高三數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)摸底考試卷（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)摸底考試卷（新高考專用）（考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分）注意事項(xiàng)：1.本試卷分第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．（5分）（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知集合A=x?3<x≤2，B=x1≤x<3，則A．1,2 B．1,2 C．?3,3 D．2,3【解題思路】直接根據(jù)交集的定義得到答案.【解答過(guò)程】根據(jù)集合交集的定義立得A∩B=x故選：A.2．（5分）（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）若zi3=1?5iA．1 B．6 C．7 D．3【解題思路】由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及模的計(jì)算公式即可得解.【解答過(guò)程】依題意，z=1?5i故選：B.3．（5分）（2024·陜西渭南·三模）已知向量m=2,λ，n=2?λ,?4，若m與n共線且反向，則實(shí)數(shù)A．4 B．2 C．?2 D．?2或4【解題思路】利用向量共線的坐標(biāo)表示求出λ，再結(jié)合反向共線即可得解.【解答過(guò)程】由向量m=2,λ，n=2?λ,?4共線，得λ(2?λ)=?8，解得當(dāng)λ=?2時(shí)，m=2,?2，n=4,?4，當(dāng)λ=4時(shí)，m=2,4，n=?2,?4，所以實(shí)數(shù)λ的值為4.故選：A.4．（5分）（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知0<β<α<π2，sinα?β=45，A．12 B．15 C．25【解題思路】首先求出cos(α?β)，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角差的正弦公式求出cos【解答過(guò)程】因?yàn)?<β<α<π2，所以因?yàn)閟inα?β=4因?yàn)?=tan所以cosα因?yàn)閏os(α?β)=則sinα故選：B．5．（5分）（2024·山西臨汾·三模）宋代是中國(guó)瓷器的黃金時(shí)代，涌現(xiàn)出了五大名窯：汝窯、官窯、哥窯、鈞窯、定窯．其中汝窯被認(rèn)為是五大名窯之首．如圖1，這是汝窯雙耳罐，該汝窯雙耳罐可近似看成由兩個(gè)圓臺(tái)拼接而成，其直觀圖如圖2所示．已知該汝窯雙耳罐下底面圓的直徑是12厘米，中間圓的直徑是20厘米，上底面圓的直徑是8厘米，高是14厘米，且上、下兩圓臺(tái)的高之比是3:4，則該汝窯雙耳罐的體積是（

）A．1784π3 B．1884π3 C．【解題思路】求出上下圓臺(tái)的高，利用臺(tái)體體積公式求出答案.【解答過(guò)程】上、下兩圓臺(tái)的高之比是3:4，故上圓臺(tái)的高為14×3下圓臺(tái)的高為14×4故上圓臺(tái)的體積為V1下圓臺(tái)的體積為V1故該汝窯雙耳罐的體積為V1故選：D.6．（5分）（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fx=lnA．是偶函數(shù)，且在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞增 B．是偶函數(shù)，且在區(qū)間0,+C．是奇函數(shù)，且在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞增 【解題思路】借助函數(shù)奇偶性的定義可判斷函數(shù)奇偶性，借助導(dǎo)數(shù)即可得函數(shù)單調(diào)性.【解答過(guò)程】∵fx的定義域?yàn)镽，f∴fx當(dāng)x>0時(shí)，f′x=故選：A.7．（5分）（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=sinA．當(dāng)x∈2π3,B．fx在區(qū)間πC．fx的最小正周期為D．fx的圖象關(guān)于直線x=【解題思路】先由函數(shù)圖象得到函數(shù)解析式，A選項(xiàng)，整體法求解函數(shù)的值域；B選項(xiàng)，整體法求解函數(shù)單調(diào)性；C選項(xiàng)，利用2πω=【解答過(guò)程】由圖可知，f0又因?yàn)?<φ<π2，所以φ=π所以ω=2，即fx對(duì)于A：當(dāng)x∈2π3,π對(duì)于B：x∈π4,由于y=sinz在z∈π所以fx在π對(duì)于C：fx的最小正周期為2對(duì)于D：當(dāng)x=π3時(shí)，2x?π所以fx的圖象關(guān)于直線x=故選：D．8．（5分）（2024·四川南充·三模）已知函數(shù)fx、gx的定義域均為R，函數(shù)f(2x?1)+1的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)g(x+1)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，f(x+2)+g(x+1)=?1,f(?4)=0，則f(2030)?g(2017)=A．?4 B．?3 C．3 D．4【解題思路】利用題設(shè)得到fx+f?2?x=?2①和g?x+1=gx+1②，又由f(x+2)+g(x+1)=?1，結(jié)合①式，推得g(x)的周期為12，利用f(?4)=0【解答過(guò)程】由函數(shù)f(2x?1)+1的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f?2x?1即f(?x?1)=?2?f(x?1)，即fx由函數(shù)g(x+1)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可得g?x+1由fx+2+gx+1=?1可得兩式相加，fx+f?2?x則得gx?5+g?x+1=0，將②式代入得，于是gx+12=?gx+6又f(?4)=0，由①可得f2+f?4又由fx+2+gx+1=?1可得因f2030+g2029于是，f(2030)?g(2017)=?1?g故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．（6分）（2024·廣東汕頭·二模）某校高三年級(jí)選考生物科的學(xué)生共1000名，現(xiàn)將他們?cè)摽频囊淮慰荚嚪謹(jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為等級(jí)分，已知等級(jí)分X的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為30,100，若等級(jí)分X～N80,25，則（

參考數(shù)據(jù)：Pμ?σ<X≤μ+σ=0.6827；Pμ?2σ<X≤μ+2σA．這次考試等級(jí)分的標(biāo)準(zhǔn)差為25B．這次考試等級(jí)分超過(guò)80分的約有450人C．這次考試等級(jí)分在65,95內(nèi)的人數(shù)約為997D．P【解題思路】由X～N(80,25)，則【解答過(guò)程】對(duì)于A，由題設(shè)，均值μ=80，方差σ2對(duì)于B，P(X>80)=0.5，所以1000×0.5=500人，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，P(65<X≤95)=P(μ?3σ<X≤μ+3σ)=0.9973，則1000×0.9973≈997人，故C正確；對(duì)于D，P(70<X≤75)=故D正確．故選：CD.10．（6分）（2024·江西·二模）設(shè)函數(shù)fx=ln1?ax（a≠0）在?1,f?1A．a(chǎn)=1B．函數(shù)fxC．當(dāng)x∈?∞D(zhuǎn)．函數(shù)gx【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判定A，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值可判定B，構(gòu)造差函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與最值即可判定C，作出y=f【解答過(guò)程】對(duì)于A，f′x=?a1?ax對(duì)于B．因?yàn)閒x=ln所以函數(shù)fx在x∈對(duì)于C，令Fx=fx則F′x=1x?1故Fx在?∞,0即當(dāng)x∈?∞,0對(duì)于D，因?yàn)閒x=ln1?x，當(dāng)x<0時(shí)，fx又f′?1=?12如圖所示，所以函數(shù)gx故選：AC．11．（6分）（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知曲線C是平面內(nèi)到定點(diǎn)F0,1和定直線l:y=?1的距離之和等于4的點(diǎn)的軌跡，若P(x0,yA．曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱B．曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)13C．曲線C及其內(nèi)部共包含了19個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）D．點(diǎn)P(x0,y0)【解題思路】由題意得到曲線C的解析式，畫(huà)出圖象，由圖直觀判斷即可.【解答過(guò)程】設(shè)M(x,y)是曲線C上任意一點(diǎn)，由于M(x,y)到定點(diǎn)F0,1和定直線l:y=?1所以x2+(y?1)2+即x2+(y?1)當(dāng)y<?1時(shí)，x2+(y?1)畫(huà)出曲線C的圖象：如圖，對(duì)于A，顯然圖象不關(guān)于x軸對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；y=2?14x2(?1≤y≤2)點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離最大為：(23由圖可知曲線C及其內(nèi)部共包含了19個(gè)整點(diǎn)，故C正確；如圖：點(diǎn)G到F0,1與到直線l:y=?1點(diǎn)P(x0,y0)到點(diǎn)故選：BC.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2a2?y2b2=1的左、右焦點(diǎn)，P，Q為雙曲線C【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)分析可得t=a，進(jìn)而可得∠F【解答過(guò)程】延長(zhǎng)QF2與雙曲線交于點(diǎn)因?yàn)镕1P//設(shè)F2P′可得F2P?所以P′Q=4t=4a，則Q即P′Q2在△P′F即a2+3a故答案為：10213．（5分）（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)y=x的圖象與函數(shù)y=alnx的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線，則公共點(diǎn)坐標(biāo)為【解題思路】設(shè)公共點(diǎn)為(x0,y0)，由【解答過(guò)程】函數(shù)y=alnx的定義域?yàn)?0,+∞)，可得設(shè)曲線f(x)=alnx與曲線g(x)=x由于在公共點(diǎn)處有共同的切線，所以12x0由f(x0)=g(x0解得x0=e2，所以故答案為：(e214．（5分）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，某同學(xué)在標(biāo)有“1”，“1”，“4”，“5”，“1”，“4”的六張卡片中依次不放回地抽取一張卡片，直到抽完全部卡片.記事件Aii=1,2,3表示第i次抽到標(biāo)號(hào)為“1”的卡片，X表示抽到標(biāo)號(hào)為“5”的卡片需要的次數(shù).則下列說(shuō)法正確的是①②③①PA1=PA2【解題思路】計(jì)算PA1=12，PA2【解答過(guò)程】對(duì)選項(xiàng)①：PA1=36對(duì)選項(xiàng)②：PA對(duì)選項(xiàng)③：X的可能取值為1,2,3,4,5,6，PX=1=16；PX=4=5PX=6EX故答案為：①②③.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。15．（13分）（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角(1)求角A；(2)若△ABC的面積為3，周長(zhǎng)為6，求a．【解題思路】（1）根據(jù)正弦定理和三角恒等變換可得sinA+π3（2）利用面積公式可得bc=4，再根據(jù)余弦定理運(yùn)算求解.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閍sin由正弦定理可得sinA又因?yàn)閟inC=可得sinA且B∈0,π，則sinB≠0整理得sinA+又因?yàn)锳∈0,π，則所以A+π3=（2）因?yàn)镾△ABC=1由余弦定理可得a2解得a=2．16．（15分）（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓E相交于M，N兩點(diǎn)（M、N都不在坐標(biāo)軸上），若∠MPF=∠NPF，求直線l的方程.【解題思路】（1）根據(jù)給定條件，求出a,b,c即得橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）根據(jù)給定條件，借助傾斜角的關(guān)系可得kMP?k【解答過(guò)程】（1）令F(?c,0)，由e=ca=22，得a=由直線FB過(guò)點(diǎn)P(1,2)，得直線FB的方程為y=x+1，因此b=c=1,a=2所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）設(shè)∠MPF=∠NPF=θ，直線MP的傾斜角為β，直線NP的傾斜角為α，由直線FP的斜率k=1知直線FP的傾斜角為π4于是α=π4+θ,π4=β+θ，即有則tanαtanβ=sinα由題設(shè)知，直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為x=my?1,m≠1，由x=my?1x2+2y2=2，消去設(shè)M(x1,由kMP?kNP=1則(my1?2)(m即?m2?1m2+2?所以直線l的方程為x=?15y?117．（15分）（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=π2，AB=BC=12AD，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)．將△ABE(1)證明：平面BCDE⊥平面A1(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1【解題思路】（1）根據(jù)平面幾何的性質(zhì)得到BE⊥AC，即可得到BE⊥OA1，BE⊥OC，即可得到BE⊥平面OA1C，再由CD（2）依題意可得∠A1OC為二面角A1?BE?C【解答過(guò)程】（1）在圖1中連接CE，因?yàn)锳D//BC，ΑΒ=ΒC=12AD，E所以四邊形ABCE為正方形，四邊形BCDE為平行四邊形，所以BE⊥AC，CD//即在圖2中，BE⊥OA1，BE⊥OC，OA1∩OC=O所以BE⊥平面OA又CD//BE，所以CD⊥平面因?yàn)镃D?平面BCDE，所以平面BCDE⊥平面A（2）由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，又由（1）知，BE⊥OA所以∠A1OC為二面角A如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A1B=1，所以A1所以B22,0,0，E?2得BC=?22,設(shè)平面A1BC的法向量n1=x1,y1,z則n1?BC=0n同理：n2?CD=0n從而cosθ=即平面A1BC與平面A118．（17分）（2024·上?！と＃┮阎猣x=ex?ax?1(1)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)y=fx(2)若關(guān)于x的方程fx+1=0有兩個(gè)不等實(shí)根，求(3)當(dāng)a>0時(shí)，若滿足fx1=f【解題思路】（1）把a(bǔ)=1代入函數(shù)fx中，并求出f′x，根據(jù)f′x（2）fx+1=0等價(jià)于y=a與gx=e（3）求出f′x，并得函數(shù)y=fx在?∞,lna上單調(diào)遞減，在lna,+∞上單調(diào)遞增，可得則x1∈?∞,ln【解答過(guò)程】（1）當(dāng)a=1時(shí)，fx=ex?x?1令f′x=0當(dāng)x<0時(shí)，f′x<0，函數(shù)f當(dāng)x>0時(shí)，f′x>0，函數(shù)f所以y=fx在x=0（2）方程fx當(dāng)x=0時(shí)，顯然方程不成立，所以x≠0，則a=e方程有兩個(gè)不等實(shí)根，即y=a與gxg′當(dāng)x<0或0<x<1時(shí)，g′gx在區(qū)間?∞,0并且x∈?∞,0時(shí)，gx<0當(dāng)x>1時(shí)，g′x>0，gx>0時(shí)，當(dāng)x=1時(shí)，gx取得最小值，g作出函數(shù)y=gx因此y=a與gx=e故a的取值范圍為e,+（3）證明：a>0，由f′x=所以函數(shù)y=fx在?∞,由題意x1<x2，且fx要證x1+x而x1<2lna?x故只需證fx又fx1=f即證fx令?x即?x?′由均值不等式可得?′當(dāng)且僅當(dāng)ex=a所以函數(shù)?x在R由x2>lna，可得所以fx又函數(shù)fx在?所以x1<2ln19．（17分）（20