數(shù)學(xué)自主訓(xùn)練：不等式的實(shí)際應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場(chǎng)我夯基我達(dá)標(biāo)1。某居民小區(qū)收取冬季供暖費(fèi),根據(jù)規(guī)定，住戶可以從以下兩種方案中任選其一:（1）按照使用面積繳納，每平方米4元；（2）按照建筑面積繳納，每平方米3元。李明家的使用面積是60平方米.如果他家選擇第（2)種方案繳納的供暖費(fèi)不多于按第（1）種方案繳納的供暖費(fèi),那么他家的建筑面積最多不超過(）A.70平方米B.80平方米C.90平方米D。100平方米思路解析：根據(jù)使用面積應(yīng)該繳納的費(fèi)用為60×4=240元，設(shè)建筑面積為x，則根據(jù)他所選擇的方案,知3x—240≤0,所以x≤80，即建筑面積不超過80平方米。答案:B2。張先生買了一部手機(jī)，欲使用中國電信“神州行”卡或加入中國聯(lián)通130網(wǎng)，經(jīng)調(diào)查，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表:網(wǎng)絡(luò)月租費(fèi)本地話費(fèi)長(zhǎng)途話費(fèi)甲聯(lián)通130網(wǎng)12元0.36元/分0.06元/6秒乙電信“神州行”無0.6元/分0。07元/6秒（注：本地話費(fèi)以分鐘為單位計(jì)費(fèi),長(zhǎng)途話費(fèi)以6秒鐘為單位計(jì)費(fèi)）若張先生每月?lián)艽虮镜仉娫挼臅r(shí)間是長(zhǎng)途電話時(shí)間的5倍，且每月通話時(shí)間（分鐘）在區(qū)間（40，50）內(nèi),則選擇較為省錢的網(wǎng)絡(luò)為(）A.甲B.乙C。甲或乙D。分情況而定思路解析：設(shè)張先生每月?lián)艽蜷L(zhǎng)途電話的時(shí)長(zhǎng)為x分鐘，則有40＜5x+x＜50，即＜x＜,使用甲和乙方式應(yīng)付話費(fèi)的差為12+0。36×5x+0.06×10x—(0.6×5x+10×0.07x)=12—1.3x＞0.答案：B3.《中華人民共和國個(gè)人所得稅法》規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過800元的部分不必納稅，超過800元的部分為全月應(yīng)納稅所得額.此項(xiàng)稅款按下表分段累進(jìn)計(jì)算：全月應(yīng)納稅所得額稅率不超過500元的部分5%超過500元至2000元的部分10％超過2000元至5000元的部分15%…………某人一月份應(yīng)交納此項(xiàng)稅款26。78元，則他的當(dāng)月工資、薪金所得介于()A。800-900元B.900—1200元C。1200—1500元D.1500—2800元思路解析:分別以全月工資、薪金所得為900元，1200元，1500元，2800元計(jì)算應(yīng)交納此項(xiàng)稅款額，它們分別為5元，20元，70元，200元。∵20＜26。78＜70，所以某人當(dāng)月工資、薪金所得介于1200—1500元,選C.答案:C4。用兩種金屬材料做一個(gè)矩形框架,按要求長(zhǎng)（較長(zhǎng)的邊）和寬應(yīng)選用的金屬材料價(jià)格每1m分別為3元和5元，且長(zhǎng)和寬必須是整數(shù)，現(xiàn)預(yù)算花費(fèi)不超過100元，則做成矩形框架圍成的最大面積是_______________。思路解析：設(shè)長(zhǎng)為xm，寬為ym，則根據(jù)條件知6x+10y≤100，即3x+5y≤50，且x≥y,再根據(jù)x,y都是整數(shù)的條件求xy的最大值,而xy=·3x·5y≤(）2,并且檢驗(yàn),知當(dāng)x=8，y=5時(shí),面積xy最大為40m2。答案：40m5.某商場(chǎng)預(yù)計(jì)全年分批購入每臺(tái)價(jià)值為2000元的電視機(jī)共3600臺(tái)，每批都購入x臺(tái)（x∈N+），且每批均需運(yùn)費(fèi)400元，貯存購入的電視機(jī)全年所付保管費(fèi)與每批購入電視機(jī)的總價(jià)值（不含運(yùn)費(fèi)）成正比，若每批購入400臺(tái)，則全年需用去運(yùn)輸和保管費(fèi)用總計(jì)43600元，現(xiàn)在全年只有24000元資金可以用于支付這筆費(fèi)用，請(qǐng)問：能否恰當(dāng)安排每批進(jìn)貨的數(shù)量,使資金夠用？求出結(jié)論，并說明理由。思路分析：根據(jù)每批購入x臺(tái)，建立總費(fèi)用的函數(shù)y=×400+k·（2000·x），進(jìn)行化簡(jiǎn)后利用均值不等式即可求解.解：設(shè)總費(fèi)用為y元，保管費(fèi)用與每批電視機(jī)總價(jià)值的比例系數(shù)為k（k＞0），每批購入x臺(tái),則y=×400+k·(2000·x），當(dāng)x=400時(shí),y=43600，解出k=5％?！鄖=+100x≥·100x=24000(元)為所需最低費(fèi)用.當(dāng)且僅當(dāng)=100x,即x=120時(shí)取到等號(hào)，因此只需每批購入120臺(tái)，便可使資金夠用。6.某公司租地建倉庫,每月土地占用費(fèi)y1與倉庫到車站的距離成反比,而每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與到車站的距離成正比，如果在距離車站10千米處建倉庫，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬元和8萬元，那么，要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站…（)A。5千米處B.4千米處C。3千米處D.2千米處思路解析：設(shè)倉庫到車站的距離為x,y1=,y2=k2x，當(dāng)x=10時(shí),y1=2,y2=8,∴k1=20,k2=0。8。∴y1+y2=+0.8x(x＞0）≥20.8x·=8.當(dāng)且僅當(dāng)0.8x=，即x=5時(shí),（y1+y2）min=8,因此應(yīng)選A。答案:A7。某商場(chǎng)在促銷期間規(guī)定：商場(chǎng)內(nèi)所有商品按標(biāo)價(jià)的80％出售；同時(shí)，當(dāng)顧客在該商場(chǎng)內(nèi)消費(fèi)滿一定金額后，按如下方案獲得相應(yīng)金額的獎(jiǎng)券：消費(fèi)金額（元）的范圍[200,400）[400,500)［500，700）［700，900）……獲得獎(jiǎng)券的金額(元）3060100130……根據(jù)上述促銷方法，顧客在該商場(chǎng)購物可以獲得雙重優(yōu)惠。例如，購買標(biāo)價(jià)為400元的商品，則消費(fèi)金額為320元，獲得的優(yōu)惠額為400×0.2+30=110(元）。設(shè)購買商品得到的優(yōu)惠率=。試問：(1）若購買一件標(biāo)價(jià)為1000元的商品,顧客得到的優(yōu)惠率是多少?（2）對(duì)于標(biāo)價(jià)在[500,800］（元）內(nèi)的商品,顧客購買標(biāo)價(jià)為多少元的商品，可得到不小于的優(yōu)惠率？解：（1）=33%。(2)設(shè)商品的標(biāo)價(jià)為x元，則500≤x≤800，消費(fèi)額：400≤0。8x≤640。由已知,得①或②不等式組①無解，不等式組②的解為625≤x≤750.因此，當(dāng)顧客購買標(biāo)價(jià)在[625，750]元內(nèi)的商品時(shí),可得到不少于的優(yōu)惠率.我綜合我發(fā)展8.如圖3-4-3所示,電路中電源的電動(dòng)勢(shì)為E，內(nèi)阻為r，R1為固定電阻，求可變電阻R2調(diào)至何值時(shí)，它所消耗的電功率最大,其最大電功率是多少？圖3—4-3思路分析：本題牽涉到物理中的電學(xué)知識(shí),首先根據(jù)條件建立功率的表達(dá)式,利用結(jié)論：當(dāng)x＞0，y＞0且x+y=s（定值)時(shí)，x·y有最大值即可得出答案.解：由電學(xué)公式，知電功率P=UI，有P2=U2I2=，∵U2（E-U2)≤[］2=（定值)，∴僅當(dāng)U2=E—U2，即2U2=E時(shí)，P2達(dá)到最大值.在E=2U2的兩端同除以I（I=I1=I2），得2R2=r+R2+R1，即R2=r+R1,此時(shí)消耗的電功率最大，其最大的電功率為.9。某種商品原來定價(jià)每件p元,每月將賣出n件，假若定價(jià)上漲x成（這里x成，即，0＜x≤10），每月賣出數(shù)量將減少y成，而售貨金額變成原來的z倍。（1）設(shè)y=ax,其中a是滿足≤a＜1的常數(shù)，用a來表示當(dāng)售貨金額最大時(shí)的x值；（2)若y=x，求使售貨金額比原來有所增加的x的取值范圍.思路分析：第（1)題首先把上漲后的銷售額用變量x表示,然后根據(jù)函數(shù)的形式求出最大值，第(2)題實(shí)際上就是根據(jù)條件解不等式。解:(1）由題意知某商品定價(jià)上漲x成時(shí)，上漲后的定價(jià)、每月賣出數(shù)量、每月售貨金額分別是p(1+)元、n（1—）件、npz元，因而npz=p(1+）·n（1—)，∴z=（10+x）（10—y）。在y=ax的條件下,z=｛-a［x—]2+100+｝。由于≤a＜1，則0＜≤10。要使售貨金額最大，即使z值最大，此時(shí)x=.(2)由z=（10+x）（10—x）＞1，解得0＜x＜5.10。經(jīng)過長(zhǎng)期觀測(cè)得到:在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)，某公路段汽車的車流量y（千輛/時(shí)）與汽車的平均速度v（千米/時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為y=(v＞0）。（1）在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度v為多少時(shí)，車流量最大?最大車流量為多少?（精確到0.1千輛/時(shí))(2)若要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過10千輛/時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？解：（1)依題意，y=,當(dāng)且僅當(dāng)v=,即v=40時(shí)，上式等號(hào)成立，所以ymax=≈11。1（千輛/時(shí))。（2）由條件，得＞10,整理得v2—89v+1600＜0，即(v—25）（v—64）＜0,解得25＜v＜64.答：當(dāng)v=40千米/時(shí)時(shí)，車流量最大,最大車流量約為11.1千輛/時(shí)。如果要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過10千輛/時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)大于25千米/時(shí)且小于64千米/時(shí)。11。某人在一山坡P處觀看對(duì)面山項(xiàng)上的一座鐵塔,如圖3-4—4所示,塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，圖中所示的山坡可視為直線l且點(diǎn)P在直線l上，l與水平地面的夾角為α,tanα=。試問此人距水平地面多高時(shí)，觀看塔的視角∠BPC最大（不計(jì)此人的身高).圖3-4—4思路分析：建立函數(shù)，然后求函數(shù)的最值。為了建立函數(shù)采用建立坐標(biāo)系，用到角公式比較簡(jiǎn)單。解：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，圖3—4—5則A（200，0），B（0，220）,C（0，300），直線l的方程為y=(x—200）tanα,即y=.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則P(x，）(x＞200）.由經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜