河南省許昌市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)

XCS2023—2024學(xué)年第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測高二數(shù)學(xué)注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單項選擇題：本題共8小題.每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知為等差數(shù)列，為其前n項和.若，公差，則m值為（）A.4 B.5 C.6 D.72.已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則（）A.1 B.2 C.4 D.83.在一次闖關(guān)游戲中，小明闖過第一關(guān)的概率為，連續(xù)闖過前兩關(guān)的概率為.事件表示小明第一關(guān)闖關(guān)成功，事件表示小明第二關(guān)闖關(guān)成功，則（）A. B. C. D.4.已知三個正態(tài)密度函數(shù)（，）的圖像如圖所示，則（）A.， B.，C.， D.，5.已知平面上兩點M（5，0）和N（5，0），若直線上存在點P使|PM||PN|=6，則稱該直線為“單曲型直線”，下列直線中是“單曲型直線”的是①；②y=2；③；④.A.①③ B.③④ C.②③ D.①②6.一圓形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共有6個座位.現(xiàn)讓3個大人和3個小孩入座進餐，要求任何兩個小孩都不能坐在一起，則不同入座方法總數(shù)為（）A.6 B.12 C.72 D.1447.幾何學(xué)史上有一個著名的米勒問題：“設(shè)點是銳角的一邊上的兩點，試著在邊上找一點，使得最大”.如圖，其結(jié)論是：點為過兩點且和射線相切的圓的切點.根據(jù)以上結(jié)論解決以下問題：在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點，點在軸上移動，當(dāng)取得最大值時，該圓的方程是（）A.BC.D.8.已知函數(shù)有三個零點，則實數(shù)取值范圍是（）A. B. C. D.二.多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個小題給出的四個選項中，有多個符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得如圖所示的散點圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的關(guān)系，正確的有（）A. B. C. D.10.下列命題中，正確的命題的序號為（）A.已知隨機變量服從二項分布，若，則B.將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后，方差恒不變C.設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，若，則D.某人在10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為，則當(dāng)時概率最大11.若正方體的棱長為1，且，其中，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時，三棱錐的體積為定值B.當(dāng)時，三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時，的最小值為D.若，點P的軌跡為一段圓弧三.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，且，則的方差為________．13.已知，則__________.14.現(xiàn)有n（，）個相同的袋子，里面均裝有n個除顏色外其他無區(qū)別的小球，第k（，2，3，…，n）個袋中有k個紅球，個白球.現(xiàn)將這些袋子混合后，任選其中一個袋子，并且從中連續(xù)取出四個球（每個取后不放回），若第四次取出的球為白球的概率是，則______.四.解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項和滿足，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.16.將氫儲存在甲基環(huán)乙烷和甲苯等有機液體中是儲氫和運輸氫的重要方向.2023年12月俄羅斯科學(xué)院西伯利亞分院科研人員用鎳和錫取代鉑，研發(fā)出一種新型高效的脫氫催化劑，脫氫效率達99.9%，且對儲氫載體沒有破壞作用，可重復(fù)使用.近年來，我國氫能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展，下表是某市氫能源乘用車的年銷售量與年份的統(tǒng)計表：年份20182019202020212022年份編號x12345銷量y(萬臺)23.52.589（1）求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并預(yù)測2024年氫能源乘用車的銷量；（2）為了研究不同性別的學(xué)生對氫能源的了解情況，某校組織了一次有關(guān)氫能源的知識競賽活動，隨機抽取了男生和女生各60名，得到如表所示的數(shù)據(jù)：了解不了解合計男生25女生20合計（i）根據(jù)已知條件，填寫上述2×2列聯(lián)表；（ii）依據(jù)α=0.01的獨立性檢驗，能否認(rèn)為該校學(xué)生對氫能源的了解情況與性別有關(guān)?參考公式：1.回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為2.α0.0500.0100.001xα38416.63510.82817.如圖，斜三棱柱的底面是直角三角形，，點在底面ABC內(nèi)的射影恰好是BC的中點，且.（1）求證:平面平面;（2）若斜棱柱的高為，求平面與平面夾角的余弦值.18.函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個極值點，，曲線上兩點，連線斜率記為，求證：.19.已知是拋物線上任意一點，且到的焦點的最短距離為.直線與交于兩點，與拋物線交于兩點，其中點在第一象限，點在第四象限.（1）求拋物線的方程.（2）證明：（3）設(shè)的面積分別為，其中為坐標(biāo)原點，若，求.XCS2023—2024學(xué)年第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測高二數(shù)學(xué)注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單項選擇題：本題共8小題.每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知為等差數(shù)列，為其前n項和.若，公差，則m的值為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項公式求出和的關(guān)系，代入計算可得m的值.【詳解】由已知，得，又，又，所以，解得或（舍去）故選：B.2.已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】寫出拋物線的準(zhǔn)線方程，由圓的方程得圓心和半徑，由已知得圓心到準(zhǔn)線的距離為半徑，從而求出.【詳解】因為，所以拋物線準(zhǔn)線為又，所以圓心坐標(biāo)，半徑為2由已知得：圓心到準(zhǔn)線的距離為半徑，則，所以故選：C.3.在一次闖關(guān)游戲中，小明闖過第一關(guān)的概率為，連續(xù)闖過前兩關(guān)的概率為.事件表示小明第一關(guān)闖關(guān)成功，事件表示小明第二關(guān)闖關(guān)成功，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式求解即可.【詳解】依題意，則，故選：C.4.已知三個正態(tài)密度函數(shù)（，）的圖像如圖所示，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】由正態(tài)分布的圖像中對稱軸位置比較均值大小，圖像胖瘦判斷標(biāo)準(zhǔn)差的大小.【詳解】由題圖中的對稱軸知：，與(一樣)瘦高，而胖矮，所以.故選：C5.已知平面上兩點M（5，0）和N（5，0），若直線上存在點P使|PM||PN|=6，則稱該直線為“單曲型直線”，下列直線中是“單曲型直線”的是①；②y=2；③；④.A.①③ B.③④ C.②③ D.①②【答案】D【解析】【詳解】試題分析：∵|PM||PN|=6∴點P在以M、N為焦點的雙曲線的右支上，即（x＞0）.對于①，聯(lián)立消y得7x218x153=0，∵△=（18）24×7×（153）＞0，∴y=x+1是“單曲型直線”．對于②，聯(lián)立消y得x2=，∴y=2是“單曲型直線”．對于③，聯(lián)立整理得144=0，不成立．∴不是“單曲型直線”．對于④，聯(lián)立消y得20x2+36x+153=0，∵△=3624×20×153＜0∴y=2x+1不是“單曲型直線”．故符合題意的有①②．故選D考點：本題考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系點評：聯(lián)立方程利用一元二次方程處理直線與雙曲線交點問題是常用方法，屬基礎(chǔ)題6.一圓形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共有6個座位.現(xiàn)讓3個大人和3個小孩入座進餐，要求任何兩個小孩都不能坐在一起，則不同的入座方法總數(shù)為（）A.6 B.12 C.72 D.144【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，將圓形餐桌看成一排，結(jié)合條件可分為大，小，大，小，大，小或者小，大，小，大，小，大兩種類型，結(jié)合排列數(shù)代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可知，任何兩個小孩都不能坐在一起，則任何兩個大人也不能坐在一起，不妨看作大，小，大，小，大，小或者小，大，小，大，小，大兩種類型，三個大人的入座方法有種，三個小孩的入座方法有種，則不同的入座方法總數(shù)為種.故選：C7.幾何學(xué)史上有一個著名的米勒問題：“設(shè)點是銳角的一邊上的兩點，試著在邊上找一點，使得最大”.如圖，其結(jié)論是：點為過兩點且和射線相切的圓的切點.根據(jù)以上結(jié)論解決以下問題：在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點，點在軸上移動，當(dāng)取得最大值時，該圓的方程是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先求出線段的垂直平分線，依題意圓的圓心在直線上，故設(shè)該圓圓心為，又因為該圓與軸相切，所以圓的半徑，根據(jù)，得到方程求出的值，即可得解.【詳解】由題意可知，點為過兩點且和軸相切的圓的切點，線段中點坐標(biāo)為，又，所以線段的垂直平分線方程為，所以以為弦的圓的圓心在直線上，故設(shè)該圓圓心為，又因為該圓與軸相切，所以圓的半徑，又，所以，解得或，當(dāng)時，是鈍角，故舍去.所以此時圓的方程為.故選：C8.已知函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為方程有三個根，令（），分析的單調(diào)性，作出的圖像，結(jié)合函數(shù)圖像可得答案【詳解】解：因為函數(shù)有三個零點，所以方程有三個根，即方程有三個根，令（），當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時，取得極大值，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，所以在上遞減，所以的大致圖像如圖所示，由圖像可得當(dāng)時，直線與的圖像有三個交點，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：D二.多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個小題給出的四個選項中，有多個符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得如圖所示的散點圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的關(guān)系，正確的有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)散點圖的分布，以及散點圖是否在一條直線附近，即可判斷相關(guān)系數(shù).【詳解】由圖形特征可知都是負相關(guān)，都是負數(shù)，比的相關(guān)系數(shù)更強，所以，，都是正相關(guān)，比的相關(guān)系數(shù)更強，所以，所以AC正確.故選：AC10.下列命題中，正確的命題的序號為（）A.已知隨機變量服從二項分布，若，則B.將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后，方差恒不變C.設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，若，則D.某人在10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為，則當(dāng)時概率最大【答案】BCD【解析】【分析】由二項分布的均值與方差公式計算判斷選項A，由方差的性質(zhì)判斷選項B，由正態(tài)分布的對稱性判斷選項C，由二項分布的概率公式列不等式組求解后判斷選項D．【詳解】對于A，，解得，A錯誤；對于B，方差反映的是數(shù)據(jù)與均值的偏移程度，因此每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后，每個新數(shù)據(jù)與新均值的偏移不變，方差恒不變，B正確；對于C，服從正態(tài)分布，，C正確；對于D，，則，由，解得，所以．D正確．故選：BCD．11.若正方體的棱長為1，且，其中，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時，三棱錐的體積為定值B.當(dāng)時，三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時，的最小值為D.若，點P的軌跡為一段圓弧【答案】AC【解析】【分析】當(dāng)時，可得點P的軌跡，根據(jù)線面平行的判定定理及性質(zhì)，可得P到平面的距離不變，即可判斷A的正誤；當(dāng)時，可得點P的軌跡，利用反證法可證，P到平面的距離在變化，即可判斷B的正誤；當(dāng)時，可得三點共線，利用翻折法，可判斷C的正誤；如圖建系，求得各點坐標(biāo)，分別求得和的余弦值，列出方程，計算分析，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】因為，其中，所以點P在平面內(nèi)運動，對于A：取AD中點E、中點F，連接EF，所以，因為平面，平面，所以平面，當(dāng)時，則，所以點P在線段EF上運動，因為平面，所以無論點P在EF任何位置，P到平面的距離不變，即高不變，所以三棱錐的體積為定值，故A正確；對于B：取中點G，中點H，連接GH，當(dāng)時，，所以點P在GH上運動，假設(shè)平面，又，平面，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，與已知矛盾，故假設(shè)不成立，所以GH不平行平面，所以P在GH上運動時，P到平面的距離在變化，所以三棱錐的體積不是定值，故B錯誤；對于C：連接，，，當(dāng)時，可得三點共線，將沿翻折至與平面共面，如下圖所示連接AB，當(dāng)P為AB與交點時，最小，即為AB，因為均為面對角線，所以，即為等邊三角形，又，，所以，，所以在中，由正弦定理得，所以，故C正確；對于D：分別以DA、DC、為x，y，z軸正方向建系，如圖所示，則，設(shè)，所以，所以因為平面，平面，所以，又，所以，所以，整理得，所以，即，所以P點軌跡為線段，故D錯誤故選：AC【點睛】解題關(guān)鍵是熟練掌握線面平行判定與性質(zhì)，向量共線、數(shù)量積求夾角等知識，綜合性較強，難度較大，考查學(xué)生分析理解，計算求值的能力，屬難題.三.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，且，則的方差為________．【答案】.【解析】【分析】結(jié)合二項分布的方差的計算公式求出，進而根據(jù)方差的性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，且則，因此的方差為，故答案為：.13已知，則__________.【答案】【解析】【分析】直接利用二項式展開式的通項公式進行運算求解即可.【詳解】因為是的系數(shù)，所以.故答案為：.14.現(xiàn)有n（，）個相同的袋子，里面均裝有n個除顏色外其他無區(qū)別的小球，第k（，2，3，…，n）個袋中有k個紅球，個白球.現(xiàn)將這些袋子混合后，任選其中一個袋子，并且從中連續(xù)取出四個球（每個取后不放回），若第四次取出的球為白球的概率是，則______.【答案】9【解析】【分析】根據(jù)古典概型性質(zhì)，先計算出某一情況下取球方法數(shù)的總數(shù)，在列舉出第三次取球為白球的情形以及對應(yīng)的取法數(shù)，根據(jù)古典概型計算概率，最后逐一將所有情況累加即可得出總概率，最后即可得到答案.【詳解】設(shè)選出的是第k個袋，連續(xù)四次取球的方法數(shù)為，第四次取出的是白球的取法有如下四種情形：4白，取法數(shù)為：，1紅3白，取法數(shù)為：，2紅2白，取法數(shù)為：，3紅1白：取法數(shù)為：，所以第四次取出的是白球的總情形數(shù)為：，則在第k個袋子中取出的是白球的概率為：，因為選取第k個袋的概率為，故任選袋子取第四個球是白球的概率為：，當(dāng)時，.故答案為：．【點睛】思路點睛：本題為無放回型概率問題，根據(jù)題意首先分類討論不同k值情況下的抽取總數(shù)(可直接用k值表示一般情況)，再列出符合題意得情況(此處涉及排列組合中先分類再分組得思想)，最后即可計算得出含k的概率一般式，累加即可，累加過程中注意式中n與k的關(guān)系可簡化累加步驟.四.解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項和滿足，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由即可求解的通項公式，又根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可求解數(shù)列的通項公式；（2）由，從而根據(jù)裂項相消求和法及分組求和法即可求解.【小問1詳解】解：因為，所以，當(dāng)時，，由于滿足，所以的通項公式為，因為數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，，所以，所以；【小問2詳解】解：因為，所以.16.將氫儲存在甲基環(huán)乙烷和甲苯等有機液體中是儲氫和運輸氫的重要方向.2023年12月俄羅斯科學(xué)院西伯利亞分院科研人員用鎳和錫取代鉑，研發(fā)出一種新型高效的脫氫催化劑，脫氫效率達99.9%，且對儲氫載體沒有破壞作用，可重復(fù)使用.近年來，我國氫能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展，下表是某市氫能源乘用車的年銷售量與年份的統(tǒng)計表：年份20182019202020212022年份編號x12345銷量y(萬臺)23.52.589（1）求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并預(yù)測2024年氫能源乘用車的銷量；（2）為了研究不同性別的學(xué)生對氫能源的了解情況，某校組織了一次有關(guān)氫能源的知識競賽活動，隨機抽取了男生和女生各60名，得到如表所示的數(shù)據(jù)：了解不了解合計男生25女生20合計（i）根據(jù)已知條件，填寫上述2×2列聯(lián)表；（ii）依據(jù)α=0.01的獨立性檢驗，能否認(rèn)為該校學(xué)生對氫能源的了解情況與性別有關(guān)?參考公式：1.回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為2.α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828【答案】（1），可以預(yù)測2024年氫能源乘用車的銷量約為12.4萬臺（2）（?。┝新?lián)表見解析；（ⅱ）該校學(xué)生對氫能源的了解情況與性別有關(guān)【解析】【分析】（1）利用已知可求得，，求得回歸直線方程，可求2024年氫能源乘用車的銷量的預(yù)測值；（2）補全的列聯(lián)表，計算可得結(jié)論.【小問1詳解】年份編號的平均數(shù)，銷量的平均數(shù)，所以，又所以，于，所以關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，又因為年份2024對應(yīng)的編號為7，所以，故可以預(yù)測2024年氫能源乘用車的銷量約為12.4萬臺．【小問2詳解】（ⅰ）根據(jù)男生和女生各60名，補全列聯(lián)表為：

了解不了解合計男生352560女生204060合計5565120（ⅱ）零假設(shè)：該校學(xué)生對氫能源的了解情況與性別無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得：，依據(jù)的獨立性檢驗，可以推斷不成立，即該校學(xué)生對氫能源的了解情況與性別有關(guān).17.如圖，斜三棱柱的底面是直角三角形，，點在底面ABC內(nèi)的射影恰好是BC的中點，且.（1）求證:平面平面;（2）若斜棱柱的高為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）BC中點為，連接，由且，證得平面，可證平面平面.（2）以為坐標(biāo)原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，向量法求兩個平面夾角的余弦值.【小問1詳解】取BC中點為，連接，在底面內(nèi)的射影恰好是BC中點，平面ABC，又平面，，又，，平面，，平面，又平面，平面平面.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點，分別為軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，斜棱柱的高為，，，設(shè)