數(shù)學(xué)自主訓(xùn)練：均值不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場(chǎng)我夯基我達(dá)標(biāo)1.x、y同號(hào),當(dāng)取最小值時(shí),一定有（）A。x=y=1B。x=y=—1C.x=y或x=-y思路解析：因?yàn)閤、y同號(hào),所以與都是正數(shù),取最值時(shí)=，再由x、y同號(hào)，知x=y。答案：D2。下列函數(shù)中，最小值為4的是(）A。f（x)=x+B.f(x）=2×C。f（x）=3x+4×3—xD.f(x）=lgx+logx10思路解析：逐個(gè)排除。其中A,D選項(xiàng)不能保證兩項(xiàng)為正，排除;而B選項(xiàng)不能取得等號(hào),f（x)=2×≥4,要取等號(hào)，必須，即x2+4=1，這是不可能的。答案：C3。設(shè)x,y為正數(shù)，則(x+y)(+）的最小值為（）A。6B。9C。12思路解析：x，y為正數(shù)，(x+y）(+）≥1+4++≥9，選B。答案:B4。在區(qū)間［，2］上，函數(shù)f(x）=x2+bx+c(b、c∈R）與g(x)=在同一點(diǎn)取得相同的最小值,那么f（x）在區(qū)間［，2］上的最大值是（)A。B.4C.8D.思路解析:g（x）==x++1≥3,當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)x=1時(shí)取最小值3,所以f（x)的對(duì)稱軸是x=1.所以b=-2。再把(1，3）代入即得c=4.所以f(x）=x2—2x+4,易得在［，2］上的最大值是f(2）=4-4+4=4.答案:B5.(1)函數(shù)f（x）=x+（x＞5)的最小值為_(kāi)___________.（2）函數(shù)y=（0＜x＜10）的最大值為_(kāi)____________。(3)已知2x+3y=12，且x、y均為正數(shù)，那么xy的最大值為_(kāi)___________。思路解析：(1)由于x＞5,所以x-5＞0,f(x）=x-5++5≥2（x—5）·+5=7,當(dāng)x—5=,即x=6時(shí)取最值；（2)=5，當(dāng)x=10-x，即x=5時(shí)取最值；(3)首先根據(jù)條件湊出定值,把xy進(jìn)行變化:xy=（2x)(3y)≤=6.答案：(1)7（2)5(3)66。已知a、b、c為不全相等的正數(shù)，求證：lg+lg＞lga+lgb+lgc。思路分析:根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì),首先把對(duì)數(shù)符號(hào)去掉,得＞abc,然后，再利用均值不等式及其變形進(jìn)行證明,由于式子比較復(fù)雜可以采用分析法書寫證明過(guò)程。證明：要證原不等式成立,只需證lg（）＞lgabc。又∵y=lgx是增函數(shù)，∴只需證＞abc。又已知a、b、c為不全相等的正數(shù)，所以由基本不等式，知上述三個(gè)不等式不能同時(shí)取到等號(hào)，∴＞abc成立?！嘣坏仁匠闪ⅰ?.已知a、b、c∈R，且a+b+c=1,求證：（—1）（-1）（-1)≥8。思路分析：首先根據(jù)條件a+b+c=1，把其中分子上的1全部換成a+b+c之后，每個(gè)括號(hào)中的項(xiàng)分別使用均值不等式，然后相乘即可.證明:∵，又∵a＞0，b＞0，c＞0，∴，即。同理,可得.由于上面三個(gè)不等式的右邊都是正數(shù)，相乘即得（-1）（—1）(—1）≥8.8。如圖3-2—1所示，平面直角坐標(biāo)系中，在y軸正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上給定兩點(diǎn)A、B，試在x軸的正半軸(坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上求一點(diǎn)C，使∠ACB取得最大值。圖3—2—1思路分析：本題是一個(gè)含有識(shí)圖以及與三角函數(shù)有關(guān)的綜合題,首先根據(jù)圖形建立∠ACB某一三角函數(shù)的一個(gè)解析式，根據(jù)解析式和均值不等式求最值即可.解:設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，a)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(0，b）,0＜b＜a,點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，0)(x＞0），∠ACB=α，∠OCB=β,則∠OCA=α+β（0＜α＜），∴tanα=tan［（α+β）—β]=.當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=（x＞0）時(shí)等號(hào)成立.因此當(dāng)x=時(shí)，tanα取得最大值，∠ACB取得最大值。我綜合我發(fā)展9.已知不等式（x+y）（)≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為(）A.2B.4C.6思路解析:不等式(x+y）（）≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則1+a+≥a++1≥9，∴≥2或≤-4(舍去）.所以正實(shí)數(shù)a的最小值為4。答案：B10.若a,b，c＞0且a（a+b+c)+bc=,則2a+b+c的最小值為（）A。B.C。D。思路解析：若a，b,c＞0且a(a+b+c)+bc=，所以a2+ab+ac+bc=,=a2+ab+ac+bc=(4a2+4ab+4ac+2bc+2bc）≤（4a2+4ab+4ac+2bc+b2+c2）.所以（）2≤（2a+b+c)2，則(2a+b+c)≥。答案：D11。設(shè)tanx=3tany(0≤y＜x＜），則u=x—y的最大值是（）A.B.C。D。思路解析：這是一個(gè)和三角函數(shù)有關(guān)的最值問(wèn)題，首先要根據(jù)三角函數(shù)和與差的公式，寫出x-y的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式:tan(x—y)=≤,而0≤y＜x＜，所以0＜x-y＜。所以0＜tan(x—y)≤.所以x-y的最大值為。答案：A12.均值不等式≥（a，b都是正實(shí)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）可以推廣到n個(gè)正實(shí)數(shù)的情況，即對(duì)于n個(gè)正實(shí)數(shù)a1，a2，a3，…，an有(當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=a3=…=an時(shí)，取等號(hào)）.同理,當(dāng)a，b都是正實(shí)數(shù)時(shí),（a+b）（+）≥=4,可以推廣出這樣的結(jié)論：對(duì)于n個(gè)正實(shí)數(shù)a1,a2,a3,…，an，有（a1+a2+a3)()≥;(a1+a2+a3+a4)（）≥;(a1+a2+a3+…+an）(）≥;如果對(duì)于n個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)a1，a2,a3，…,an（同正或者同負(fù)）,那么，根據(jù)上述結(jié)論，(a1+a2+a3+…+an)(+…+）的取值范圍是_______________.思路解析：根據(jù)所給結(jié)論及類比的方法,可得(a1+a2+a3）()≥.同理,(a1+a2+a3+a4）(）≥16，(a1+a2+a3+…+an)(+…+）≥n2。當(dāng)實(shí)數(shù)a1，a2，a3,…,an都是負(fù)數(shù)時(shí)，(a1+a2+a3+…+an）（+…+）≥n2.答案：916n2［n2,+∞）13。已知直線l過(guò)點(diǎn)P（2，1），且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則三角形OAB面積的最小值為_(kāi)____________.思路解析：設(shè)直線l為=1（a＞0,b＞0)，則有=1。得1=，即ab≥8。于是，△OAB面積為S=ab≥4。答案:414.某游泳館出售冬季游泳卡，每張240元，其使用規(guī)定：不記名,每卡每次只限一人，每天只限一次。某班有48名同學(xué)，老師打算組織同學(xué)們集體去游泳,除需購(gòu)買若干張游泳卡外,每次游泳還需包一輛汽車，無(wú)論乘坐多少名同學(xué)，每次的包車費(fèi)均為40元，（1）若使每個(gè)同學(xué)游8次，每人最少應(yīng)交多少元錢？(2)若使每個(gè)同學(xué)游4次,每人最少應(yīng)交多少元錢？思路分析:把實(shí)際問(wèn)題抽象（轉(zhuǎn)化）成數(shù)學(xué)問(wèn)題(比較代數(shù)式的大?。┮簿褪墙?shù)學(xué)模型是解應(yīng)用題的關(guān)鍵，而恰當(dāng)?shù)卦O(shè)出未知數(shù)往往是把實(shí)際問(wèn)題抽象（轉(zhuǎn)化)成數(shù)學(xué)問(wèn)題的第一步.解：（1）設(shè)每批去x名同學(xué)，共需去批,總開(kāi)支又分為：①買卡所需費(fèi)用240x，②包車所需費(fèi)用×40?！鄖=240x+×40（0＜x≤48,x∈Z)。∴y=240（x+)≥240×2x×=3840，當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=8時(shí)取等號(hào).故每人最少應(yīng)交=80（元）.(2）設(shè)每批去x名同學(xué)，共需去批，總開(kāi)支又分為：①買卡所需費(fèi)用240x，②包車所需費(fèi)用×40?！鄖=240x+×40(0＜x≤48，x∈Z）?！鄖=240（x+）≥240×2x×=19202，當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=5。66時(shí)取等號(hào)。但0＜x≤48，x∈Z，當(dāng)x1=5時(shí)，y1=240×（5+）=2736；當(dāng)x2=6時(shí),y2=240×（6+）≈2720.∵y1＞y2，∴當(dāng)x=6時(shí),y有最小值，即ymin≈2720.故每人最少應(yīng)交≈56。67元。15.用一塊鋼錠燒鑄一個(gè)厚度均勻，且表面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器（如圖3—2-2),設(shè)容器高為h米