75正態(tài)分布教學設計-2023-2024學年高二下學期數學人教A版選擇性

教學設計授課教師姓名名稱7.5正態(tài)分布知識點來源□學科：數學□年級：高二□教材版本：人教A版□所屬章節(jié)：選修第三冊第七章隨機變量的分布錄制工具和方法用“蘆筍”錄屏軟件錄課，再用“剪映”剪輯并加字幕。設計思路學生已經學過頻率分布直方圖，連續(xù)型隨機變量的定義和總體密度曲線，那么，讓學生體驗“正態(tài)分布曲線”的生成和發(fā)現(xiàn)歷程是很重要的。為了達到這一目的，大部分教學設計主要采用兩種情境引入的方式。一種是給出某一個例子的頻率分布折線圖，然后從理論上分析，隨著樣本量增大，作圖時組距減小，折線圖越來越接近于一條光滑的曲線；另一種是通過高爾頓板試驗，讓學生發(fā)現(xiàn)下落的小球在槽中的分布是有規(guī)律的，然后繪制頻率分布折線圖，近似為一條曲線。遺憾的是，這兩種方式都沒有將離散到連續(xù)的極限化過程展示出來，也沒有提到二項分布和正態(tài)分布的聯(lián)系。事實上，正態(tài)分布密度函數就是從二項概率推導出來的，二項分布的極限就是正態(tài)分布。如果把離散型的二項分布到連續(xù)型的正態(tài)分布的極限化過程展示出來，學生就能很好的感受正態(tài)分布曲線的生成和發(fā)現(xiàn)歷程了。本節(jié)課先介紹與正態(tài)曲線相關的人文知識，然后演示高爾頓板試驗，讓學生觀察小球在球槽中的分布規(guī)律，并從理論上證明小球的分布是二項分布；接下來用Geogebra展示二項分布的頻率分布直方圖、折線圖到正態(tài)密度曲線的極限化過程，了解正態(tài)密度曲線的來源；進一步再用Geogebra繼續(xù)探究正態(tài)曲線的特點和性質；最后再用Geogebra，從數與形上介紹“3σ”原則的內容，便于學生接受和理解。教學設計內容教學目的通過高爾頓板試驗，體驗“正態(tài)分布曲線”的生成和發(fā)現(xiàn)歷程，理解正態(tài)分布密度函數的定義；借助Geogebra軟件，分析正態(tài)分布的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的特點和性質；通過二項分布的頻率分布直方圖、折線圖到正態(tài)曲線的過程，體驗從有限到無限的思想；通過從圖像探索正態(tài)密度函數性質的過程，提高用類比，數形結合等思想分析解決問題的能力。教學重點難點重點：二項分布到正態(tài)分布的極限化過程；正態(tài)分布密度函數解析式；正態(tài)曲線的特點及其所表示的意義。難點：通過正態(tài)分布的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質。教學過程情境導入講解：正態(tài)分布是應用最廣泛的一種連續(xù)型分布。棣莫弗（DeMoivre,16671754）最早發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布的密度形式，而后在十九世紀前葉由高斯（CarlFriedrichGauss,17771855）加以推廣,所以正態(tài)分布通常又稱為高斯分布。屏幕上展示的就是德國紙幣和紀念幣上的高斯頭像和正態(tài)分布曲線。棣莫弗是在二項概率的計算中發(fā)現(xiàn)正態(tài)分布的密度形式的，那么，二項分布和正態(tài)分布有什么關系呢？（設計意圖：介紹與正態(tài)分布相關的人文知識。）高爾頓板試驗講解：在一塊板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆的水平位置恰好位于下一層的兩顆正中間。自上端放入一小球，任其自由下落，在下落過程中當小球遇到釘子時，從左邊落下和從右邊落下的機會相等，碰到下一排釘子時又是如此，最后小球落入底板中的某一凹槽。隨著試驗次數的增加，掉入各個球槽內的小球個數越來越多，下落的小球在槽中的分布有何規(guī)律？【活動】PPT展示高爾頓試驗的動圖。講解：可以看到，小球在槽中呈現(xiàn)出中間高，兩邊低的分布?？梢宰C明，落在各個球槽內小球的分布是二項分布N(n,0.5)。這里不詳細展開，同學們可以暫停視頻，自己思考一下，用排列組合的相關知識給出解釋?！净顒印繉W生自主思考為何小球的分布服從二項分布。（設計意圖：通過高爾頓板試驗，增強趣味性，激發(fā)學生的學習熱情。同時，也是對二項分布、排列組合相關知識的復習，增強學生綜合性思維能力。）從頻率分布直方圖到總體密度曲線講解：從高爾頓試驗中我們可以猜測，二項分布的極限近似為一條曲線，那是否真的如此呢。我們以小球的編號為橫坐標，以小球落入各個球槽內的頻率與組距的比值為縱坐標，可以畫出頻率分布直方圖。【問題1】當試驗重復次數（樣本容量）不斷增大，分組的組距不斷縮小時，二項分布的頻率分布直方圖的輪廓有什么特點？【活動】利用Geogebra觀察二項分布趨近正態(tài)分布的過程?；顒渔溄樱褐v解：這是n=10,p=0.5的二項分布的頻率分布直方圖和折線圖。現(xiàn)在拖動滑塊，讓n增大，可以看到，折線圖越來越光滑，當n=100時，已經非常光滑了，這條曲線和正態(tài)分布的密度曲線幾近重合。如果p不等于0.5呢？拖動滑塊，可以看到，p值的改變只是讓圖形產生了左右平移的效果，對它的形狀并沒有影響。由此可以看出，二項分布的極限就是正態(tài)分布。正態(tài)分布的密度曲線呈現(xiàn)出中間高，兩邊低的形態(tài)，形狀像一口大鐘，因此也叫做鐘型曲線。（設計意圖：通過Geogebra實現(xiàn)由離散型隨機變量到連續(xù)型隨機變量的過渡，讓學生直觀感受正態(tài)曲線的形成過程。）【問題2】你能求出小球落在-∞,x和[a,b]講解：回顧頻率分布直方圖中，每一個小長方形的面積就代表隨機變量X落在這個組里的概率。極限化以后，隨機變量落在某個區(qū)間內的概率就相當于求曲線與x軸相應區(qū)間所圍成的曲邊梯形的面積。所以小球落在-∞,x上的概率就是圖中區(qū)域A的面積，落在[a,b]上的概率就是圖中區(qū)域B（設計意圖：通過離散型隨機變量落在某個組里的概率類比連續(xù)型隨機變量落在某個區(qū)間的概率，加深學生對定積分的幾何意義的理解，提升學生類比、歸納、總結的能力。）正態(tài)分布密度曲線講解：剛才我們從視覺上看到了二項分布趨近正態(tài)分布的過程，事實上，正態(tài)分布曲線的表達式也是可以由二項分布推導出來的，感興趣的同學可以上網搜索一下推導過程，這里我們直接給出，這條曲線的函數表達式。f其中，??是圓周率，??是自然對數的底，實數??和??(??>0)為參數。我們稱??(??)為正態(tài)密度函數，稱它的圖像為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線。??和??分別反映的是均值和標準差.若隨機變量??的概率分布密度函數為??(??)，則稱??服從正態(tài)分布，記作X~N(μ,σ2)。特別地，當??=0,??=1時，稱隨機變量講解：自然科學和社會科學中的各種變量通常呈現(xiàn)為正態(tài)分布，例如零件的尺寸，一定條件下小麥的株高、穗長、單位面積產量，某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度和降雨量，某地區(qū)同年齡人的身高、出生體重、閱讀能力、工作滿意度，SAT分數等等。（設計意圖：理解正態(tài)分布密度函數的定義，了解正態(tài)分布在實際生活中的意義和作用。）正態(tài)曲線的特點講解：除了中間高，兩邊低，正態(tài)曲線還有其他什么特點呢？【問題3】結合正態(tài)密度函數的解析式和概率的性質，你能發(fā)現(xiàn)正態(tài)曲線有何特點？【活動】學生觀察正態(tài)曲線的圖像，并結合正態(tài)密度函數的表達式，歸納正態(tài)曲線的特點?！締栴}4】正態(tài)曲線由參數μ和σ完全確定，這兩個參數對正態(tài)曲線的形狀有何影響？它們反映了正態(tài)分布的哪些特征？【活動】利用Geogebra觀察參數對正態(tài)曲線的影響?；顒渔溄樱褐v解：首先固定σ,改變μ?？梢钥吹剑瑘D像左右平移，但是形狀沒有發(fā)生改變，所以μ是位置參數，反映了正態(tài)分布的集中位置。接下來固定μ，改變σ。可以看到圖像的形狀發(fā)生了改變，對稱軸沒有變，當σ變大時，峰值變低，曲線越“矮胖”，這說明在均值附近的數據發(fā)生的概率變低了，遠處發(fā)生的概率變大了，隨機變量X的分布越分散；反之，當σ變小時，峰值變高，曲線越“瘦高”，隨機變量X的分布越集中。因此σ也稱為形狀參數。（設計意圖：引導學生固定一個參數，觀察另一個參數對圖像的影響，降低分析難度；同時，利用多媒體引導學生歸納正態(tài)曲線的特點，增強學生直觀理解，提升學生歸納總結的能力。這樣的處理能很好地突破重難點。）3σ原則講解：接下來，讓我們觀察一下對任意正態(tài)分布N(μ,σ2)，X落在（μ-σ,μ+σ)，（μ-2σ,μ+2σ)，【活動】利用Geogebra觀察參數對上述三個概率的影響。活動鏈接：講解：可以看到，不論如何改變參數，X落在（μ-σ,μ+σ)上的概率恒為0.6827，落在（μ-2σ,μ+2σ)上的概率恒為0.9545，落在（μ-3σ,μ+3σ)上的概率恒為0.9973，也就