專題06有理數(shù)的加減（3大考點9種題型）（原卷版）

專題06有理數(shù)的加減（3大考點+9種題型）思維導(dǎo)圖核心考點與題型分類聚焦考點一：有理數(shù)加法法則考點二：有理數(shù)加法的運(yùn)算律考點三：有理數(shù)減法法則題型一:有理數(shù)加法運(yùn)算題型二：有理數(shù)加法中的符號問題題型三：有理數(shù)加法在生活中的應(yīng)用題型四：有理數(shù)加法運(yùn)算律題型五：有理數(shù)的減法運(yùn)算題型六：有理數(shù)減法的實際應(yīng)用題型七：有理數(shù)的加減混合運(yùn)算題型八：有理數(shù)加減中的簡便運(yùn)算題型九:有理數(shù)加減混合運(yùn)算的應(yīng)用考點一：有理數(shù)加法法則（1）同號兩數(shù)相加：取原來的符號，并把絕對值相加．（2）異號兩數(shù)相加：絕對值相等時和為零；絕對值不相等時，其和的絕對值為較大的絕對值減去較小的絕對值所得的差，其和的符號取絕對值較大的加數(shù)的符號．（3）一個數(shù)同零相加：仍得這個數(shù)．考點二：有理數(shù)加法的運(yùn)算律交換律：；結(jié)合律：．考點三：有理數(shù)減法法則減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)：．題型一:有理數(shù)加法運(yùn)算【例1】．（2023下·上海·六年級上海市進(jìn)才實驗中學(xué)?？计谥校咀兪?】．（2022下·上海楊浦·六年級校考期中）計算：﹣0.25+（﹣2）+2+0.125．【變式2】．（2022下·上海寶山·六年級?？茧A段練習(xí)）在﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4，m這9個數(shù)中，m代表一個數(shù)，你認(rèn)為m是多少時，能夠使這9個數(shù)分別填入圖中的9個空格內(nèi)，使每行的3個數(shù)、每列3個數(shù)、斜對角3個數(shù)個數(shù)相加均為零．(1)我認(rèn)為m＝_______．(2)按要求將這9個數(shù)填入如圖的空格內(nèi)．【變式3】．（2022上·上?！ち昙墝ｎ}練習(xí)）兩百年前，德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫發(fā)現(xiàn)：任何一個不小于6的偶數(shù)都可以寫成兩個奇素數(shù)（既是奇數(shù)又是素數(shù)）之和，簡稱：“1+1”．如，等等．眾多數(shù)學(xué)家用很多偶數(shù)進(jìn)行檢驗，都說明是正確的，但至今仍無法從理論上加以證明，也沒找到一個反例．這就是世界上著名的哥德巴赫猜想．你能檢驗一下這個偉大的猜想嗎？請把偶數(shù)42寫成兩個奇素數(shù)之和．42=，或者42=．你是否有更大的發(fā)現(xiàn)：把42寫成4個奇素數(shù)之和？42=．題型二：有理數(shù)加法中的符號問題【例2】．（2023上·新疆伊犁·七年級校考期中）如果的值是負(fù)數(shù)，則a與b的值（

）A．一定都是正數(shù) B．一定都是負(fù)數(shù)C．一定是一個正數(shù)，一個負(fù)數(shù) D．至少有一個是負(fù)數(shù)【變式1】．（2020上·北京海淀·七年級統(tǒng)考期中）有理數(shù)m，n，k在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，若，則A，B，C，D四個點中可能是原點的是（）

A．A點 B．B點 C．C點 D．D點【變式2】．（2023上·山東濰坊·七年級統(tǒng)考期中）將寫成省略加號后的形式是()A． B． C． D．【變式3】．（2023上·浙江·七年級專題練習(xí)）用“”或“”填空：（1）如果，那么0；（2）如果，那么0；（3）如果，那么0；（4）如果，那么0．【變式4】．（2023上·上海浦東新·七年級上海中學(xué)東校?？茧A段練習(xí)）將式子寫成省略加號的和的形式．【變式5】．（2023上·四川眉山·七年級?？计谥校┯嬎悖?1)，；(2)，．(3)___________．【變式6】．（2020上·七年級課時練習(xí)）從，，，，，，，，這九個數(shù)字中各取一個數(shù)字作個位數(shù)字，再從這九個數(shù)字中各取一個數(shù)字作十位數(shù)字，隨意組成九個兩位數(shù)，且這九個兩位數(shù)都是負(fù)數(shù)，求這九個兩位數(shù)的和，并使你的算式能說明計算結(jié)果是唯一的道理．【變式7】．（2020上·天津·七年級天津二十中?？茧A段練習(xí)）已知：，，且，求的值．題型三：有理數(shù)加法在生活中的應(yīng)用【例3】．（2021下·上海徐匯·六年級上海市第四中學(xué)?？计谥校钇执髽驑蛎嬖邳S埔江江面上方48米，江底在水面下方約10米，橋面與江底相距的米．【變式1】．（2023上·吉林松原·七年級統(tǒng)考期末）如果某天的最低氣溫為，中午12點的氣溫比最低氣溫高了．那么中午12點的氣溫為．【變式2】．（2023上·遼寧沈陽·七年級校考階段練習(xí)）出租車司機(jī)小李某天上午營運(yùn)都是在東西走向的大街上進(jìn)行的，如果規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，他這天上午行車路程（單位：千米）如下：，，，，，．(1)將最后一位乘客送到目的地時，小李距出發(fā)地多遠(yuǎn)？此時在出發(fā)地的東邊還是西邊？(2)若汽車耗油量為0.2升/千米，這天上午小李共耗油多少升？(3)若出租車起步價為8元，起步路程為3千米（即乘車路程不超過3千米都為8元），若乘車路程超過3千米，則超過部分每千米加收2元．問司機(jī)小李今天上午共收入多少元？【變式3】．（2023上·浙江寧波·七年級統(tǒng)考期中）杭州亞運(yùn)會已圓滿結(jié)束，這離不開亞運(yùn)網(wǎng)約車司機(jī)們的辛勤付出．老姚某天上午的營運(yùn)全是在一條筆直的東西走向的路上進(jìn)行．如果規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，那么他這天上午行車?yán)锍蹋▎挝唬呵祝┯涗浫缦拢海?，，，，，，，，?1)將第幾名乘客送到目的地時，老姚剛好回到上午的出發(fā)點？(2)將最后一名乘客送到目的地時，老姚距上午的出發(fā)點多遠(yuǎn)？在出發(fā)點的東面還是西面？(3)若出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：起步價8元（不超過3千米），超過3千米，超過部分每千米2元，則姚師傅在這天上午一共收入多少元？【變式4】．（2023上·山東德州·七年級統(tǒng)考期中）某學(xué)校深入開展足球進(jìn)校園活動，為了提高足球運(yùn)動員快速轉(zhuǎn)身搶斷能力，體育老師設(shè)計了折返跑訓(xùn)練．在足球場上畫一條東西方向的直線，如果約定向東為正，向西為負(fù)，一運(yùn)動員折返跑訓(xùn)練的記錄如下（單位：米）：＋15，－19，＋16，－18，＋21，－30，＋35，－25，＋25，－10．請解答下列問題：(1)該運(yùn)動員最后到達(dá)的地方在出發(fā)點的哪個方向？距出發(fā)點多遠(yuǎn)？(2)該運(yùn)動員本次訓(xùn)練結(jié)束，共跑了多少米？題型四：有理數(shù)加法運(yùn)算律【例4】．（2023上·山東淄博·六年級統(tǒng)考期中），上面的計算所運(yùn)用的運(yùn)算律是（

）A．交換律 B．結(jié)合律C．先用結(jié)合律，再用交換律 D．先用交換律，再用結(jié)合律【變式1】．（2021下·上海楊浦·七年級?？计谥校┯嬎悖海咀兪?】．（2023上·廣東惠州·七年級惠州市惠陽區(qū)崇雅中學(xué)?？计谥校┯嬎悖海咀兪?】．（2023上·河北邢臺·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）用適當(dāng)方法計算：(1)(2)(3)【變式4】．（2023上·河南鄭州·七年級鄭州市第八中學(xué)?？计谥校╅喿x下面文字：對于可以如下計算：原式__________________．上面這種方法叫拆項法．(1)請補(bǔ)全以上計算過程；(2)類比上面的方法計算：．題型五：有理數(shù)的減法運(yùn)算【例5】．（2021下·上海嘉定·六年級?？计谥校┯嬎悖?（0.5）2【變式1】．（2021下·上海松江·六年級?？计谀┯嬎悖海咀兪?】．（2023上·山東濱州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在數(shù)軸上的點，，，，分別表示，，，，，請回答下列問題：(1)在數(shù)軸上描出點，，，，，用“>”將它們連接起來；(2)，兩點之間的距離是多少？，兩點之間的距離是多少？【變式3】．（2024上·陜西咸陽·七年級?？茧A段練習(xí)）如果，，求的值．【變式4】．（2023上·浙江杭州·七年級?？计谥校┤鐖D所示，數(shù)軸上從左到右的三個點，，所對應(yīng)數(shù)的分別為，，．其中點、點兩點間的距離的長是20，點、點兩點間的距離的長是8．(1)若以點C為原點，直接寫出點A，B所對應(yīng)的數(shù)；(2)若原點O在A，B兩點之間，求的值；(3)若O是原點，且點B到原點O的距離是6，求的值．【變式5】．（2023上·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）如圖，某中學(xué)購進(jìn)5個新排球，并進(jìn)行了質(zhì)量檢測，以每個270克作為質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，超過的克數(shù)記作正數(shù)，不足的克數(shù)記作負(fù)數(shù)．(1)求這5個排球中最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的排球的克數(shù)．(2)這5個排球的總質(zhì)量是超過標(biāo)準(zhǔn)總質(zhì)量還是不足標(biāo)準(zhǔn)總質(zhì)量？并計算超過或不足的克數(shù)．(3)購買這5個排球時商家是通過快遞公司寄給這所中學(xué)，已知快遞首重不超過1千克運(yùn)費(fèi)為12元，如果超過1千克，按照每增加1千克運(yùn)費(fèi)增加2元，不足1千克按1千克計算，求商家支付的運(yùn)費(fèi)．題型六：有理數(shù)減法的實際應(yīng)用【例6】．（2023下·上?！ち昙墝ｎ}練習(xí)）在體育課的立定跳遠(yuǎn)測試中，以為標(biāo)準(zhǔn)，若小明跳出了，可記作，則小亮跳出了，應(yīng)記作（）A． B． C． D．【變式1】．（2021下·上海松江·六年級?？茧A段練習(xí)）在某種蛋糕的包裝袋上標(biāo)有，凈含量克那么這種蛋糕的質(zhì)量最小是克．【變式2】．（2023上·遼寧葫蘆島·七年級統(tǒng)考期中）小明的媽媽的存折中有3500元，若把存入記為正，取出記為負(fù)，一段時間內(nèi)存入和取出情況依次如下（單位：元）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次1500600(1)在第幾次存取后，存折中的錢最少？在第幾次存取后，存折中的錢最多？(2)經(jīng)過這幾次的存取后，最終小明的媽媽的存折內(nèi)還有剩余多少元錢？【變式3】．（2023上·江西南昌·七年級校考階段練習(xí)）2022年國慶節(jié)放假八天，高速公路免費(fèi)通行，各地風(fēng)景區(qū)游人如織其中，其中聞名于世的北京故宮，在10月1日的游客人數(shù)就已經(jīng)達(dá)到了5萬人，接下來的七天中，每天的游客人數(shù)變化（單位：萬人）如下表（正數(shù)表示比前一天多的人數(shù)，負(fù)數(shù)表示比前一天少的人數(shù)）．日期10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日10月8日人數(shù)變化(1)10月3日的人數(shù)為萬人；(2)這八天，游客人數(shù)最多的是10月日，達(dá)到萬人；游客人數(shù)最少的是10月日，為萬人；(3)這8天參觀故宮的總?cè)藬?shù)為萬人．【變式4】．（2023上·河南洛陽·七年級校考期中）規(guī)定

兩個有理數(shù)，若滿足，則稱是的“思念數(shù)”．判斷

下列表中各數(shù)對，是否滿足第二個數(shù)是第一個數(shù)的“思念數(shù)”，滿足的在相應(yīng)位置打“√”，不滿足的打“×”．?dāng)?shù)對5和1和10和是不是“思念數(shù)”應(yīng)用

有理數(shù)的“思念數(shù)”是，求的值；有理數(shù)滿足，求的“思念數(shù)”．題型七：有理數(shù)的加減混合運(yùn)算【例7】．（2023下·上海黃浦·六年級統(tǒng)考期中）計算：．【變式1】．（2023下·上海寶山·六年級?？计谥校咀兪?】．（2021下·上海金山·六年級?？计谥校┯嬎悖海咀兪?】．（2021下·上海閔行·六年級?？计谥校┯嬎悖骸咀兪?】．（2021下·上海靜安·六年級上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校?？计谥校┤?，求的值．題型八：有理數(shù)加減中的簡便運(yùn)算【例8】．（2021下·上海虹口·六年級上海市民辦新復(fù)興初級中學(xué)?？计谥校┯嬎悖海咀兪?】．（2023下·上海靜安·六年級上海市回民中學(xué)校考期中）；【變式2】．（2021下·上海閔行·六年級統(tǒng)考期中）計算：．【變式3】．（2021下·上海長寧·六年級上海市延安初級中學(xué)?？计谥校┯嬎悖海}型九:有理數(shù)加減混合運(yùn)算的應(yīng)用【例9】．（2023下·上?！ち昙墝ｎ}練習(xí)）一出租車某天8：00～10：00以鐘樓為出發(fā)點在東西方向營運(yùn)，向東走為正，向西走為負(fù)，行車?yán)锍蹋▎挝唬簁m）依先后次序記錄如下：、、、、，試回答下列問題：(1)將最后一名乘客送到目的地后，出租車離出發(fā)點鐘樓有多遠(yuǎn)？出租車在鐘樓的什么方向？(2)若每千米的價格為元，司機(jī)該天8：00～10：00的營業(yè)額是多少？【變式1】．（2023下·上海靜安·八年級上海市回民中學(xué)?？计谥校┠彻緦T工的一次性獎金方案如下：合同年限第一年第二年第三年…上半年下半年上半年下半年上半年下半年…甲方案元元元…乙方案元元元元元元…如果你是該公司的員工，選擇哪一種方案比較合算？【變式2】．（2021下·上海嘉定·六年級?？茧A段練習(xí)）小東的爸爸是出租車司機(jī)，為了計算汽車每千米的耗油量，某天上午，他從單位出發(fā)，在沿著南北方向行駛時詳細(xì)記錄了行車的路程情況．他規(guī)定向南為正，向北為負(fù)，下面是他這天上午行駛的路程記錄（單位：千米）：，(1)已知該出租車這天上午共耗油升，你能計算出小東爸爸的出租車每千米的耗油量是多少嗎？(2)上午運(yùn)營結(jié)束后，小東的爸爸應(yīng)該向行駛千米返回單位．一、單選題1．（2021下·上海浦東新·六年級上海市浦東模范中學(xué)東校校考期末）已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．2．（2021下·上海虹口·六年級?？计谥校?021年初寒潮來襲，全國各地氣溫驟降，如圖是2021年1月7日全國四個城市的天氣情況，這一天溫差最大的城是（

）A．上海 B．北京 C．廣州 D．蘇州3．（2023上·山東棗莊·七年級?？茧A段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．兩個有理數(shù)的和一定大于任何一個加數(shù)B．若兩個有理數(shù)的和為0，則這兩個有理數(shù)一定互為相反數(shù)C．若兩個有理數(shù)的和為負(fù)數(shù)，則這兩個有理數(shù)一定都是負(fù)數(shù)D．若兩個有理數(shù)的和為正數(shù)，則這兩個有理數(shù)一定都是正數(shù)4．（2023上·廣西玉林·七年級?？茧A段練習(xí)）在數(shù)軸上表示和2023的兩點之間的距離是（

）A．2021 B．2023 C．2024 D．20255．（2023上·甘肅天水·七年級?？计谀┤鐖D，方格中的任一行、任一列以及對角線上的數(shù)字之和相等，那么m的值為（

）A．13 B．10 C．9 D．無法確定6．（2021下·上海普陀·六年級?？计谥校┤?、，則的值為（

）．A．3 B． C． D．或二、填空題7．（2023上·山東淄博·六年級統(tǒng)考期中）計算．8．（2023上·江蘇淮安·七年級校聯(lián)考期中）已知，則（填“”或“”或“”）．9．（2021下·上?！ち昙壭？茧A段練習(xí)）計算：．10．（2023上·山東淄博·六年級統(tǒng)考期中）如圖，小明將、、、0、1、2、3、4、5分別填入九個空格內(nèi)，使每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)字之和相等，則．11．（2020上·四川宜賓·七年級?？茧A段練習(xí)）某公司生產(chǎn)的一種小零食的包裝袋上印有的字樣，質(zhì)檢局隨機(jī)抽查了5袋該產(chǎn)品，質(zhì)量分別為，合格的共有袋．12．（2023上·廣東潮州·七年級?？计谥校?shù)軸上的A點與表示的點距離4個單位長度，則點A表示的數(shù)為．13．（2024上·甘肅定西·七年級統(tǒng)考期末）絕對值不大于3.14的所有整數(shù)之和等于．14．（2021下·上海寶山·六年級統(tǒng)考期中）某市昨天的最高溫度是，另一城市的最高溫度是，則這兩個城市的最高溫度相差．15．（2021下·上海寶山·六年級統(tǒng)考期中）數(shù)軸上到原點的距離小于個單位長度的點中，表示整數(shù)的點共有個，它們的和是．16．（2021下·上海徐匯·六年級上海市西南模范中學(xué)?？计谥校┮阎欣頂?shù)在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖，則（用“<”、“=”或“>”填空）．

17．（2023上·河南南陽·七年級校考階段練習(xí)）我們知道：絕對值最小的數(shù)是0．現(xiàn)有個連續(xù)整數(shù)1，2，3，……，，請在這些數(shù)字前任意添加“+”或“”，然后將它們相加，使所得結(jié)果的絕對值最小，這個最小值是．18．（2021下·上海徐匯·六年級上海市世界外國語中學(xué)?？计谥校┤缦聢D，讀出數(shù)軸上的點，并計算，其結(jié)果為.

三、解答題19．（2023上·湖北荊門·七年級?？茧A段練習(xí)）計算∶(1)；(2)；20．（2023上·上海浦東新·七年級上海中學(xué)東校?？茧A段練習(xí)）計算:(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．21．（2023上·安徽六安·七年級?？茧A段練習(xí)）若，，且，求的值．22．（2023上·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）在11月，榕榕利用某軟件投資“紙黃金”，其中10天的收益情況如下表所示．（上漲為正，下跌為負(fù)，每天的數(shù)據(jù)均是相對于前一天而言）日期20日21日22日23日24日收益情況（元）日期225日26日27日28日29日收益情況（元）00(1)觀察表格，在這段時間內(nèi)．收益為上漲的有___________天．(2)表格中的25日、26日為休息日，這兩天交易暫停．除這兩天外，收益變動最小的日期是_______．(3)假如榕榕在11月29日全部賣出，結(jié)束投資，試求她的收益是盈利還是虧損？盈利（或虧損）了多少錢？23．（2023上·山東青島·七年級?？计谀┠车巧疥犼爢T以二號高地為基地，開始向海拔距二號高地500米的頂峰沖擊，設(shè)他的海拔升高為正，將他從二號高地出發(fā)