第07講不等關(guān)系不等式的基本性質(zhì)不等式的解集（原卷版）

第07講不等關(guān)系、不等式的基本性質(zhì)、不等式的解集思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦1.不等式的定義2.列不等式3.不等式的基本性質(zhì)4.利用不等式的基本性質(zhì)解不等式5.不等式的解6.不等式的解集1.不等式的概念：一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式．特別說明：(1)不等號“＜”或“＞”表示不等關(guān)系，它們具有方向性，不等號的開口所對的數(shù)較大．(2)五種不等號的讀法及其意義：符號讀法意義“≠”讀作“不等于”它說明兩個量之間的關(guān)系是不相等的，但不能確定哪個大，哪個小“＜”讀作“小于”表示左邊的量比右邊的量小“＞”讀作“大于”表示左邊的量比右邊的量大“≤”讀作“小于或等于”即“不大于”，表示左邊的量不大于右邊的量“≥”讀作“大于或等于”即“不小于”，表示左邊的量不小于右邊的量(3)有些不等式中不含未知數(shù)，如3＜4，1＞2；有些不等式中含有未知數(shù)，如2x＞5中，x表示未知數(shù)，對于含有未知數(shù)的不等式，當(dāng)未知數(shù)取某些值時，不等式的左、右兩邊符合不等號所表示的大小關(guān)系，我們說不等式成立，否則，不等式不成立．2.不等式的基本性質(zhì)不等式的基本性質(zhì)1：不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．不等式的基本性質(zhì)2：不等式兩邊都乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．特別說明：不等式的基本性質(zhì)的掌握注意以下幾點(diǎn)：(1)不等式的基本性質(zhì)是對不等式變形的重要依據(jù)，是學(xué)習(xí)不等式的基礎(chǔ)，它與等式的兩條性質(zhì)既有聯(lián)系，又有區(qū)別，注意總結(jié)、比較、體會．(2)運(yùn)用不等式的性質(zhì)對不等式進(jìn)行變形時，要特別注意性質(zhì)2和性質(zhì)3的區(qū)別，在乘(或除以)同一個數(shù)時，必須先弄清這個數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，不等號的方向要改變．3.不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.4.不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個不等式的解集．注意：不等式的解是具體的未知數(shù)的值，不是一個范圍不等式的解集是一個集合，是一個范圍．其含義：①解集中的每一個數(shù)值都能使不等式成立；②能夠使不等式成立的所有數(shù)值都在解集中1.充分理解不等式的概念，特別注意的是用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式．2.不等式的基本性質(zhì)中，左右兩邊乘或除以不為0的數(shù).3.不等式的解與不等式的解集之間的區(qū)別與聯(lián)系.考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、不等式的定義例題：在下列數(shù)學(xué)表達(dá)式中，不等式的個數(shù)是（）①；②；③；④；⑤．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【解析】不等式有：①；②；④；⑤；所以共有4個．故選C．【變式訓(xùn)練】1．式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．下列式子：；；；；．其中是不等式的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個考點(diǎn)二、列不等式例題：將“x與3的和小于5”用不等式表示為．【答案】【解析】根據(jù)題意，得．故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．根據(jù)數(shù)量關(guān)系“x的2倍與y的差大于3”，列不等式：．2．據(jù)氣象臺報(bào)道．2023年2月14日鄭州市的最高氣溫為，最低氣溫為，則當(dāng)天氣溫的變化范圍是．考點(diǎn)三、不等式的基本性質(zhì)例題：下列不等式的變形正確的是（

）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由，得【答案】D【解析】A.當(dāng)時，，，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；

B.當(dāng)，，，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；C.當(dāng)，由，得，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；

D.由，得，故選項(xiàng)正確，符合題意．故選D．【變式訓(xùn)練】1．若，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B． C． D．2．下列說法錯誤的是（

）A．若，則 B．若，則C．若且，則 D．若，則考點(diǎn)四、利用不等式的基本性質(zhì)解不等式例題：根據(jù)不等式的性質(zhì)，把下列不等式化為“”或“”的形式（a為常數(shù)）．(1)；(2)．【解析】（1）不等式兩邊同時加得，，不等號兩邊同時除以5得，；（2）不等號兩邊同時乘以3得，，不等號兩邊同時減1得，，不等號兩邊同時除以得，．【變式訓(xùn)練】1．把下列各不等式化成“”或“”的形式．(1)；(2)；(3)；(4)．2．將下列不等式化成“”或“”的形式：(1)；(2)；(3)；(4)．考點(diǎn)五、不等式的解例題：下列各數(shù)，是不等式的解的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A、，所以3不是不等式的解，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，所以1不是不等式的解，故本選項(xiàng)不符合題意；C、，所以1不是不等式的解，故本選項(xiàng)不符合題意；D、，所以是不等式的解，故本選項(xiàng)符合題意；故選D．【變式訓(xùn)練】1．如果是某不等式的解，那么該不等式可以是（

）A． B． C． D．2．下列說法中，正確的是（

）A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集考點(diǎn)六、不等式的解集例題：下列說法錯誤的是（

）A．不等式的解集是3 B．3是不等式的解C．不等式的解集是 D．是不等式的解集【答案】A【解析】解∶A、3是不等式的解，但是不等式的解集不是3，故本選項(xiàng)錯誤，符合題意；B、3是不等式的解，說法正確，故本選項(xiàng)不符合題意；C、不等式的解集是，說法正確，故本選項(xiàng)不符合題意；D、是不等式的解集，說法正確，故本選項(xiàng)不符合題意．故選∶A．【變式訓(xùn)練】1．下列說法錯誤的是（

）A．不等式的解集是B．不等式的整數(shù)解有無數(shù)個C．不等式的整數(shù)解是0D．是不等式的一個解2．如果關(guān)于的不等式的解集為，則的值是（

）A． B． C． D．過關(guān)檢測一、選擇題1．已知，則下列不等式一定正確的是（）A． B． C． D．2．x與y的差為負(fù)數(shù)，用不等式表示為（

）A． B． C． D．3．給出下列數(shù)學(xué)式：①；②；③；④；⑤．其中不等式的個數(shù)是（

）A．5 B．4 C．3 D．14．下列判斷中，不正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則5．下列說法錯誤的是（）A．是不等式的解 B．是不等式的解C．的解集是 D．的解集就是、、二、填空題6．在，，，四個數(shù)中，是不等式的解．7．“x的倍與的和大于”用不等式表示．8．已知，試比較大?。海ㄌ睢啊被颉啊保?．有下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有個．10．已知關(guān)于x的不等式的解集為，則a的取值范圍為．三、解答題11．說出下列不等式的變形依據(jù)．(1)若，則；(2)若，則．12．判斷下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）52；（7）．13．用不等式表示：(1)0大于；(2)x減去y不大于；(3)a的倍與的和是非負(fù)數(shù)；(4)a的與b的平方的和為正數(shù)．14．將下列不等式化成“”或“”的形式．(1)；(2)．15．試寫出一個不等式，使它的解集滿足下列條件