2024八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十六章軸對(duì)稱和中心對(duì)稱練素養(yǎng)3.角平分線中四種常用作輔助線的方法習(xí)題課件新版冀教版

冀教版八年級(jí)上第十六章軸對(duì)稱和中心對(duì)稱集訓(xùn)課堂練素養(yǎng)3.角平分線中四種常用作輔助線的方法因?yàn)榻堑钠椒志€已經(jīng)具備了全等三角形的兩個(gè)條件(角相等

和公共邊)，所以在處理角的平分線的問(wèn)題時(shí)，常截兩邊相

等或向兩邊作垂線段或延長(zhǎng)線段等來(lái)構(gòu)造全等三角形.方法1作一邊的垂線段構(gòu)造對(duì)稱圖形1.

如圖，在四邊形

ABCD

中，∠

B

＝90°，

AB

∥

CD

，

M

為

BC

邊上的一點(diǎn)，且

AM

平分∠

BAD

，

DM

平分∠

ADC

.

求證：(1)

AM

⊥

DM

；1234【證明】∵

AB

∥

CD

，∴∠

BAD

＋∠

ADC

＝180°.∵

AM

平分∠

BAD

，

DM

平分∠

ADC

，∴∠

BAM

＝∠

MAD

，∠

CDM

＝∠

ADM

.

∴2∠

MAD

＋2∠

ADM

＝180°.∴∠

MAD

＋∠

ADM

＝90°.∴∠

AMD

＝90°，即

AM

⊥

DM

.

1234(2)

M

為

BC

的中點(diǎn).【證明】如圖，過(guò)點(diǎn)

M

作

MN

⊥

AD

于點(diǎn)

N

.

∵∠

B

＝90°，∴

BM

⊥

AB

.

∵

AB

∥

CD

，∴

CM

⊥

CD

.

又∵

AM

平分∠

BAD

，

DM

平分∠

ADC

，∴

BM

＝

MN

，

MN

＝

CM

.

∴

BM

＝

CM

.

∴

M

為

BC

的中點(diǎn).1234方法2作兩邊的垂線段構(gòu)造對(duì)稱圖形2.

[2024·廣東珠海金灣區(qū)期中]請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)如圖①，已知△

ABC

，利用直尺和圓規(guī)，作∠

BAC

的

平分線

AD

，

AD

交

BC

于點(diǎn)

D

(保留作圖痕跡，不要求

寫作法)；【解】如圖①，

AD

即為所作.1234(2)如圖②，

AD

是△

ABC

的角平分線，

E

，

F

分別是

AB

，

AC

上的點(diǎn)，且∠

EDF

＋∠

BAC

＝180°，求

證：

DE

＝

DF

.

1234

1234

1234【解】如圖，分別延長(zhǎng)

AE

，

CB

，兩線相交于點(diǎn)

F

，過(guò)

點(diǎn)

D

作

DM

⊥

AC

于點(diǎn)

M

.

∵∠

ABC

＝90°，∴∠

ABF

＝90°＝∠

ABC

.

∴∠

FAB

＋∠

F

＝90°.∵

AE

⊥

CD

，∴∠

FCE

＋∠

F

＝90°.∴∠

FAB

＝∠

FCE

.

1234

∴△

ABF

≌△

CBD

(ASA).∴

AF

＝

CD

.

∵

AE

⊥

CD

，∴∠

AEC

＝∠

FEC

＝90°.1234

∴△

ACE

≌△

FCE

(SAS).∴∠

ACE

＝∠

FCE

.

又∵

DM

⊥

AC

，

DB

⊥

BC

，

BD

＝8

cm，∴

DM

＝

DB

＝8

cm，即點(diǎn)

D

到

AC

的距離為8

cm.1234【點(diǎn)方法】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和角的平分

線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明

CD

平分∠

ACB

.

可

以通過(guò)添加輔助線構(gòu)造全等三角形來(lái)證明角相等

，再由

角的平分線的性質(zhì)求得結(jié)論.1234方法4折疊法構(gòu)造對(duì)稱圖形4.

如圖，在△

ABC

中，

AD

平分∠

BAC

，∠

C

＝2∠

B

.

求證：

AC

＋

CD

＝

AB

.

1234【證明】如圖，將△

ACD

沿

AD

折疊，得到△

AED

，

E

恰好落在

AB

上，過(guò)點(diǎn)

E

作

EF

⊥

BC

于點(diǎn)

F

，則△

AED

≌△

ACD

.

∴

ED

＝

CD

，∠

AED

＝∠

C

.

∵∠

AED

＝∠

B

＋∠

EDB

，∴∠

C

＝∠

B

＋∠

EDB

.

又∵∠

C

＝2∠

B

，∴∠

B

＝∠

EDB

.

1234

∴△

EFB

≌△

EFD

(AAS).∴