數(shù)學自主訓練：應用舉例

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場我夯基我達標1.如圖1—2—12，為了測量隧道口AB的長度，給定下列四組數(shù)據，其中可以實現(xiàn)并可以計算得出AB長的數(shù)據是(）圖1—2—12A。α,a,bB.α，β,aC.a，b,γD.α,β，b思路解析:根據實際情況,α、β都是不易測量的數(shù)據，而C中的a、b、γ很容易測量到，并且根據余弦定理AB2=a2+b2-2abcosγ能直接求出AB的長。答案:C2.已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°的方向上,燈塔B在觀察站C的南偏東40°的方向上，則燈塔A與燈塔B的距離為（）A.akmB.kmC。kmD.2akm思路解析：由圖可知∠ACB=120°，AC=BC=a。在△ABC中，過點C作CD⊥AB，則AB=2AD=2acos30°=a。圖1—2—13答案:B3.在200m的山頂上,測得山下一塔塔頂與塔底的俯角分別為30°、60°,則塔高為（）A。B。C。D.思路解析：如圖1—2—14所示,設塔高AB為h，圖1-2-14在Rt△CDB中，CD=200，∠BCD=90°—60°=30°,∴BC=.在△ABC中，∠ABC=∠BCD=30°，∠ACB=60°—30°=30°，∴∠BAC=120°。，∴AB=m。答案：A4。在△ABC中，已知a—b=4,a+c=2b，且其最大內角為120°，則其最大邊長為____________.思路解析：由已知所給三邊間的關系，先判斷其最大邊，再利用余弦定理把問題解決。由已知a-b=4,a+c=2b,得a=b+4,c=2b-a=b—4，故a為最長邊?！郃=120°?！郼osA=，即=。解得b=10.∴a=14.答案:145。在△ABC中，若(sinA+sinB+sinC)·（sinA+sinB-sinC）=3sinAsinB，則C=_____________。思路解析:本題所給條件中涉及的是三內角的正弦,容易想到將其展開化簡，得到sin2A+sin2B—sin2C=sinAsinB，而這個形式與余弦定理極為相似，然而余弦定理所涉及的是邊角關系，于是可以先用正弦定理將三內角的正弦轉化為邊，即為a2+b2—c2=ab，所以cosC=答案:60°6。為了測量河的寬度,在一岸邊選定兩點A、B，望對岸的標記物C，測得∠CAB=45°，∠CBA=75°，AB=120米，求河的寬度.思路分析：由題意畫出示意圖，把問題轉化為求△ABC的AB邊上的高的問題。而由已知及正弦定理，可先求出AC，進而求得河寬.解：如圖所示，在△ABC中，由已知可得圖1—2-15AC=。設C到AB的距離為CD,則CD=·AC=20（+3)，∴河的寬度為20（+3）米。7。已知關于x的方程x2+xcosAcosB—1+cosC=0的兩根之和等于其兩根之積的一半，試判斷△ABC的形狀.思路分析:本題與一元二次方程的根與系數(shù)之間的關系有一定的關系，容易根據題意及根與系數(shù)間的關系得到三內角間的關系,從而判定△ABC的形狀.解:依題意，得—cosAcosB=，即2cosAcosB=1—cosC.∴cos（A+B)+cos(A—B)=1+cos（A+B)?！郼os（A—B)=1.又-π＜A-B＜π,∴A—B=0，A=B。故△ABC是等腰三角形.我綜合我發(fā)展8.在△ABC中，A＞B＞C，且三邊a、b、c為連續(xù)自然數(shù)，且a=2ccosC。求sinA∶sinB∶sinC的值.思路分析:本題已知條件中給出了邊角間的關系,要求三內角正弦之比，可以根據正弦定理轉化為求三邊之比，進而去求三邊長，從而將問題解決。解：∵A＞B＞C，∴a＞b＞c。又三邊a、b、c為連續(xù)自然數(shù),∴可設a=b+1，c=b—1.由a=2ccosC，得cosC=.由余弦定理,得cosC=，∴，即(b+1）2=（b—1）（b+4)，b=5?！郺=6，c=4。由正弦定理,得sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4。9。小明在內伶仃島上的點A處，上午11時測得在A的北偏東60°的C處有一艘輪船,12時20分時測得該船航行到北偏西60°的B處，12時40分時又測得輪船到達位于A正西方5千米的港口E處,如果該船始終保持勻速直線運動.求：(1)點B到A的距離；(2)船的航行速度.思路分析：本題所涉及的角比較多，首先應該考慮畫出示意圖，將題中所述條件正確地反映在圖形上，這樣比較直觀,然后結合圖形分析,不難根據正、余弦定理把問題解決.解:(1）輪船從C處到點B用了80分鐘，從點B到點E用了20分鐘，輪船保持勻速直線運動。故BC=4BE，設BE=x，則BC=4x.由已知,得只要求出x的值即可.在△AEC中，由正弦定理，得sinC=.在△ABC中,由正弦定理，得AB=。（2）在△ABE中,由余弦定理，得BE2=AB2+AE2—2AB·AE·cos30°=25+—2×5×cos30°=?！郆E=。故輪船的速度為千米/時.10.有一條河MN,河岸的一側有一很高的建筑物AB（底部為A,頂部為B），一人位于河岸另一側P處，手中有一個測角器（可以測仰角)和一個可以測量長度的皮尺（測量長度不超過5米).請你根據所學數(shù)學知識，設計多種測量方案(不允許過河），并給出計算建筑物的高度AB及距離PA的公式.解：(1)如圖1—2—16，點P位于開闊地域，被測量的數(shù)據為PC(測角器的高)和PQ(Q為在PA水平直線上選取的另一測量點)的長度，仰角為α和β(其中∠BDO=β，∠BCO=α）.圖1-2-16設AB=x，PA=y，則有∴x=。（2)如圖1-2-17,P位于開闊地域,被測量的數(shù)據為PR(PR在水平線上，且PQ＜5米)，在P、Q（Q是PR的中點)、R處測得建筑物AB的仰角分別為α、β、γ（其中∠APB=α,∠AQB=β，∠ARB=γ)，設AB=x,PA=y,則y=xcotα,AQ=xcotβ,AR=xcotγ。圖1-2-17在△APQ與△APR中，由余弦定理，得AP2+PQ2—2AP·PQ·cos∠APQ=AQ2，AP2+PR2-2AP·PR·cos∠APQ=AR2，即（xcotα)2+()2—2·（xcotα)·cos∠APQ=（xcotβ）2，（xcotα）2+(PR)2-2·(xcotα)·PRcos∠APQ=(xcotγ)2，兩式相減，得。（3)如圖1—2—18,若P處是一可攀建筑物