數(shù)學自主訓練：空間中的垂直關系

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場我夯基我達標1。若直線l不垂直于平面α,那么平面α內()A.不存在與l垂直的直線B.只存在一條與l垂直的直線C.存在無數(shù)條直線與l垂直D.以上都不對思路解析:直線與平面不垂直也可以垂直平面內的無數(shù)條直線，不過它們都是平行直線，不能是相交直線。答案:C2。在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與AD1A.平面DD1C1CB.平面AC。平面A1B1C1D1D.平面A1思路解析:由直線與平面垂直的判定定理可以證明與AD1垂直的平面是平面A1DB1.答案：B3.(2006廣東高考,5)給出以下四個命題：①如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交,那么這條直線和交線平行；②如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面；③如果兩條直線都平行于一個平面，那么這兩條直線互相平行;④如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。其中真命題的個數(shù)是(）A。4B.3C。2思路解析：由定義及判定定理知①②④正確，故選B。答案：B4。設m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面.考查下列命題，其中正確的命題是（)A.m⊥α,nβ，m⊥nα⊥βB。α∥β,m⊥α，n∥βm⊥nC.α⊥β，m⊥α,n∥βm⊥nD.α⊥β,α∩β=m,n⊥mn⊥β思路解析:正確的命題是α∥β,m⊥α，n∥βm⊥n，選B.答案：B5.已知正△ABC的邊長為2cm,PA⊥平面ABC，A為垂足,且PA=2cm，那么P到BC的距離為_____________.思路解析:取BC的中點D，連結AD、PD，由于△ABC為等邊三角形,所以AD⊥BC,又PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，則BC⊥平面PAD，所以BC⊥PD，故PD就是所求的距離，根據(jù)正△ABC的邊長為2cm，則AD=3,在Rt△PAD中,PA=2，根據(jù)勾股定理可得PD=7.答案：6.若平面α及這個平面外的一條直線l同時垂直于直線m，則直線l和平面α的位置關系是___________________.思路解析:過l作平面β,設α∩β=a.∵m⊥α，∴m⊥a.又m⊥l，l、a同在β內,故l∥a.∴l(xiāng)∥α.答案：l∥α我綜合我發(fā)展7.Rt△ABC的斜邊AB在平面α內，直角頂點C在α外，C在α上射影為D（不在AB上)，則△ABD是()A.直角三角形B。銳角三角形C。鈍角三角形D。銳角或鈍角三角形思路解析:如圖，AD＜AC,DB＜BC,∴AD2+DB2＜AC2+BC2=AB2.∴∠ADB為鈍角。圖1—2—3-7答案：C8.正方形ABCD的邊長為12,PA⊥平面ABCD，PA=12，則點P到對角線BD的距離為()A。B。C.D。思路解析:如圖,連結AC交BD于O點，圖1-2-3—8則PA⊥BD，AO⊥BD。∴BD⊥面PAO.故PO為P到BD的距離。在Rt△AOP中，PA=12，AO=.∴PO=.答案:D9.P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，若P到四邊的距離都相等,則ABCD（）A。是正方形B。是長方形C.有一個內切圓D。有一個外接圓思路解析:根據(jù)空間射影定理，點P在面ABCD內射影為四邊形的內切圓的圓心。答案：C10.求證：如果兩個平面互相垂直,那么經(jīng)過第一個平面內的一點而垂直于第二個平面的直線在第一個平面內。思路解析：反證法與同一法都是間接證法,但前者證的是原命題的逆否命題;后者證的是原命題的逆命題，但原命題必須符合同一法則。由于同一法則不易掌握，所以遇到有可能利用同一法證明的題,可改為用反證法形式證明。如題中可假設ABα,在平面α內作AE⊥CD，得AE⊥β，又AB⊥β，與過一點只有一條直線與平面垂直矛盾，所以假設不成立，得ABα。圖1—2—3—9答案:已知:α⊥β，α∩β=CD，A∈α,AB⊥β。求證：ABα.證明：如圖，在平面α內作AE⊥CD,則AE⊥β，而AB⊥β，∴AB與AE重合.∵AEα，∴ABα。11。如圖1-2—3-10所示，四面體A—BCD被平行于棱AB、CD的平面EFGH所截.其中AC=AD=BC=BD，AB=2CD，則AH∶HC的值為多少時，四邊形EFGH的面積最大？圖1-2—3-10思路分析:根據(jù)線段之間的關系判定四邊形的形狀，寫出面積的函數(shù)關系式,再求最值，體現(xiàn)了函數(shù)思想.解：如圖所示，設=λ，則,由題設可得GH∥DC，EH∥AB，∴GH=·CD，EH=·AB.又AC=AD=