湖北省咸寧市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

咸寧市2023—2024學(xué)年度下學(xué)期高中期末考試高二數(shù)學(xué)試卷本試卷共6頁，時(shí)長120分鐘，滿分150分．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知為虛數(shù)單位，若，則（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的定義即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以?故選：B.2.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則（）A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.2【答案】D【解析】【分析】由正態(tài)分布的對稱性直接求解.【詳解】因?yàn)?，則，∴.故選：D.3.已知向量滿足.若，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出的坐標(biāo)，再利用向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算即得.【詳解】由，得，由，得，所以.故選：B4.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解法一：判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性解不等式即可.解法二：特值排除法.【詳解】解法一：函數(shù)的定義域?yàn)镽，函數(shù)分別是R上的增函數(shù)和減函數(shù)，因此函數(shù)是R上的增函數(shù)，由，得，解得，所以原不等式的解集是.故選：A解法二：特值當(dāng)時(shí)，，排除B，D，當(dāng)時(shí)，，排除C，對A：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)是R上的增函數(shù)，所以，故A成立.故選A．5.一個(gè)容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，則該組數(shù)據(jù)的的上四分位數(shù)為（）A5 B.5.5 C.14 D.14.5【答案】D【解析】【分析】按照上四分位數(shù)的定義直接求解即可.【詳解】上四分位數(shù)即第百分位數(shù)，因?yàn)?，所以上四分位?shù)為第位和第位的平均數(shù)，即，故選：D.6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量與關(guān)于x軸對稱，向量若滿足的點(diǎn)A的軌跡為E，則（）A.E是一條垂直于x軸的直線 B.E是一個(gè)半徑為1的圓C.E是兩條平行直線 D.E是橢圓【答案】B【解析】【分析】設(shè)，由題有，，代入化簡即可得出答案.【詳解】設(shè)，由題有，，所以，，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡是一個(gè)半徑為1的圓，故選：B．7.由0，2，4組成可重復(fù)數(shù)字自然數(shù)，按從小到大的順序排成的數(shù)列記為，即，若，則（）A.34 B.33 C.32 D.30【答案】B【解析】【分析】由題意可知一位自然數(shù)有3個(gè)，兩位自然數(shù)有6個(gè)，三位自然數(shù)有18個(gè)，利用列舉法列出符合題意得自然數(shù)，即可求解.【詳解】由0,2,4組成可重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，按從小到大的順序排成數(shù)列，則一位自然數(shù)有3個(gè)，兩位自然數(shù)有個(gè)，三位自然數(shù)有個(gè)，四位自然數(shù)有個(gè)，又四位自然數(shù)為2024為四位自然數(shù)中的第6個(gè)，所以.故選：B8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若，且雙曲線的離心率為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由雙曲線的定義結(jié)合已知條件求得，從而再得，由余弦定理求得，由誘導(dǎo)公式得，設(shè)，則，再由余弦定理求得，從而利用余弦定理求解即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，因?yàn)?，所以，由雙曲線的定義可得，所以，在中，由余弦定理得，在中，，設(shè)，則，由得，解得，所以，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用，結(jié)合余弦定理與雙曲線的定義，從而得解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知為隨機(jī)事件，，則下列結(jié)論正確的有（）A.若為互斥事件，則B.若，則C.若為互斥事件，則D.若相互獨(dú)立，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件性質(zhì)可判斷AB；再由相互獨(dú)立事件性質(zhì)可判斷D，利用對立事件及條件概率公式可判斷C.【詳解】對于A，若為互斥事件，則，故A正確；對于B，若，則，故B正確；對于C，若為互斥事件，則，所以，故C錯(cuò)誤；對于D，若相互獨(dú)立，則，故D正確.故選：ABD.10.牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程根的一種數(shù)值解法——牛頓法，用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn).如圖，在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處作的切線，切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；用代替重復(fù)上面的過程得到；一直下去，得到數(shù)列，叫作牛頓數(shù)列.若函數(shù)且，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（）A. B.數(shù)列是遞減數(shù)列C.數(shù)列是等比數(shù)列 D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得在點(diǎn)處的切線方程，令得，即可判斷A，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算對進(jìn)行變形得，根據(jù)等比數(shù)列的定義及性質(zhì)即可判斷BC，利用等比數(shù)列求和公式求解判斷D.【詳解】由得，所以在點(diǎn)處的切線方程，令，得，故A正確.，故，即，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，且為敵增數(shù)列，故B錯(cuò)誤，C正確，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.把底面為橢圓且母線與底面都垂直的柱體稱為“橢圓柱”.如圖，橢圓柱(中橢圓長軸，短軸，為下底面橢圓的左右焦點(diǎn)，為上底面橢圓的右焦點(diǎn)，，P為線段上的動點(diǎn)，E為線段上的動點(diǎn)，MN為過點(diǎn)的下底面的一條動弦(不與AB重合)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.當(dāng)平面時(shí)，為的中點(diǎn)B.三棱錐外接球的表面積為C.若點(diǎn)Q是下底面橢圓上的動點(diǎn)，是點(diǎn)Q在上底面的射影，且，與下底面所成的角分別為，則的最大值為D.三棱錐體積的最大值為8【答案】ACD【解析】【分析】當(dāng)平面時(shí)，可得，確定點(diǎn)位置判斷選項(xiàng)A；幾何法求三棱錐外接球的半徑，計(jì)算表面積判斷選項(xiàng)B；令，得，由求最大值判斷選項(xiàng)C；由，要使三棱錐體積最大，只需的面積和到平面距離之和都最大，求結(jié)果判斷選項(xiàng)D.【詳解】由題設(shè)，長軸長，短軸長，則，得分別是中點(diǎn)，而柱體中為矩形，連接，由，，∴四邊形為平行四邊形，，當(dāng)平面時(shí)，平面，平面平面，則，有，中，是中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；，，，則中，，，外接圓半徑為，，則平面，三棱錐外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；點(diǎn)Q是下底面橢圓上的動點(diǎn)，是點(diǎn)Q在上底面的射影，且，與下底面所成的角分別為，令，則，又，則，，，，由橢圓性質(zhì)知，則當(dāng)或時(shí)，的最大值為，C選項(xiàng)正確；由，要使三棱錐體積最大，只需的面積和到平面距離之和都最大，，令，且，則，，當(dāng)時(shí)，有最大值，在下底面內(nèi)以為原點(diǎn)，構(gòu)建如上圖的直角坐標(biāo)系，且，則橢圓方程為，設(shè)，聯(lián)立橢圓得，，，，令，，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知上遞增，，綜上，三棱錐體積的最大值為，D選項(xiàng)正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題是解析幾何與立體幾何的綜合問題，解析幾何部分要用好橢圓的定義、方程和性質(zhì)，確定圖形中各點(diǎn)的位置，利用韋達(dá)定理解決弦長；橢圓中立體幾何部分要用好幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用線面平行的性質(zhì)得線線平行，幾何法解決外接球問題，幾何法求線面角.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為32，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_________．【答案】10【解析】【分析】由展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為32，令，求出，然后利用通項(xiàng)公式中的指數(shù)為，求出，進(jìn)而得出常數(shù)項(xiàng).【詳解】令，則當(dāng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：10.13.已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】先求出的范圍，考慮其右邊界的取值范圍即可.【詳解】因?yàn)?，所以，其中，相鄰的后面一個(gè)使得成立的值為：，且，當(dāng)且僅當(dāng)，解得：．故答案是：.14.足球是一項(xiàng)很受歡迎的體育運(yùn)動.如圖，某標(biāo)準(zhǔn)足球場的底線寬碼，球門寬碼，球門位于底線的正中位置.在比賽過程中，攻方球員帶球運(yùn)動時(shí)，往往需要找到一點(diǎn)，使得最大，這時(shí)候點(diǎn)就是最佳射門位置.當(dāng)攻方球員甲位于邊線上的點(diǎn)處（，）時(shí)，根據(jù)場上形勢判斷，有、兩條進(jìn)攻線路可供選擇.若選擇線路，則甲帶球_________碼時(shí)，到達(dá)最佳射門位置；若選擇線路，則甲帶球_________碼時(shí)，到達(dá)最佳射門位置.【答案】①.②.【解析】【分析】若選擇線路，設(shè)，利用兩角差的正切公式可得出關(guān)于的表達(dá)式，利用基本不等式可求得的值及的長；若選擇線路，若選擇線路，以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、的方向分別為、軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，利用斜率公式、兩角差的正切公式以及基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】若選擇線路，設(shè)，其中，，，則，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，此時(shí)，所以，若選擇線路，則甲帶球碼時(shí)，到達(dá)最佳射門位置；若選擇線路，以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、的方向分別為、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，其中，，，所以，，令，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，此時(shí)，，所以，若選擇線路，則甲帶球碼時(shí)，到達(dá)最佳射門位置.故答案為：；.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.在中，角所對的邊分別為，已知，角的平分線交邊于點(diǎn)，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由兩角和的正弦公式以及正弦定理可得，可得結(jié)果；（2）由三角形面積公式并利用，可得，再由余弦定理即可求得,由三角形的面積公式可得結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，所以，故?【小問2詳解】由題意可知，即，化簡可得，在中，由余弦定理得，從而，解得或（舍），所以.16.如圖，在四棱柱中，底面為直角梯形，．（1）證明：平面；（2）若平面，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明過程見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，通過線面平行、面面平行的判定定理首先得平面平面，再利用面面平行的性質(zhì)即可得證；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，由向量夾角余弦的坐標(biāo)公式結(jié)合三角函數(shù)平方關(guān)系即可得解.【小問1詳解】如圖：取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，一方面：因?yàn)椋?，即四邊形是平行四邊形，所以，又，所以，即四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，從而，又因?yàn)槊妫?，所以面，另一方面：又因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槊?，面，所以面，結(jié)合以上兩方面，且注意到平面，所以平面平面，又平面，所以平面；【小問2詳解】若平面，又平面，所以，又，所以以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)是平面的法向量，則，即，令，解得，即可取平面的一個(gè)法向量為，設(shè)是平面的法向量，則，即，令，解得，即可取平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的大小為，則，所以，即二面角的正弦值為.17.三月“與輝同行”攜手湖北文旅，云游湖北省博物館、賞東湖櫻花園、夜上黃鶴樓……一路走來，講述關(guān)于湖北的歷史人文、詩詞歌賦，為廣大網(wǎng)友帶來一場荊楚文化的饕餮盛宴．湖北文旅因此火爆出圈，湖北各地相繼迎來了旅游熱潮．咸寧的大幕東源花谷，向陽湖花海的美景、美食、文化和人情也吸引了大批游客紛至沓來，現(xiàn)對3月中下旬至4月上旬的大幕東源花谷賞花節(jié)會部分游客做問卷調(diào)查，其中75%的游客計(jì)劃只游覽大幕東源花谷，另外25%的游客計(jì)劃既游覽大幕東源花谷又參加“向陽花田”音樂會．每位游客若只游覽大幕東源花谷，則得到1份文旅紀(jì)念品；若既游覽大幕東源花谷又參加“向陽花田”音樂會，則獲得2份文旅紀(jì)念品．假設(shè)每位來大幕東源花谷游覽的游客與是否參加“向陽花田”音樂會是相互獨(dú)立的，用頻率估計(jì)概率．（1）從大幕東源花谷的游客中隨機(jī)抽取3人，記這3人獲得文旅紀(jì)念品的總個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）記n個(gè)游客得到文旅紀(jì)念品的總個(gè)數(shù)恰為個(gè)的概率為，求的前n項(xiàng)和．【答案】（1）分布列見解析，（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出每位游客得到1份文旅紀(jì)念品的概率和得到2份文旅紀(jì)念品的概率，則可知X的可能取值為3，4，5，6，然后求出相應(yīng)的概率，從而可求得X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）由題意可知只有1人既游覽大幕東源花谷又參加“向陽花田”音樂會，則可得，然后利用錯(cuò)位相減法可求得.【小問1詳解】據(jù)題意，每位游客只游覽大幕東源花谷的概率為，得到1份文旅紀(jì)念品；既游覽大幕東源花谷又參加“向陽花田”音樂會的概率為，獲得2份文旅紀(jì)念品，則X的可能取值為3，4，5，6，其中，，，，所以X的分布列為X3456P．【小問2詳解】因?yàn)閚個(gè)游客得到文旅紀(jì)念品總個(gè)數(shù)恰為個(gè)，則只有1人既游覽大幕東源花谷又參加“向陽花田”音樂會，于是，則．于是，兩式相減，得，所以．18.已知，，為平面上的一個(gè)動點(diǎn).設(shè)直線的斜率分別為，，且滿足.記的軌跡為曲線.（1）求的軌跡方程；（2）直線，分別交動直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn).是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在，12【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，由題意列出等式，化簡即可求得答案；（2）分別設(shè)直線的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出直線的方程，繼而求出H點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)知識，即可得結(jié)論，并求得最大值.小問1詳解】由題意設(shè)點(diǎn)，由于，故，整理得，即的軌跡方程為；【小問2詳解】由題意知直線的斜率分別為，，且滿足，設(shè)直線的方程為，令，則可得，即，直線，同理求得，又直線的方程為，令，得，即，故，當(dāng)時(shí)，取到最大值12，即存在最大值，最大值為12.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查軌跡方程的求解以及直線和橢圓位置關(guān)系中的探究最值是否存在問題，解答思路不困難，即表示出直線方程，求得坐標(biāo)，進(jìn)而求出的表達(dá)式，