廣西壯族自治區(qū)“貴百河”2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月月考試題數(shù)學(xué)

2023級“貴百河”5月高一年級新高考月考測試數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。3．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B．2 C． D．32．下列說法錯(cuò)誤的是（）A． B．都是單位向量，則C．若，則 D．零向量方向任意3．設(shè)為兩個(gè)非零向量，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．在中，若，，，則（）A． B． C． D．5．已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，，則6．在中，角所對的邊分別為，，，若滿足條件的三角形有且只有兩個(gè)，則邊的取值范圍為（）A． B． C． D．7．設(shè)直三棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)表面積是的球面上，，．則此直三棱柱的體積是（）A． B． C． D．8．已知為銳角內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足，已知，若，則實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。（答案有兩個(gè)選項(xiàng)只選一個(gè)對得3分，錯(cuò)選不得分；答案有三個(gè)選項(xiàng)只選一個(gè)對得2分，只選兩個(gè)都對得4分，錯(cuò)選不得分）9．如圖，四邊形的斜二測畫法直觀圖為等腰梯形．已知，則下列說法正確的是（）A． B．C．四邊形的周長為 D．四邊形的面積為10．如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列命題正確的是（）A．三棱錐的體積為定值B．直線與平面所成角的大小不變C．直線與直線垂直D．二面角的大小不變11．“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等．如圖，已知圓的半徑為2，點(diǎn)是圓內(nèi)的定點(diǎn)，且，弦均過點(diǎn)，則下列說法正確的有（）A．為定值B．當(dāng)時(shí)，為定值C．的最大值為12D．的取值范圍是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知向量，若，則______．13．已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為______．14．已知分別為的邊上的點(diǎn)，線段和相交于點(diǎn)，若，，，其中．則的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．（13分）已知復(fù)數(shù)，，其中是虛數(shù)單位，．（1）若為純虛數(shù)，求的值；（2）若，求的取值范圍．16．（15分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，，向量與間的夾角為．（1）求在方向上的投影向量的坐標(biāo)；（2）求的值；（3）若向量與夾角為鈍角，求的取值范圍．17．（15分）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，分別是的中點(diǎn)，是邊長為2的等邊三角形，．（1）證明：；（2）求點(diǎn)到平面的距離．18．（17分）在銳角中，分別為作的對邊，且．（1）求角的大?。唬?）求的取值范圍．19．（17分）如圖所示正四棱錐，，，為側(cè)棱上的點(diǎn)，且．求：（1）正四棱錐的表面積；（2）若為的中點(diǎn)，求平面與平面所成的二面角的余弦值；（3）側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面．若存在，求的值；若不存在，試說明理由．2023級“貴百河”5月高一年級新高考月考測試數(shù)學(xué)參考答案及評分細(xì)則1．【答案】A【詳解】解：，，，，則．故選：A．2．【答案】【詳解】對于A，，A正確，對于B，是單位向量，則，正確，對于，向量有大小和方向，不可以比較大小，故錯(cuò)誤，對于，零向量是模長為0，方向任意的向量，正確，故選：C3．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以同向共線，所以，因?yàn)?，所以同向共線，此時(shí)不一定成立，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A4．【答案】D【詳解】，5．【答案】【詳解】對于，由，，，只能得到垂直于平面內(nèi)與平行的直線，所以錯(cuò)誤；對于，由面面垂直的性質(zhì)定理得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，與不垂直，所以錯(cuò)誤；對于，由，，，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可得，所以正確；對于，由，，，，只有當(dāng)為異面直線時(shí)，可得，所以D錯(cuò)誤．故選：C．6．【答案】B【解析】由，得，所以7．【答案】D．【解析】設(shè)．因?yàn)?，所以．于是（是外接圓的半徑），．又球心到平面的距離等于側(cè)棱長的一半，所以球的半徑為．所以球的表面積為，解得．因此．于是直三棱柱的體積是．故選D．8．【答案】【解析】因?yàn)?，所以是的外心。設(shè)外接圓的半徑為，，，，，，即，即，故，故，故，故答案為：．9．【答案】【詳解】如圖過作交于點(diǎn)，由等腰梯形且，又，，可得是等腰直角三角形，即，故B錯(cuò)誤；還原平面圖如下圖，則，，，故A錯(cuò)誤；過作交于點(diǎn)，則，由勾股定理得，故四邊形的周長為：，即C正確．；四邊形的面積為：，即D正確．故選：CD．10．【答案】【詳解】平面，上任意一點(diǎn)到平面的距離相等，所以體積不變，選項(xiàng)正確；B．與平面相交，所以直線與平面所成角的大小在變，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．平面，，C選項(xiàng)正確；D．二面角也就是二面角大小不變，選項(xiàng)正確；11．【答案】ABD【詳解】如圖，設(shè)直線與圓交于，對于，，A選項(xiàng)正確；對于B，時(shí)，，，則，B選項(xiàng)正確；對于，圓的半徑為2，則，，，因不能同時(shí)過圓心，故不能取等號，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于，取的中點(diǎn)為，連接，，而，的取值范圍是，D選項(xiàng)正確．故選：ABD12．【答案】【詳解】由可得，，解得13．【答案】【詳解】易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示，其中，，且點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，由于，故，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則：，解得：，其表面積為：．14．【答案】【詳解】三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，，化簡得；，當(dāng)且僅當(dāng)，，取等；15．（13分）解（1）因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得．（2）由，得．因此．因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故的取值范圍是．16．（15分）解：（1）由題設(shè)知所以在方向上投影向量的坐標(biāo)為（2）因?yàn)?，所以．?）因?yàn)橄蛄颗c夾角為鈍角，且與不能共線所以，即，所以，解得．又與不能共線，若與反向共線，則．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是17．（15分）解（1）是等邊三角形，且是中點(diǎn)面，面面，面，且面面（2）；（公式1分，代入1分，結(jié)果1分）在中，，；取中點(diǎn)，在中，邊上的高為；；設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得，即點(diǎn)到平面的距離為．方法2：建系法解：（1）取的中點(diǎn)，則面，可知兩兩垂直，如圖以為軸，為軸，為軸；，，，；，，，（2），，，，設(shè)面的法向量為；設(shè)點(diǎn)到面的距離為；18．（17分）（1）（2）【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得：，又因?yàn)樗?，因?yàn)椋?，即，所以，即因?yàn)?，，所以，即；?）由（1）及余弦定理得因?yàn)?，在銳角中，，解得，所以，所以，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得，所以．19．（17分）（1）（2）證明見解析（3）在側(cè)棱存在點(diǎn)，使得平面，【詳解】（1）在正四棱錐中，，，則正四棱錐側(cè)面的高為，所以正四棱錐的表面積為；（2）如圖，連接交于點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅问钦叫危詾榈闹悬c(diǎn)，在正四棱錐中，，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，有又四邊形是正方形即為平面與平面所成的二面角的平面角又為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，且，易得所以平面與平面所成的二面角的余弦值為（3）在側(cè)棱上存在點(diǎn)，使得平面，滿足理由如下：取的中點(diǎn)，由，得，過作的平行線交于，連接，中，有，又平面，平面，所以平面，由，得，所以又平面，平面，所以平面，又，平面