直線的一般式方程-課件高二數(shù)學(xué)同步備課(人教A版2019選修一)

第二章

直線和圓的方程2.2.3直線的一般式方程教材分析

本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》人教A版（2019）第二章《直線和圓的方程》的第二節(jié)《直線的方程》。以下是本單元的課時(shí)安排：第二章直線和圓的方程課時(shí)內(nèi)容2.1直線的傾斜角與斜率2.2直線的方程2.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式所在位置教材第51頁教材第59頁教材第70頁新教材內(nèi)容分析直線的傾斜角與斜率從初中所學(xué)“兩點(diǎn)確定一條直線”出發(fā)，引起學(xué)生對(duì)平面直角坐標(biāo)系中的直線的幾何要素的確定，是今后學(xué)習(xí)直線方程的必備知識(shí)。在推導(dǎo)直線方程的點(diǎn)斜式時(shí)，根據(jù)直線這一結(jié)論，先猜想確定一條直線的條件，再根據(jù)猜想得到的條件求出直線的方程.充分體現(xiàn)坐標(biāo)法建立方程的一般思路，為后續(xù)學(xué)習(xí)圓的方程及圓錐曲線的方程奠定基礎(chǔ).圍繞兩直線一般方程的系數(shù)的變化來揭示兩直線方程聯(lián)立解的情況，從而判定兩直線的位置特點(diǎn).“點(diǎn)到直線的距離”是從初中平面幾何的定性作圖，過渡到了解析幾何的定量計(jì)算，為以后直線與圓的位置關(guān)系和圓錐曲線的進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，具有承前啟后的重要作用．核心素養(yǎng)培養(yǎng)通過直線的傾斜角和斜率的求解，通過例題直線平行與垂直的判定，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過直線方程的求法，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。通過直線交點(diǎn)的求法，距離公式的應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。教學(xué)主線直線的方程的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解直線的一般式方程的形式特征,理解直線的一般式方程與二元一次方程的關(guān)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2.能正確地進(jìn)行直線的一般式方程與特殊形式的方程的轉(zhuǎn)化，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3.能運(yùn)用直線的一般式方程解決有關(guān)問題，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng).重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：了解二元一次方程與直線的對(duì)應(yīng)關(guān)系，掌握直線的一般形式難點(diǎn)：能根據(jù)所給條件求直線方程，并能在幾種形式間相互轉(zhuǎn)化（一）新知導(dǎo)入

由下列各條件,寫出直線的方程,并畫出圖形:(1)斜率是1,經(jīng)過點(diǎn)A(1,8);(2)在x軸和y軸上的截距分別是-7,7;(3)經(jīng)過兩點(diǎn)P1(-1,6),P2(2,9);(4)在y軸上的截距是7,傾斜角是45°.

如果我們畫出這4條直線的圖象,你會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn):這4條直線是重合的.事實(shí)上,它們的方程都可以化簡(jiǎn)為x-y+7=0.這樣前幾種直線方程就有了統(tǒng)一的形式,這就是本節(jié)我們要學(xué)習(xí)的直線的一般式方程.（二）直線的一般式方程

【提示】都是關(guān)于x，y的二元一次方程◆直線的一般式方程

直線一般式方程的結(jié)構(gòu)特征①方程是關(guān)于x，y的二元一次方程．②方程中等號(hào)的左側(cè)自左向右一般按x，y常數(shù)的先后順序排列．③x的系數(shù)一般不為分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)．④雖然直線方程的一般式有三個(gè)參數(shù)，但只需兩個(gè)獨(dú)立的條件即可求得直線的方程．（二）直線的一般式方程【思考1】平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程表示嗎？為什么？【提示】都可以．原因如下：(1)任意一條直線l，在其上任取一點(diǎn)P0(x0，y0)，當(dāng)直線l的斜率為k時(shí)(此時(shí)直線的傾斜角α≠90°)，其方程為y－y0＝k(x－x0)，這是關(guān)于x，y的二元一次方程．(2)當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l的傾斜角α＝90°時(shí)，直線的方程為x－x0＝0，可以認(rèn)為是關(guān)于x，y的二元一次方程，此時(shí)方程中y的系數(shù)為0,因此平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程表示．【思考2】任意一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)都表示一條直線嗎？為什么？

（二）直線的一般式方程【做一做1】(教材P66練習(xí)1改編)過點(diǎn)A(3,2)，B(4,3)的直線方程是()A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0

D．x－y－1＝0【做一做2】設(shè)直線l：(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y－2m＋6＝0(m≠－1)，根據(jù)下列條件分別確定m的值：(1)直線l在x軸上的截距為－3；(2)直線l的斜率為1.【做一做3】(教材P65例5改編)過點(diǎn)A(－1,2)，斜率為2的直線的一般式方程為__________．

（三）典型例題1.直線的一般式方程

（三）典型例題【類題通法】直線的一般式方程的特征求直線方程時(shí),要求將方程化為一般式方程,其形式一般作如下設(shè)定:x的系數(shù)為正;系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù);一般按含x項(xiàng)、含y項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)的順序排列.【鞏固練習(xí)1】已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），試求：（1）邊AC所在直線的方程；（2）BC邊上的中線AD所在直線的方程；（3）BC邊上的高AE所在直線的方程.

（三）典型例題2.直線的平行與垂直例2.(1)已知直線l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；

法二：令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.當(dāng)m＝－3時(shí)，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，顯然l1與l2不重合，∴l(xiāng)1∥l2.同理當(dāng)m＝2時(shí)，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1與l2不重合，l1∥l2，∴m的值為2或－3.（三）典型例題

法二：由直線l1⊥l2，所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1.將a＝±1代入方程，均滿足題意．故當(dāng)a＝1或a＝－1時(shí)，直線l1⊥l2.(2)當(dāng)a為何值時(shí)，直線l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0與直線l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？（三）典型例題【類題通法】利用一般式解決直線平行與垂直問題的策略直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.【鞏固練習(xí)2】已知直線l1:(m+2)x+(m+3)y-5=0和l2:6x+(2m-1)y=5.當(dāng)m為何值時(shí),有:

(1)l1∥l2?

(2)l1⊥l2?

（三）典型例題【例3】已知直線l的方程為3x+4y-12=0,求直線l'的方程,l'滿足(1)過點(diǎn)(-1,3),且與l平行;(2)過點(diǎn)(-1,3),且與l垂直.

(方法2)(1)由l'與l平行,可設(shè)l'方程為3x+4y+m=0.將點(diǎn)(-1,3)代入上式得m=-9.∴所求直線方程為3x+4y-9=0.(2)由l'與l垂直,可設(shè)其方程為4x-3y+n=0.將(-1,3)代入上式得n=13.∴所求直線方程為4x-3y+13=0.（三）典型例題【類題通法】與已知直線平行(垂直)的直線方程的求法(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋m＝0(m≠C)．(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋m＝0.【鞏固練習(xí)3】過點(diǎn)(－1,3)且平行于直線x－2y＋3＝0的直線方程為()A．2x＋y－1＝0 B．x－2y＋7＝0

C．x－2y－5＝0

D．2x＋y－5＝0【解析】設(shè)直線方程式是：x－2y＋c＝0，因?yàn)橹本€過點(diǎn)(－1,3)所以-1-6+c=0，解得c=7，故所求直線方程是：x－2y＋7＝0.（四）操作演練

素養(yǎng)提升

（五）課堂小結(jié)知識(shí)總結(jié)學(xué)生反思（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？