3.10 圓內(nèi)接正多邊形（A卷基礎(chǔ)鞏固） -2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊同步分層練習(xí)（基礎(chǔ)鞏固＋能力拓展北師大版）（解析版）

3.10圓內(nèi)接正多邊形學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________A卷（基礎(chǔ)鞏固）一、選擇題1．若正多邊形的中心角為72°，則該正多邊形的邊數(shù)為（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【分析】根據(jù)正多邊形的中心角＝，求出n即可．【詳解】由題意，，∴n＝5，故選：D．【點睛】本題考查正多邊形的中心角問題，熟記基本公式是解題關(guān)鍵．2．（2022·福建省福州九年級期末）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，則∠CBD的度數(shù)是（）A．30° B．36° C．60° D．72°【答案】B【分析】求出正五邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理計算即可．【詳解】解：∵正五邊形ABCDE中，∴∠BCD==108°，CB=CD，∴∠CBD=∠CDB=（180°-108°）=36°，故選：B．【點睛】本題考查了正多邊形和圓，求出正五邊形的一個內(nèi)角度數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．3．（2021—2022浙江淳安九年級期中）圓內(nèi)接正六邊形的邊長為3，則該圓的直徑長為（）A．3 B．3 C．3 D．6【答案】D【分析】根據(jù)題意作出圓內(nèi)接正六邊形，連接OA，OB，證明是等邊三角形即可得解；【詳解】如圖，連接OA，OB，∵圓內(nèi)接正六邊形的邊長為3，∴，，∴是等邊三角形，∴，∴該圓的直徑為；故選D．【點睛】本題主要考查了正多邊形和圓，等邊三角形的判定與性質(zhì)，準確計算是解題的關(guān)鍵．4．正六邊形的邊心距為，這個正六邊形的面積為（）A．12 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正六邊形的特點，通過中心作邊的垂線，連接半徑，結(jié)合解直角三角形的有關(guān)知識解決．【詳解】解：如圖，連接OA、OB；過點O作OG⊥AB于點G．在Rt△AOG中，OG，∠AOG＝30°，∵OG＝OA?cos30°，∴OA2，∴這個正六邊形的面積＝6S△OAB＝626．故選：B【點睛】此題主要考查正多邊形和圓，根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)正多邊形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義解答即可．5．如圖，正五邊形內(nèi)接于，點為上一點（點與點，點不重合），連接，，，垂足為，則等于（）A．72° B．54° C．36° D．64°【答案】B【分析】根據(jù)正五邊形內(nèi)接于，可得，再根據(jù)同弧所對的圓周角和圓心角的關(guān)系，可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得．【詳解】解：∵正五邊形內(nèi)接于，∴∵與所對的弧相同∴∴=故選：B．【點睛】本題主要考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)及同弧所對的圓周角和圓心角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出所對的圓心角．6．（2022·浙江麗水·九年級期末）如圖，圓形螺帽的內(nèi)接正六邊形的面積為24cm2，則圓形螺帽的半徑是（）A．1cm B．2cm C．2cm D．4cm【答案】D【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)可得△AOB是正三角形，由面積公式可求出半徑．【詳解】解：如圖，由圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)可得△AOB是正三角形，過作于設(shè)半徑為r，即OA=OB=AB=r，OM=OA?sin∠OAB=，∵圓O的內(nèi)接正六邊形的面積為（cm2），∴△AOB的面積為（cm2），即，，解得r=4，故選：D．【點睛】本題考查正多邊形和圓，作邊心距轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題是解決問題的關(guān)鍵．7．（2021·山東德城·九年級期末）如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓，點P是的一點，則∠CPD的度數(shù)是（）

A．30° B．36° C．45° D．72°【答案】B【分析】連接OC，OD．求出∠COD的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理即可解決問題；【詳解】解：如圖，連接OC，OD．

∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，故選：B【點睛】本題主要考查了正多邊形和圓、圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．8．（2021—2022天津九年級期中）已知一個正方形外接圓的半徑為R，邊心距為r，則等于（）A．1：2 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意作圖，根據(jù)正弦的計算即可；【詳解】解：如圖所示：∵正方形的半徑為R，邊心距為r，∴，，又∵，∴，∴；故選B．【點睛】本題主要考查了正多邊形和圓，結(jié)合正切計算是解題的關(guān)鍵．9．（2022·黑龍江龍沙·九年級期末）如圖，正六邊形內(nèi)接于圓，半徑為4，則這個正六邊形的邊心距為（）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】連接，證明是等邊三角形，得出即可求解．【詳解】解：連接，如圖所示：則，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴∴，故選：B．【點睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形和運用垂徑定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題10．（2021·陜西咸陽·九年級期末）已知正五邊形的外接圓直徑為6，那么該正五邊形外接圓的半徑為_____．【答案】3【分析】根據(jù)半徑是直徑的一半直接寫出答案即可．【詳解】解：∵正五邊形的外接圓直徑為6，∴該正五邊形外接圓的半徑為6÷2＝3，故答案為：3．【點睛】本題考查了正多邊形和圓的知識，知道等圓或同圓中直徑是半徑的2倍是解答本題的關(guān)鍵．11．（2022·北京豐臺·九年級期末）如圖，把分成相等的六段弧，依次連接各分點得到正六邊形ABCDEF，如果的周長為，那么該正六邊形的邊長是______．【答案】6【分析】如圖，連接OA、OB、OC、OD、OE、OF，證明△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等邊三角形，再求出圓的半徑即可．【詳解】解：如圖，連接OA、OB、OC、OD、OE、OF．∵正六邊形ABCDEF，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝60°，∴△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等邊三角形，∵的周長為，∴的半徑為，正六邊形的邊長是6；【點睛】本題考查正多邊形與圓的關(guān)系、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，明確正六邊形的邊長和半徑相等是解題的關(guān)鍵．12．如圖所示，⊙O是△ABC的外接圓，D是弧AB上一點，連接BD，并延長至E，連接AD，若AB＝AC，∠ADE＝65°，則∠BOC＝______．

【答案】100°【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ACB的度數(shù)，再由AB=AC可得出∠ABC的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù)，再由圓周角定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABDC內(nèi)接圓⊙O，∠ADE=65°，

∵∠ACB=65°．

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=65°，

∴∠BAC=180°?65°?65°=50°．

∵∠BAC與∠BOC是同弧所對的圓周角與圓心角，

∴∠BOC=2∠BAC=100°．【點睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解答此題的關(guān)鍵．13．如圖，正八邊形ABCDEFGH中，∠GBF=_______________度．【答案】22.5°【分析】正八邊形內(nèi)接于圓，可求得GF所對的圓心角為45°，進而可求得GF所對的圓周角的度數(shù)．【詳解】解：∵多邊形為正八邊形∴正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于圓∴GF所對的圓心角為45°∴GF所對的圓周角∠GBF為22.5°故答案為：22.5°．【點睛】本題主要考查了正多邊形與圓，同弧所對的圓周角與圓心角的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握正多邊形與圓的關(guān)系．14．（2022·江蘇南京·九年級期末）如圖，在⊙O中，AB是⊙O的內(nèi)接正六邊形的一邊，BC是⊙O的內(nèi)接正十邊形的一邊，則∠ABC＝______°．

【答案】132°【分析】連接AO、BO、CO，根據(jù)AB是⊙O的內(nèi)接正六邊形的一邊，可得，，從而得到∠ABO=60°，再由BC是⊙O的內(nèi)接正十邊形的一邊，可得，BO=CO，從而得到，即可求解．【詳解】解：如圖，連接AO、BO、CO，∵AB是⊙O的內(nèi)接正六邊形的一邊，∴，，∴，∵BC是⊙O的內(nèi)接正十邊形的一邊，∴，BO=CO，∴，∴∠ABC=∠ABO+∠CBO=60°+72°=132°．故答案為：132°【點睛】本題主要考查了圓的內(nèi)接多邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓的內(nèi)接多邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．如圖，若五邊形是的內(nèi)接正五邊形，則_________，__________，__________，__________．【答案】【分析】由五邊形為正五邊形，可得為周角的五分之一，求出即可；由內(nèi)角和定理求出五邊形的內(nèi)角和，根據(jù)五邊形的五個內(nèi)角相等，求出每一個內(nèi)角，可得到，及都相等，并求出度數(shù)，再由正五邊形的邊長相等可得，得到為等腰三角形，由頂角的度數(shù)求出底角和的度數(shù)，再由可得出的度數(shù)．【詳解】解：五邊形是的內(nèi)接正五邊形，，又正五邊形的內(nèi)角和為，，，，又，，．故答案為：；；；【點睛】此題考查了正五邊形的性質(zhì)，圓周角定理，多邊形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化的思想，結(jié)合圖形找出已知條件與所求角的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．16．完成下表中有關(guān)正多邊形的計算：正多邊形邊數(shù)內(nèi)角中心角半徑邊長邊心距周長面積3416【答案】填表見解析．【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后利用勾股定理等知識進行逐一求解即可．【詳解】解：如圖（1）所示：中心角，內(nèi)角∠A=60°∵，，∴，，∴，∴，∴，∴周長為：，面積為；

如圖（2）所示：中心角，內(nèi)角∠A=90°由題意可得△BOC和△OBE都是等腰直角三角形，∵邊心距為1∴，∴邊長為2，半徑為，∴周長為8，面積為4；

如圖（3）所示：內(nèi)角為120°，中心角，∴△OAB是等邊三角形，∴∠AOM=30°，AM=BM，∴AO=2AM∵邊心距為，∴，∵，∴，∴，∴，∴半徑為2，邊長為2，∴周長為12，面積，故答案為：正多邊形邊數(shù)內(nèi)角中心角半徑邊長邊心距周長面積3416【點睛】三、解答題17．（2021—2022山西新榮九年級階段練習(xí)）閱讀與思考請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：克羅狄斯?托勒密（約90年﹣168年），是希臘數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，地理學(xué)家和占星家．在數(shù)學(xué)方面，他還論證了四邊形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的內(nèi)容如下：圓的內(nèi)接四邊形的兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積的和．即：如圖1，若四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，則有．任務(wù)：（1）材料中劃橫線部