2020-2021學(xué)年山東省棗莊市薛城區(qū)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學(xué)年山東省棗莊市薛城區(qū)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)則在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先通過復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，然后利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】因?yàn)椋栽趶?fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.2．長方體的一個頂點(diǎn)上的三條棱長分別為3、4、5，且它的8個頂點(diǎn)都在同一個球面上，則這個球的表面積是（）A． B． C． D．都不對【答案】B【分析】由題意長方體的外接球的直徑就是長方體的對角線，求出長方體的對角線，就是求出球的直徑，然后求出球的表面積．【詳解】解：長方體的一個頂點(diǎn)上的三條棱長分別是3，4，5，且它的8個頂點(diǎn)都在同一個球面上，所以長方體的對角線就是球的直徑，長方體的對角線為：，所以球的半徑為：；則這個球的表面積是：．故選：．3．向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若向量與垂直，則實(shí)數(shù)（）A． B．C．3 D．2【答案】C【分析】設(shè)，其中，根據(jù)向量垂直的條件可得選項(xiàng)．【詳解】由圖可設(shè)，其中，所以，又向量與垂直，所以，即，所以，解得.故選：C.4．設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則下列關(guān)系中正確的是A． B．C． D．【答案】A【詳解】∵∴?=3(?)；∴=?.故選A.5．一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為45°，腰和上底長均為1的等腰梯形，則該平面圖形的面積等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得，結(jié)合直觀圖與原圖的關(guān)系求得原圖的面積.【詳解】在直觀圖中，，所以原圖是一個直角梯形，且上底為，下底為，高為，所以原圖的面積為故選：D6．已知圓柱的高為，它的兩個底面的圓周在半徑為的同一個球的球面上.則球的體積與圓柱的體積的比值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓柱的底面半徑、球的半徑與球心到圓柱底面的距離構(gòu)成直角三角形求出圓柱的底面半徑為，再有體積公式求出圓柱的體積與球的體積即可.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則，所以圓柱的體積為，又球的體積為所以球的體積與圓柱的體積的比故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的體積，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.7．《數(shù)書九章》是中國南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，全書十八卷共八十一個問題，分為九類，每類九個問題．《數(shù)書九章》中記錄了秦九韶的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊、、求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價(jià)，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即．現(xiàn)有周長為的滿足，則用以上給出的公式求得的面積為A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理結(jié)合三角形的周長可求得的三邊邊長，利用題中公式可求得的面積.【詳解】由題意結(jié)合正弦定理可得：，周長為，即，，，.所以，故選：D.8．如圖，是某防汛抗洪大壩的坡面，大壩上有一高為20米的監(jiān)測塔，若某科研小組在壩底點(diǎn)測得，沿著坡面前進(jìn)40米到達(dá)點(diǎn)，測得，則大壩的坡角（）的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，，可得，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，進(jìn)而由可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所?在中，由正弦定理得，解得.在中，由正弦定理得，所以.又，所以，所以.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理解三角形，考查誘導(dǎo)公式，考查學(xué)生合理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化的能力，屬于中檔題.二、多選題9．用一個平面去截一個幾何體，截面的形狀是三角形，那么這個幾何體可能是（）A．圓錐 B．圓柱 C．棱錐 D．正方體【答案】ACD【分析】根據(jù)物體特征分析截面可能的情況即可得解.【詳解】圓錐的軸截面是三角形，圓柱的任何截面都不可能是三角形，三棱錐平行于底面的截面是三角形，正方體的截面可能是三角形，如圖形成的截面三角形,故選：ACD10．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，且，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．虛部為 C． D．【答案】AD【分析】首先根據(jù)題意得到，再依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】，對選項(xiàng)A，，故A正確.對選項(xiàng)B，，虛部為，故B錯誤；對選項(xiàng)C，，故C錯誤；對選項(xiàng)D，，故D正確.故選：AD11．在中，D，E，F(xiàn)分別是邊，，中點(diǎn)，下列說法正確的是（）A．B．C．若，則是在的投影向量D．若點(diǎn)P是線段上的動點(diǎn)，且滿足，則的最大值為【答案】BCD【分析】對選項(xiàng)A，B，利用平面向量的加減法即可判斷A錯誤，B正確.對選項(xiàng)C，首先根據(jù)已知得到為的平分線，即，再利用平面向量的投影概念即可判斷C正確.對選項(xiàng)D，首先根據(jù)三點(diǎn)共線，設(shè)，，再根據(jù)已知得到，從而得到，即可判斷選項(xiàng)D正確.【詳解】如圖所示：對選項(xiàng)A，，故A錯誤.對選項(xiàng)B，，故B正確.對選項(xiàng)C，，，分別表示平行于，，的單位向量，由平面向量加法可知：為的平分線表示的向量.因?yàn)?，所以為的平分線，又因?yàn)闉榈闹芯€，所以，如圖所示：在的投影為，所以是在的投影向量，故選項(xiàng)C正確.對選項(xiàng)D，如圖所示：因?yàn)樵谏?，即三點(diǎn)共線，設(shè)，.又因?yàn)椋?因?yàn)?，則，.令，當(dāng)時(shí)，取得最大值為.故選項(xiàng)D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的加法，減法的幾何意義，數(shù)形結(jié)合為解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.12．對于，有如下命題，其中正確的有（）A．若，則是等腰三角形B．若是銳角三角形，則不等式恒成立C．若，則為銳角三角形D．若，則為鈍角三角形【答案】BD【分析】對選項(xiàng)A，根據(jù)題意得到或，即可判斷A錯誤；對選項(xiàng)B，根據(jù)題意得到，從而得到，即可判斷B正確；對選項(xiàng)C，根據(jù)題意得到，從而得到，即可判斷C錯誤；對選項(xiàng)D，根據(jù)得到為鈍角，即可判斷D正確.【詳解】對選項(xiàng)A，，所以或，故A錯誤；對選項(xiàng)B，是銳角三角形，所以，所以，故B正確.對選項(xiàng)C，，所以，.又因?yàn)?，所以為鈍角，為鈍角三角形，故C錯誤；對選項(xiàng)D，，所以，即，又因?yàn)椋詾殁g角，為鈍角三角形，故D正確.故選：BD三、填空題13．已知向量，，則在方向上的投影向量的模為________．【答案】【分析】先計(jì)算在方向上的投影,再求絕對值即可得答案【詳解】解:因?yàn)椋?所以，,,所以在方向上的投影為,所以在方向上的投影向量的模為,故答案為:14．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，，則b＝_______.【答案】2或4【分析】由已知利用余弦定理計(jì)算可得；【詳解】解：在三角形中，，，由余弦定理，即，解得或故答案為：2或4【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15．如圖，在四邊形ABCD中，，E為邊BC的中點(diǎn)，若，則_________．【答案】【分析】首先連接，再利用向量加法的幾何意義求解即可.【詳解】連接，如圖所示：所以，則.故答案為：16．如圖是一座山的示意圖，山呈圓錐形，圓錐的底面半徑為10公里，母線長為40公里，是母線上一點(diǎn)，且公里.為了發(fā)展旅游業(yè)，要建設(shè)一條最短的從繞山一周到的觀光鐵路.這條鐵路從出發(fā)后首先上坡，隨后下坡，則下坡段鐵路的長度為______________公里.【答案】18【分析】先展開圓錐的側(cè)面，確定觀光鐵路路線，再根據(jù)實(shí)際意義確定下坡段的鐵路路線，最后解三角形得結(jié)果.【詳解】如圖，展開圓錐的側(cè)面，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，記點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，，由兩點(diǎn)之間線段最短，知觀光鐵路為圖中的，，上坡即到山頂?shù)木嚯x越來越小，下坡即到山頂?shù)木嚯x越來越大，∴下坡段的鐵路，即圖中的，由，得.故答案為：18【點(diǎn)睛】本題考查圓錐側(cè)面展開圖、解三角形，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法以及基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.四、解答題17．已知復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)A，B對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，（），設(shè)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z.（1）當(dāng)實(shí)數(shù)m取何值時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出，z是純虛數(shù)，虛部不為0，實(shí)部為0，即可求解；（2）根據(jù)的值，求出對應(yīng)點(diǎn)到坐標(biāo)，根據(jù)已知列出不等式，即可求出結(jié)論.【詳解】點(diǎn)A，B對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，，（1）復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，，解得，；（2）復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，位于第四象限，，即，.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法、幾何意義、復(fù)數(shù)的分類，屬于基礎(chǔ)題.18．已知向量，，．（1）求向量與所成角的余弦值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）首先計(jì)算，再利用向量夾角公式計(jì)算即可；（2）首先計(jì)算，再利用平行向量坐標(biāo)運(yùn)算公式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以．設(shè)向量與所成角為，．（2）∵，，又，∴，解得．19．學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體ABCD﹣A1B1C1D1挖去四棱錐O﹣EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3．說明過程，不要求嚴(yán)格證明，不考慮打印損耗的情況下，（1）計(jì)算制作該模型所需原料的質(zhì)量；（2）計(jì)算該模型的表面積（精確到0.1）參考數(shù)據(jù)：，，【答案】（1）118.8；（2）cm2．【分析】先計(jì)算出該模型的體積，體積等于長方體的體積減去四棱錐的體積，再用體積乘以密度即可求出所需原料的質(zhì)量；（2）由已知數(shù)據(jù)計(jì)算出四棱錐的側(cè)面積，則該模型的表面積【詳解】解：（1）因?yàn)镋，F(xiàn)，G，H，分別為所在矩形各棱的中點(diǎn)，所以四邊形EFGH為菱形．由AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm，得又因?yàn)镺為長方體的中心，所四棱錐O﹣EFGH的高．，．∴該模型體積為：cm3．∵3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，∴制作該模型所需原料的質(zhì)量為：132×0.9＝118.8g．（2）記面的中心為，連接，，，則，，．由題意，四棱錐O﹣EFGH的四個側(cè)面為全等三角形．在等腰中，取的中點(diǎn)，連接，，所以．∴該模型表面積為：cm3cm2．20．在中，若、、分別是內(nèi)角、、的對邊，已知同時(shí)滿足下列個條件中的個：①；②；③；④．（1）請指出這個條件，并說明理由；（2）求．【答案】（1）滿足①，③，④；理由見解析；（2）.【分析】（1）若同時(shí)滿足①，②,由已知條件和余弦定理可得，矛盾，所以只能同時(shí)滿足③，④，再根據(jù)大邊對大角可知滿足①，即得答案.（2）由正弦定理得到，即得，再由結(jié)合兩角和的正弦公式可得答案.【詳解】（1）同時(shí)滿足條件①，③，④．理由如下：若同時(shí)滿足①，②．因?yàn)椋?，所以，即因?yàn)?，且，所以所以，矛盾所以只能同時(shí)滿足③，④．因?yàn)?，所以，故不滿足②故滿足①，③，④（2）在中，，，由正弦定理知：，所以又因?yàn)?，所以，所?【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，考查兩角和的正弦公式，考查分析推理能力，屬于中檔題.21．邊長為1的正三角形，、分別是邊、上的點(diǎn)，若，，其中，設(shè)的中點(diǎn)為，中點(diǎn)為.（1）若、、三點(diǎn)共線，求證：；（2）若，求的最小值.【答案】（1）證明見解析；（2）最小值為.【分析】(1)利用共線向量基本定理得,根據(jù)三角形的中線對應(yīng)的向量等于相鄰兩邊對應(yīng)的向量的和的一半,將已知條件代入得到要證的結(jié)論;(2)利用向量的運(yùn)算法則:三角形減法法則的逆運(yùn)算將用三角形的邊對應(yīng)的向量表示,利用向量模的平方等于向量的平方,將表示為的二次函數(shù),求出二次函數(shù)的最小值.【詳解】(1)由三點(diǎn)共線,得共線,根據(jù)共線向量定理可得,存在使得,即,所以,根據(jù)平面向量基本定理可得,所以.(2)因?yàn)?又,所以,因?yàn)槿切问沁呴L為1的正三角形,所以,,所以,所以時(shí),取得最小值.【點(diǎn)睛】本題考查了共線向量定理,平面向量基本定理,平面向量的數(shù)量積,平面向量三角形的減法法則的逆運(yùn)算,二次函數(shù)求最小值,屬于中檔題.22．在中，內(nèi)角的，，對邊分別為，，，已知.（1）求角的取值范圍；（2）若，且，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由結(jié)合