安全系統(tǒng)工程課件：事故樹分析（三）-事故樹簡(jiǎn)化及最小割集的求法

事故樹簡(jiǎn)化及最小割集的求法本課重難點(diǎn)及教學(xué)目標(biāo)一、事故樹的簡(jiǎn)化二、最小割集和最小徑集三、用布爾代數(shù)法求最小割集課程小結(jié)課程復(fù)習(xí)思考題下次課預(yù)習(xí)要點(diǎn)本課重難點(diǎn)及教學(xué)目標(biāo)本課的重點(diǎn)及難點(diǎn)事故樹的簡(jiǎn)化、事故樹最小割集和最小徑集的基本概念及用布爾代數(shù)法求最小割集的方法。教學(xué)目標(biāo)掌握利用布爾代數(shù)化簡(jiǎn)事故樹、事故樹最小割集和最小徑集的基本概念及用布爾代數(shù)法求最小割集的方法。一、事故樹的簡(jiǎn)化在事故樹初稿編制完成之后，為了較為準(zhǔn)確地計(jì)算頂上事件發(fā)生的概率，需要對(duì)事故樹進(jìn)行仔細(xì)檢查并利用布爾代數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，消除多余事件，特別是在事故樹的不同位置存在相同的基本事件時(shí)，必須利用布爾代數(shù)進(jìn)行整理化簡(jiǎn)，然后才能進(jìn)行定性和定量分析，否則就會(huì)造成定性和定量分析的錯(cuò)誤。一、事故樹的簡(jiǎn)化

簡(jiǎn)化事故樹的作用：（1）去掉不必要基本事件；（2）盡可能去掉重復(fù)基本事件；（3）作出所需要的等效事故樹；（4）為今后作定性和定量分析提供方便。一、事故樹的簡(jiǎn)化化簡(jiǎn)的方法就是反復(fù)運(yùn)用布爾代數(shù)運(yùn)算法則，其化簡(jiǎn)的程序是：（1）根據(jù)事故樹列出布爾代數(shù)式；（2）代數(shù)式若有括號(hào)應(yīng)先去括號(hào)將函數(shù)式展開；（3）用布爾代數(shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)化；（4）作簡(jiǎn)化后的等效事故樹。一、事故樹的簡(jiǎn)化【例2-17】如圖2-26所示的事故樹示意圖，設(shè)頂上事件為T，中間事件為Ai，基本事件為x1、x2、x3，若其基本事件的發(fā)生概率均為0.1，即q1＝q2＝q3＝0.1，求頂上事件的發(fā)生概率。

一、事故樹的簡(jiǎn)化解：根據(jù)事故樹的邏輯關(guān)系，可寫出其布爾代數(shù)表達(dá)式如下：T=A1A2=(x1+x2)x1x3按獨(dú)立事件概率和與積的計(jì)算公式，頂上事件的發(fā)生概率為：QT=[1-(1-q1)(1-q2)]q1q3=[1-(1-0.1)(1-0.1)]×0.1×0.1=0.0019一、事故樹的簡(jiǎn)化由于圖中基本事件x1有重復(fù)，現(xiàn)利用布爾代數(shù)的性質(zhì)對(duì)上面的表達(dá)式進(jìn)行整理、化簡(jiǎn)，則：T=A1A2=(x1+x2)x1x3

（未經(jīng)簡(jiǎn)化形式）=x1x1x3+x2x1x3

（分配律）=x1x3+x1x2x3

（等冪律和交換律）=x1x3

（吸收律）

一、事故樹的簡(jiǎn)化通過化簡(jiǎn)得到結(jié)構(gòu)函數(shù)為x1x3，即由兩個(gè)基本事件組成的、通過一個(gè)與門和頂上事件連接的等效事故樹，如圖2-27所示，其頂上事件發(fā)生的概率為：QT=q1q3=0.01一、事故樹的簡(jiǎn)化

產(chǎn)生上述錯(cuò)誤的原因，是因?yàn)槭鹿蕵渲杏信c頂上事件發(fā)生無關(guān)的基本事件。從化簡(jiǎn)結(jié)果可以看出，如果x1、x3發(fā)生，則不管x2發(fā)生與否，頂上事件都必然發(fā)生。從原事故樹亦可以看出，當(dāng)x2發(fā)生時(shí)，要使頂上事件發(fā)生，也必須有x1、x3都發(fā)生做前提條件，因此x2是多余的事件。故必須簡(jiǎn)化才能正確進(jìn)行事故樹的定性和定量分析，在計(jì)算概率時(shí)，只能按其等效圖進(jìn)行計(jì)算。一、事故樹的簡(jiǎn)化

【例2-18】化簡(jiǎn)如圖2-28所示的事故樹，并作等效事故樹圖。

解：根據(jù)圖2-28，其結(jié)構(gòu)函數(shù)為：T=A1A2=(A3+x1)(x4+A4)=(x2x3+x1)(x4+A5x1)=(x2x3+x1)[x4+(x2+x4)x1]（未經(jīng)簡(jiǎn)化形式）=(x2x3+x1)[x4+x2x1+x4x1]（分配律）一、事故樹的簡(jiǎn)化=x2x3x4+x2x3x2x1+x2x3x4x1+x1x4+x1x2x1+x1x4x1=x1x2x2x3+x1x2x3x4+x1x2x1+x1x4x1+x2x3x4+x1x4

（交換律）=x1x2x3+x1x2x3x4+x1x2+x1x4+x2x3x4

（等冪律）=x1x2+x2x3x4+x1x4

（吸收律）根據(jù)化簡(jiǎn)后的事故樹結(jié)構(gòu)式，作出其等效事故樹如圖2-29所示。二、最小割集和最小徑集1、基本概念（1）割集和最小割集

割集：指的是事故樹中某些基本事件的集合，當(dāng)這些基本事件都同時(shí)發(fā)生時(shí)，頂上事件必然發(fā)生。所以系統(tǒng)的割集也就是系統(tǒng)的故障模式。二、最小割集和最小徑集

最小割集：如果在某個(gè)割集中任意除去一個(gè)基本事件就不再是割集了（凡不包含其它割集的割集），這樣的割集就稱為最小割集。即導(dǎo)致頂上事件發(fā)生的最低限度的基本事件組合。二、最小割集和最小徑集（2）徑集和最小徑集

徑集：指的是事故樹中某些基本事件的集合，當(dāng)這些基本事件都不同時(shí)發(fā)生時(shí)，頂上事件必然不發(fā)生。所以系統(tǒng)的徑集也代表了系統(tǒng)的正常模式，即系統(tǒng)成功的一種可能性。二、最小割集和最小徑集

最小徑集：如果在某個(gè)徑集中任意除去一個(gè)基本事件就不再是徑集了（凡不包含其它徑集的徑集），這樣的徑集就稱為最小徑集。即不能導(dǎo)致頂上事件發(fā)生的最低限度的基本事件組合。二、最小割集和最小徑集2、最小割集的求法

最小割集的求法有布爾代數(shù)法、行列法（富塞爾法）、矩陣法等。3、最小徑集的求法

最小徑集的求法有對(duì)偶樹法、布爾代數(shù)法、行列法、組合排除法等。三、用布爾代數(shù)法求最小割集根據(jù)布爾代數(shù)的性質(zhì)，可把任何布爾函數(shù)化為析取和合取兩種標(biāo)準(zhǔn)形式。析取標(biāo)準(zhǔn)形式為：合取標(biāo)準(zhǔn)形式為：三、用布爾代數(shù)法求最小割集因此，根據(jù)前述例子，歸納起來，用布爾代數(shù)法求最小割集，通常分三個(gè)步驟：1）首先列出事故樹的布爾代數(shù)表達(dá)式，即從事故樹的第一層輸入事件開始，“或門”的輸入事件用邏輯加表示，“與門”的輸入事件用邏輯乘表示。一般從事故樹的頂上事件開始，用下一層事件代替上一層事件，直到頂上事件被所有基本事件代替完為止。三、用布爾代數(shù)法求最小割集2）然后將布爾表達(dá)式化為析取標(biāo)準(zhǔn)式；布爾表達(dá)式整理后得到若干個(gè)交集的并集，每一個(gè)交集就是一個(gè)割集。3）化析取標(biāo)準(zhǔn)式為最簡(jiǎn)析取標(biāo)準(zhǔn)式，利用布爾代數(shù)運(yùn)算定律化簡(jiǎn)，就可以求出最小割集。三、用布爾代數(shù)法求最小割集

現(xiàn)仍以圖2-30所示為例，用布爾代數(shù)法進(jìn)行化簡(jiǎn)：T=A1x8=A2A5x8=(A3+A4)A6x7x8=(x1+x2+x3+x4)(x5+x6)x7x8=(x1+x2+x3+x4)(x5x7x8+x6x7x8)=x1x5x7x8+x2x5x7x8+x3x5x7x8+x4x5x7x8+X1x6x7x8+x2x6x7x8+x3x6x7x8+x4x6x7x8所得的八個(gè)最小割集{x1，x5，x7，x8}，{x2，x5，x7，x8}，{x3，x5，x7，x8}，{x4，x5，x7，x8}，{x1，x6，x7，x8}，{x2，x6，x7，x8}，{x3，x