4．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD，，，點(diǎn)E為PA的中點(diǎn)，，，，則點(diǎn)B到平面PCD的距離為（）A. B.C. D.5．已知等差數(shù)列的公差為，則“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為CD，CB的中點(diǎn)，分別沿AE，AF將三角形ADE，ABF折起，使得點(diǎn)B，D恰好重合，記為點(diǎn)P，則AC與平面PCE所成角等于（）A. B.C. D.7．對(duì)數(shù)的創(chuàng)始人約翰·奈皮爾（JohnNapier，1550-1617）是蘇格蘭數(shù)學(xué)家．直到18世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系，人們才認(rèn)識(shí)到指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的天然關(guān)系對(duì)數(shù)發(fā)現(xiàn)前夕，隨著科技的發(fā)展，天文學(xué)家做了很多的觀(guān)察，需要進(jìn)行很多計(jì)算，特別是大數(shù)的連乘，需要花費(fèi)很長(zhǎng)時(shí)間．基于這種需求，1594年，奈皮爾運(yùn)用了獨(dú)創(chuàng)的方法構(gòu)造出對(duì)數(shù)方法．現(xiàn)在隨著科學(xué)技術(shù)的需要，一些冪的值用數(shù)位表示，譬如，所以的數(shù)位為4．那么的數(shù)位是（）（注）A.6 B.7C.606 D.6078．已知F為橢圓的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且垂直于x軸．若直線(xiàn)AB的斜率為，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.9．命題“?x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A.?x∈R，|x|+x2<0 B.?x∈R，|x|+x2≤0C.?x0∈R，|x0|+<0 D.?x0∈R，|x0|+≥010．已知點(diǎn)為雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的右分支上，是等邊三角形，則的面積是A. B.C. D.11．在等差數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，，則（）A.55 B.65C.15 D.6012．在等比數(shù)列中，，公比，則（）A. B.6C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，則______（寫(xiě)出一個(gè)即可）14．設(shè)，是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)作平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為M，則點(diǎn)M到直線(xiàn)的距離的最小值是___15．雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為_(kāi)_____.16．已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件，則的最小值為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱錐中，已知△ABC和△PBC均為正三角形，D為BC的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）若，，求三棱錐的體積18．（12分）在①，②是與的等比中項(xiàng)，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答問(wèn)題：已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，，且滿(mǎn)足___（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{}前n項(xiàng)和注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分19．（12分）曲線(xiàn)與曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為.曲線(xiàn)是()和()組成的封閉圖形.曲線(xiàn)與軸的左交點(diǎn)為、右交點(diǎn)為.（1）設(shè)曲線(xiàn)與曲線(xiàn)具有相同的一個(gè)焦點(diǎn)，求線(xiàn)段的方程；（2）在（1）的條件下，曲線(xiàn)上存在多少個(gè)點(diǎn)，使得，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與以為圓心的圓相切，其中圓的半徑小于1，切點(diǎn)為.直線(xiàn)與曲線(xiàn)在第一象限的兩個(gè)交點(diǎn)為..當(dāng)對(duì)任意直線(xiàn)恒成立，求的值.20．（12分）已知某學(xué)校的初中、高中年級(jí)的在校學(xué)生人數(shù)之比為9：11，該校為了解學(xué)生的課下做作業(yè)時(shí)間，用分層抽樣的方法在初中、高中年級(jí)的在校學(xué)生中共抽取了100名學(xué)生，調(diào)查了他們課下做作業(yè)的時(shí)間，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下頻率分布直方圖：（1）在抽取的100名學(xué)生中，初中、高中年級(jí)各抽取的人數(shù)是多少？（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)和平均時(shí)長(zhǎng)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（3）另?yè)?jù)調(diào)查，這100人中做作業(yè)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)的人中2人來(lái)自初中年級(jí)，3人來(lái)自高中年級(jí)，從中任選2人，恰好1人來(lái)自初中年級(jí)，1人來(lái)自高中年級(jí)的概率是多少21．（12分）某省食品藥品監(jiān)管局對(duì)15個(gè)大學(xué)食堂“進(jìn)貨渠道合格性”和“食品安全”進(jìn)行量化評(píng)估，滿(mǎn)分為10分，大部分大學(xué)食堂的評(píng)分在7~10分之間，以下表格記錄了它們的評(píng)分情況：分?jǐn)?shù)段食堂個(gè)數(shù)1383（1）現(xiàn)從15個(gè)大學(xué)食堂中隨機(jī)抽取3個(gè)，求至多有1個(gè)大學(xué)食堂的評(píng)分不低于9分的概率；（2）以這15個(gè)大學(xué)食堂的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)評(píng)估全國(guó)的大學(xué)食堂的評(píng)分情況，若從全國(guó)的大學(xué)食堂中任選3個(gè)，記X表示抽到評(píng)分不低于9分的食堂個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.22．（10分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上一點(diǎn)滿(mǎn)足，且的面積為（1）求橢圓的方程；（2）直線(xiàn)與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)．設(shè)直線(xiàn)交軸于，交軸于，且點(diǎn)，求的軌跡方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)題意求得抽樣比，再求“史政生”組合中抽取的人數(shù)即可.【詳解】根據(jù)題意，分層抽樣的抽樣比為，故從“史政生”組合120中，抽取的人數(shù)時(shí)人.故選：.2、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，，也成等差數(shù)列，所以故選：B3、C【解析】由同角三角函數(shù)關(guān)系可得，進(jìn)而直接利用兩角和的余弦展開(kāi)求解即可.【詳解】∵，是第二象限角，∴，∴.故選：C.4、D【解析】為中點(diǎn)，連接，易得為平行四邊形，進(jìn)而可知B到平面PCD的距離即為到平面PCD的距離，再由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)確定線(xiàn)線(xiàn)垂直，在直角三角形中應(yīng)用勾股定理求相關(guān)線(xiàn)段長(zhǎng)，即可得△為直角三角形，最后應(yīng)用等體積法求點(diǎn)面距即可.【詳解】若為中點(diǎn)，連接，又E為PA的中點(diǎn)，所以，，又，，則且，所以為平行四邊形，即，又面，面，所以面，故B到平面PCD的距離，即為到平面PCD的距離，由底面ABCD，面ABCD，即，，，又，即，，則面，面，即，而，，，，易知：，在△中；在△中；在△中；綜上，，故，又，則.所以B到平面PCD的距離為.故選：D5、C【解析】利用等差數(shù)列的定義和數(shù)列單調(diào)性的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，則，即，此時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，即“”“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”；若等差數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則，即“”“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”.因此，“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的充分必要條件.故選：C.6、A【解析】如圖，以PE，PF，PA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【詳解】由題意得，因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為CD，CB的中點(diǎn)，所以，所以，所以所以PA，PE，PF三線(xiàn)互相垂直，故以PE，PF，PA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則由，，，得，解得，則設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因?yàn)?，所以AC與平面PCE所成角的正弦值，因?yàn)锳C與平面PCE所成角為銳角，所以AC與平面PCE所成角為，故選：A7、D【解析】根據(jù)已知條件，設(shè)，則，求出t的范圍，即可判斷其數(shù)位.【詳解】設(shè)，則，則，則，，的數(shù)位是607.故選：D.8、D【解析】根據(jù)題意表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由直線(xiàn)AB的斜率為，列方程可求出橢圓的離心率【詳解】由題意得，，當(dāng)時(shí)，，得，由題意可得點(diǎn)在第一象限，所以，因?yàn)橹本€(xiàn)AB的斜率為，所以，化簡(jiǎn)得，所以，，得（舍去），或，所以離心率，故選：D9、C【解析】利用全稱(chēng)命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】由全稱(chēng)命題的否定可知，命題“，”的否定是“，”.故選：C.10、C【解析】設(shè)點(diǎn)在軸上方，由是等邊三角形得直線(xiàn)斜率.又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，故方程為.代入雙曲線(xiàn)方程，得點(diǎn)的坐標(biāo)為.同理可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為.故的面積為,選C.11、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得.【詳解】解析：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，即，.故選:B12、D【解析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解【詳解】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得：.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、(答案不唯一)【解析】寫(xiě)出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，結(jié)合方向向量的定義求即可.【詳解】由題設(shè)，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，又是一條漸近線(xiàn)的一個(gè)方向向量，所以或或或，所以或.故答案為：(答案不唯一)14、1【解析】構(gòu)造全等三角形，結(jié)合雙曲線(xiàn)定義，求得點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，即可求得點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值.【詳解】延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，如下所示：因?yàn)槠椒?，且，故△△，則，又，則，又在△中，分別為的中點(diǎn)，故可得；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，即點(diǎn)在圓心為，半徑的圓上，圓心到直線(xiàn)的距離，故點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的定義，以及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于通過(guò)幾何關(guān)系求得點(diǎn)的軌跡方程，屬中檔題.15、4【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的特征即可求解.【詳解】由題可知.故答案為：4.16、【解析】作出該不等式表示的平面區(qū)域，由的幾何意義結(jié)合距離公式得出答案.【詳解】該不等式組表示的平面區(qū)域，如下圖所示過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為因?yàn)楸硎驹c(diǎn)與可行域中點(diǎn)之間的距離，所以的最小值為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椤鰽BC和△PBC為正三角形，D為BC的中點(diǎn)，所以,又,所以平面【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椤鰽BC和△PBC為正三角形，且，所以,又，所以正三角形的面積為，所以.18、（1）；（2）.【解析】(1)選①，可得數(shù)列為等差數(shù)列，求出，由，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為選②是與的等比中項(xiàng)，可得，由，可得，從而利用累乘法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式為選③，由，可得，則數(shù)列為等差數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式(2)由(1)知，求出，利用錯(cuò)位相減求和法求出小問(wèn)1詳解】選①.因?yàn)?，，所以是首?xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列則，從而當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，也符合上式．所以選②.因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)所以，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，整理得，所以，經(jīng)檢驗(yàn)，也符合上式，所以選③.由題設(shè)，得，兩式相減，得，整理，得，因?yàn)椋?，所以是首?xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，所以，所以，則兩式相減，得，所以19、（1）或；（2）一共2個(gè)，理由見(jiàn)解析；（3）答案見(jiàn)解析.【解析】（1）先求曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，再求點(diǎn)的坐標(biāo)，分焦點(diǎn)為左焦點(diǎn)或右焦點(diǎn)，求線(xiàn)段的方程；（2）分點(diǎn)在雙曲線(xiàn)或是橢圓的曲線(xiàn)上，結(jié)合條件，說(shuō)明點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）首先設(shè)出直線(xiàn)和圓的方程，利用直線(xiàn)與圓相切，以及直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交，分別表示，并計(jì)算得到的值.【詳解】（1）兩個(gè)曲線(xiàn)相同的焦點(diǎn)，，解得：，即雙曲線(xiàn)方程是，橢圓方程是，焦點(diǎn)坐標(biāo)是,聯(lián)立兩個(gè)曲線(xiàn)，得，，即，當(dāng)焦點(diǎn)是右焦點(diǎn)時(shí)，線(xiàn)段的方程當(dāng)焦點(diǎn)時(shí)左焦點(diǎn)時(shí)，，，線(xiàn)段的方程（2），假設(shè)點(diǎn)在曲線(xiàn)上單調(diào)遞增∴所以點(diǎn)不可能在曲線(xiàn)上所以點(diǎn)只可能在曲線(xiàn)上，根據(jù)得可以得到當(dāng)左焦點(diǎn)，，同樣這樣的使得不存在所以這樣的點(diǎn)一共2個(gè)（3）設(shè)直線(xiàn)方程，圓方程為直線(xiàn)與圓相切，所以，，根據(jù)得到補(bǔ)充說(shuō)明：由于直線(xiàn)的曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，受參數(shù)的影響，蘊(yùn)含著如下關(guān)系，∵，當(dāng)，存在，否則不存在這里可以不需討論，因?yàn)轭}目前假定直線(xiàn)與曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)的大前提，當(dāng)共焦點(diǎn)時(shí)存在不存在.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線(xiàn)與橢圓和雙曲線(xiàn)相交的綜合應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是曲線(xiàn)由橢圓和雙曲線(xiàn)構(gòu)成，所以研究曲線(xiàn)上的點(diǎn)時(shí)，需分兩種情況研究問(wèn)題.20、（1）初中、高中年級(jí)所抽取人數(shù)分別為45、55（2）2.375小時(shí)，2.4小時(shí)（3）【解析】（1）依據(jù)分層抽樣的原則列方程即可解決；（2）依據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)和平均時(shí)長(zhǎng)即可；（3）依據(jù)古典概型即可求得恰好1人來(lái)自初中年級(jí)，1人來(lái)自高中年級(jí)的概率.【小問(wèn)1詳解】設(shè)初中、高中年級(jí)所抽取人數(shù)分別為x、y，由已知可得，解得；【小問(wèn)2詳解】的頻率為，的頻率為，的頻率為因?yàn)?，，所以中位?shù)在區(qū)間上，設(shè)為x，則，解得，所以學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)為2.375小時(shí)；平均時(shí)長(zhǎng)為小時(shí).故估計(jì)學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)為2.375小時(shí)，平均時(shí)長(zhǎng)為2.4小時(shí)【小問(wèn)3詳解】2人來(lái)自初中年級(jí)，記為，，3人來(lái)自高中年級(jí)，記為，，，則從中任選2人，所有可能結(jié)果有：，，，，，，，，，共10種，其中恰好1人來(lái)自初中年級(jí)，1人來(lái)自高中年級(jí)有6種可能，所以恰好1人來(lái)自初中年級(jí)，1人來(lái)自高中年級(jí)的概率為21、（1）（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】（1）利用古典概型的概率公式可求概率.（2）由題設(shè)可得，故利用二項(xiàng)分布可求的分布列，利用公式可求其期望.【小問(wèn)1詳解】設(shè)至多有1個(gè)大學(xué)食堂的評(píng)分不低于9分為事件，則.所以至多有1個(gè)大學(xué)食堂的評(píng)分不低于9分的概率為.【小問(wèn)2詳解】任意一個(gè)大學(xué)食堂，其評(píng)分不低于9分的概率為，故，所以，，，，的分布列為：012