第06講矩形（3大考點(diǎn)9種題型強(qiáng)化訓(xùn)練）（原卷版）

第06講矩形1.經(jīng)歷探索矩形的概念與性質(zhì)的過(guò)程，在直觀操作活動(dòng)和簡(jiǎn)單的說(shuō)理過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，主觀探索習(xí)慣，逐步掌握說(shuō)理的基本方法.2.知道解決矩形問(wèn)題的基本思想是化為三角形問(wèn)題來(lái)解決，滲透轉(zhuǎn)化思想.一．矩形的性質(zhì)（1）矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質(zhì)①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個(gè)角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對(duì)角線：矩形的對(duì)角線相等；⑤矩形是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．它有2條對(duì)稱軸，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線；對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)．（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．二．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形（或“對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）（2）①證明一個(gè)四邊形是矩形，若題設(shè)條件與這個(gè)四邊形的對(duì)角線有關(guān)，通常證這個(gè)四邊形的對(duì)角線相等．②題設(shè)中出現(xiàn)多個(gè)直角或垂直時(shí)，常采用“三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”來(lái)判定矩形．三．矩形的判定與性質(zhì)（1）關(guān)于矩形，應(yīng)從平行四邊形的內(nèi)角的變化上認(rèn)識(shí)其特殊性：一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形，進(jìn)一步研究其特有的性質(zhì)：是軸對(duì)稱圖形、內(nèi)角都是直角、對(duì)角線相等．同時(shí)平行四邊形的性質(zhì)矩形也都具有．在處理許多幾何問(wèn)題中，若能靈活運(yùn)用矩形的這些性質(zhì)，則可以簡(jiǎn)捷地解決與角、線段等有關(guān)的問(wèn)題．（2）下面的結(jié)論對(duì)于證題也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③點(diǎn)O到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等．題型一：利用矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)一、填空題1．（2023下·江蘇南京·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，對(duì)角線的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，垂足為，則的長(zhǎng)為．

2．（2023下·江蘇·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，F(xiàn)是邊上的一點(diǎn)，，E是邊的中點(diǎn)，平分，則的長(zhǎng)是．

二、解答題3．（2022下·江蘇連云港·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，點(diǎn)E在上，平分．

(1)是否為等腰三角形？為什么？(2)若，，求長(zhǎng)．4．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，點(diǎn)E在上，且平分．

(1)判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(2)若，，求的長(zhǎng)．題型二：利用矩形的性質(zhì)求角度一、填空題1．（2023下·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，將矩形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形的位置，旋轉(zhuǎn)角為，若，則．

2．（2023下·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在線段上，且，若，則．

3．（2023下·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，把矩形繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到矩形，使點(diǎn)落在對(duì)角線上，連接，若，則°．

二、解答題4．（2023下·江蘇蘇州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．連接．(1)求證：；(2)當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，若，求的度數(shù)．題型三：利用矩形的性質(zhì)證明一、解答題1．（2023下·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，E、F分別為邊和上的點(diǎn)，．

(1)求證：；(2)求證：四邊形是平行四邊形．2．（2023下·江蘇淮安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在矩形中，為上兩點(diǎn)，且．求證：．3．（2023下·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，，E為的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)E作的垂線交于點(diǎn)F，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接．

(1)求證：；(2)求的長(zhǎng)．題型四：利用矩形的性質(zhì)求面積一、單選題1．（2023下·江蘇南京·八年級(jí)校考階段練習(xí)）矩形中，為上任一點(diǎn)，連接，，為中線，為上一點(diǎn)，且，，交于點(diǎn)．若矩形的面積為12，則四邊形的面積為（

）

A．2.5 B．5 C． D．以上答案都不正確二、填空題2．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)統(tǒng)考期中）小明同學(xué)在數(shù)學(xué)興趣活動(dòng)課上用圖1的“七巧板”，設(shè)計(jì)拼成了圖2的飛船，則飛船模型面積與矩形框的面積之比為．三、解答題3．（2023下·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，連接，為線段的中點(diǎn)，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，求四邊形的面積．4．（2023下·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在矩形中，點(diǎn)E在邊上，將此矩形沿折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，連接，B、F、E三點(diǎn)恰好在一直線上．(1)求證：為等腰三角形；(2)若，，求矩形的面積．題型五：利用矩形的定義判定矩形1．（2022下·遼寧盤錦·八年級(jí)校考期中）如圖，在中，于點(diǎn)E，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得，連接、．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，，求的長(zhǎng)．題型六：利用對(duì)角線特征判定矩形1．（2023下·江蘇鹽城·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知：如圖，平行四邊形，延長(zhǎng)邊到點(diǎn)E，使，連接、和，設(shè)交于點(diǎn)O，

(1)求證：四邊形是平行四邊形(2)試證明當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形．題型七：利用三個(gè)角是直角判定矩形1．（2023上·廣東佛山·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，菱形中的對(duì)角線相交于點(diǎn)，，．求證：四邊形是矩形．

題型八：折疊問(wèn)題一、解答題1．（2023下·江蘇常州·八年級(jí)校考期中）如圖①，在矩形中，已知，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿線段向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接，把沿著翻折得到．

(1)如圖②，射線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．試求此時(shí)t的值．(2)當(dāng)射線與邊交于點(diǎn)Q時(shí)，是否存在這樣的t的值，使得？若存在，請(qǐng)求出所有符合題意的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2023下·江蘇南京·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，將沿折疊后得到，且點(diǎn)在四邊形內(nèi)部，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：；(2)若點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．（保留根號(hào)，無(wú)需化簡(jiǎn)）3．（2023下·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1，在矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，將沿著直線折疊，得到．

(1)請(qǐng)?jiān)趫D2上僅用圓規(guī)，在邊上作出一點(diǎn)P，使P、E、C三點(diǎn)在一直線上（不寫作法，保留作圖痕跡），此時(shí)的長(zhǎng)為_(kāi)____；(2)請(qǐng)?jiān)趫D3上用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)，在邊上作出一點(diǎn)P，使平分（不寫作法，保留作圖痕跡），此時(shí)的面積為_(kāi)____．4．（2023下·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)O于坐標(biāo)原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上，，將矩形沿折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合．(1)求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P從O出發(fā)，沿折線方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)終點(diǎn)E時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．(3)在（2）的條件下，當(dāng)P在線段上，且時(shí)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P、E、G、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．5．（2023下·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，將沿直線翻折，得到．

(1)當(dāng)平分時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)連接，當(dāng)時(shí)，求的面積．題型九：矩形的性質(zhì)與判定綜合一、解答題1．（2023下·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，其中AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于點(diǎn)E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠OAE＝15°，①求證：DA＝DO＝DE；②直接寫出∠DOE的度數(shù)．2．（2022下·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、AD上動(dòng)點(diǎn)，且，連接AE、CF．(1)試判斷四邊形AECF的形狀，并說(shuō)明理由；(2)連接AC，若，，E為BC中點(diǎn)，試求四邊形AECF的面積．3．（2023下·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖在矩形中，，，點(diǎn)P，Q分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)E是折線段上一點(diǎn)（含端點(diǎn)）．沿所在直線折疊矩形，已知點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，若點(diǎn)恰好落在矩形的邊上，求出的長(zhǎng)；

4．（2023下·江蘇蘇州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，．延長(zhǎng)到E，使，連接，由直角三角形的性質(zhì)可知．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

(1)當(dāng)時(shí)，___________；(2)當(dāng)___________時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到的角平分線上；(3)請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示的面積S．5．（2022下·江蘇鹽城·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，DE平分∠ADC交BC于點(diǎn)E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面積．一．選擇題（共8小題）1．（2023春?宜興市月考）如圖，要使平行四邊形成為矩形，需要添加的條件是A． B． C． D．2．（2023春?如東縣期中）如圖，在矩形中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的長(zhǎng)是A．3 B． C． D．43．（2023春?江都區(qū)月考）如圖，是矩形的邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，矩形的兩條邊、的長(zhǎng)分別為3和4，那么點(diǎn)到矩形的兩條對(duì)角線和的距離之和是A． B． C． D．4．（2023春?惠山區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形，，點(diǎn)為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為A．1 B．1.5 C．2 D．2.45．（2023春?崇川區(qū)校級(jí)月考）如圖，要使平行四邊形成為矩形，需添加的條件是A． B． C． D．6．（2023春?鹽城期中）下列性質(zhì)中，矩形不一定具有的是A． B． C． D．7．（2023秋?盱眙縣校級(jí)月考）如圖，在矩形中，，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，垂足為，若，則的長(zhǎng)是A． B． C． D．8．（2023春?高郵市月考）如圖，在中，，，，為邊上一動(dòng)點(diǎn)不與、重合），于，于，為中點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．二．填空題（共10小題）9．（2023春?鹽城期中）矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，如圖，已知，，則為．10．（2023春?姑蘇區(qū)校級(jí)期中）如圖，矩形紙片中，，為上一點(diǎn)，平分，，則的長(zhǎng)為．11．（2023春?新吳區(qū)期末）平行四邊形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)，要使平行四邊形是矩形請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件．12．（2023春?啟東市期中）如圖，在矩形中，，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，，，為垂足，連接．若，，，則的最小值是．13．（2023春?秦淮區(qū)期末）如圖，在矩形中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的長(zhǎng)是．14．（2023春?東臺(tái)市月考）如圖，在矩形中，、交于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，則．15．（2023春?玄武區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)同時(shí)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng)，若，，則經(jīng)過(guò)秒后，四邊形是矩形．16．（2023春?鹽城期末）如圖，過(guò)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)分別作對(duì)角線、的平行線，如所圍成的四邊形是矩形，則原四邊形需滿足的條件是．（只需寫出一個(gè)符合要求的條件）17．（2023春?宿遷期末）如圖，矩形中，，，點(diǎn)為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，則線段長(zhǎng)的最小值為．18．（2023春?海安市期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)是腰長(zhǎng)為15的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．三．解答題（共8小題）19．（2023春?江寧區(qū)月考）如圖，在中，平分，交于點(diǎn)，平分，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求證：四邊形是矩形．20．（2023春?金壇區(qū)期中）如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）連接，．如果是的中點(diǎn)，那么當(dāng)與滿足什么條件時(shí)，四邊形是矩形？證明你的結(jié)論．21．（2023春?淮安區(qū)期中）如圖，四邊形是矩形，，，點(diǎn)、分別在、上，且，連接、．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，求的長(zhǎng)度．22．（2023春?海州區(qū)期末）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，且四邊形是矩形時(shí)，求的度數(shù)．23．（2023春?句容市期末）如圖，平行四邊形的對(duì)角線、交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)．連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）當(dāng)滿足什么條件時(shí)，四邊形為矩形，證明你的結(jié)論．24．（2023春?江都區(qū)期末）已知，如圖，在中，，是邊的中線，過(guò)點(diǎn)作的平行線，過(guò)點(diǎn)作的平行線，兩線交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，