浙江省杭州市（含周邊）重點中學2023-2024學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題

絕密★考試結(jié)束前2023學年第二學期期中杭州地區(qū)（含周邊）重點中學高二年級數(shù)學學科試題命題：蕭山中學王建國、沈建剛審校：臨平中學（余高）盛立忠縉云中學潛艷蕾考生須知：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字；3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷。第I卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在中，三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則（）A. B. C. D.12.已知，，則（）A. B. C. D.3.直線關(guān)于軸對稱的直線的方程為（）A. B.C. D.4.降雨量是指從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲透、流失而在水平面上積聚的水層深度，一般以毫米為單位，它可以直觀地表示降雨的多少，目前，測定降雨量常用的儀器有雨量筒和量杯.測量時，將雨量筒中的雨水倒在量杯中，根據(jù)杯上的刻度就可知道當天的降雨量.某興趣小組同學為測量降水量，自制了一種圓臺形的雨量器（如圖）.某次降水，這種容器收集到的雨水高度為150mm，則該次降水的降雨量最接近（）A.60mm B.65mm C.70mm D.75mm5.的展開式中的常數(shù)項是（）A.7 B.7 C.28 D.286.若函數(shù)有兩個零點，則（）A. B. C. D.或7.將雙曲線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)45°后，能得到反比例函數(shù)的圖象（其漸近線分別為軸和軸），所以我們也稱反比例函數(shù)的圖象為雙曲線.同樣“對勾函數(shù)”也能由雙曲線的圖象繞原點旋轉(zhuǎn)得到，則此“對勾函數(shù)”所對應的雙曲線的實軸長為（）A. B.4 C. D.8.記由0，1，2，3，4五個數(shù)字組成的五位數(shù)為.則滿足“對任意，必存在，使”的五位數(shù)的個數(shù)為（）A.120 B.160 C.164 D.172二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.下列命題是真命題的是（）A.對向量，，若，則或B.對復數(shù)，，若，則或C.對向量，，若，則D.對復數(shù)，，若，則10.設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，若，且，，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.數(shù)列無最大值 D.是數(shù)列中的最大值11.設拋物線焦點為，，是拋物線上兩點，下列選項中是“直線經(jīng)過焦點”的必要不充分條件的是（）A. B.C. D.第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為____________.13.在空間直角坐標系中，O為坐標原點，若，，，則點到平面的距離為____________.14.已知數(shù)列滿足，，則____________，___________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.（本題滿分13分）如圖，在平面四邊形中，，，為的平分線，且.（I）求線段的長；（Ⅱ）求的面積.16.（本題滿分15分）已知函數(shù).（I）當時，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.17.（本題滿分15分）如圖，四棱錐中，平面平面，是邊長為2的等邊三角形，底面是矩形，且.（I）若點是的中點，（i）求證：平面；（ii）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅱ）在線段上是否存在一點，使二面角的大小為.若存在，求的值；若不存在，請說明理由.18.（本題滿分17分）已知拋物線：，點為拋物線外一點（如圖），過點D作的兩條切線，切點分別為A，B.（I）求證：直線的方程為；（Ⅱ）若在直線上，以為圓心的圓與直線相切，且切點為線段的中點，求該圓的方程.19.（本題滿分17分）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有1個黑球和2個白球.設從甲、乙兩個口袋中各任取一個球交換放入另一個口袋為一次操作，經(jīng)過次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為.（I）寫出的分布列并計算；（Ⅱ）某人重復進行了100次操作，記，，求該數(shù)列的前100項和的最大值；（Ⅲ）定性分析當交換次數(shù)趨向于無窮時，趨向的值.（簡要說明你的理由）

2023學年第二學期期中杭州地區(qū)（含周邊）重點中學高二年級數(shù)學學科參考答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.12345678CABBADDC二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，其中第9題每選對1個得3分，第10、11題每選對1個得2分.91011BCABDACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.13.14.0，2023（第一空2分，第二空3分）四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（本題滿分13分）解：（Ⅰ）在中，由，得，有正弦定理或余弦定理得（Ⅱ）因為為的平分線，所以，在直角中，得，所以.16.（本題滿分15分）解：（Ⅰ）當時，，，所以，，曲線在處的切線方程為（Ⅱ）要使恒成立，則需成立.，當時，，所以在遞增，而，不合題意；當時，恒成立，符合題意；當時，令得，則在遞減，在遞增，所以，解得綜上所述，.分17.（本題滿分15分）（Ⅰ）（?。┻B交于點O，連，因為G、O分別為，中點，所以平面（ⅱ）以中點H為坐標原點建立空間直角坐標系如圖所示，則，，，，，取平面的一個法向量為，設直線與平面所成的角為，則.（Ⅱ）若存在滿足條件，設，則，，，設平面的一個法向量為，由，，取，得，取平面的一個法向量，由題意得，所以當時滿足條件.18.（本題滿分17分）解：（Ⅰ）設，，由得，所以在處的切線方程為，同理在處的切線方程為.兩條切線都過，所以，，顯然A，B兩點都在直線上，所以直線的方程為.（Ⅱ）若在直線上，則直線的方程為，即直線過定點，不妨設直線的方程.由，可得.于是，.設為線段的中點，則，由于，而，與向量平行，∴，解得或.當時，，所求圓的方程為；當時，，所求圓的方程為.19.（本題滿分17分）解：（Ⅰ）的取值為1，2，3，又，，，