安全系統(tǒng)工程課件：事故樹分析（四）-行列法及最小徑集的求法

行列法及最小徑集的求法本課重難點及教學(xué)目標(biāo)一、用行列法求最小割集二、最小徑集的求法三、判別割（徑）集數(shù)目的方法四、min割集和min徑集在FTA分析中的作用課程小結(jié)課程復(fù)習(xí)思考題下次課預(yù)習(xí)要點本課重難點及教學(xué)目標(biāo)本課的重點及難點用行列法求最小割集的方法、最小徑集的求法、判別割（徑）集數(shù)目的方法以及最小割集和最小徑集在事故樹分析中的作用。教學(xué)目標(biāo)掌握用行列法求最小割集的方法、最小徑集的求法、判別割（徑）集數(shù)目的方法以及最小割集和最小徑集在事故樹分析中的作用。一、用行列法求最小割集

行列法：又稱下行法，這種方法是1972年由福塞爾（Fussel）提出的，所以又稱福塞爾法。該算法的基本原理：是從頂上事件開始，由上往下進(jìn)行，“與門”僅增加割集的容量（即割集內(nèi)所包含的基本事件的個數(shù)），而不增加割集的數(shù)量；“或門”則增加割集的數(shù)量，而不增加割集的容量。一、用行列法求最小割集每一步均按照上述的原則，由上而下排列，依次把上一層的事件代換為下一層的事件。代換時，把“與門”連接的輸入事件按行橫向排列，把“或門”連接的輸入事件按列縱向排列，這樣逐層向下，直到所有邏輯門都置換成基本事件為止。得到的全部事件積的和，即是布爾割集，再經(jīng)過布爾代數(shù)進(jìn)行化簡，便得到所求的最小割集。一、用行列法求最小割集富塞爾的基本原理：與門使最小割集容量增大；或門使最小割集數(shù)量增加。

【例2-19】為了說明這種計算方法，現(xiàn)以圖2-30所示的從腳手架上墜落傷亡事故事故樹為例，采用行列法求其最小割集。解：其求解步驟如下：一、用行列法求最小割集二、最小徑集的求法對偶樹法根據(jù)對偶原理，事故樹頂上事件發(fā)生，就是其對偶樹（成功樹）頂上事件不發(fā)生。因此，求最小徑集的方法為：二、最小徑集的求法（1）求最小徑集是利用它與最小割集的對偶性，首先作出與事故樹對偶的成功樹。

方法：就是將原來事故樹中的“或門”換成“與門”，“與門”換成“或門”，各類事件發(fā)生換成不發(fā)生，即將全部事件符號加上“′”，變成事件補的形式，這樣便可得到與原事故樹對偶的成功樹。二、最小徑集的求法（2）然后，利用前述求取最小割集的方法求出成功樹的最小割集并經(jīng)對偶變換后就得到事故樹的最小徑集。圖2-31給出了兩種常用轉(zhuǎn)換方法。二、最小徑集的求法

為什么要像這樣轉(zhuǎn)換呢？因為，對于“與門”連接輸入事件和輸出事件的情況，只要有一個事件不發(fā)生，輸出事件就可以不發(fā)生，故在成功樹中換用“或門”連接輸入事件和輸出事件；而對于“或門”連接的輸入事件和輸出事件的情況，則必須所有輸入事件均不發(fā)生時，輸出事件才不發(fā)生，故在成功樹中換用“與門”連接輸入事件和輸出事件。二、最小徑集的求法

圖2-32所示即為與圖2-30的事故樹對偶的成功樹。二、最小徑集的求法例如采用行列法求如圖2－30所示的事故樹的最小徑集的求解過程如下所示。最小徑集（成功樹）。二、最小徑集的求法

這樣便得到成功樹的四個最小割集，經(jīng)過對偶變換后就是事故樹的4個最小徑集，其合取標(biāo)準(zhǔn)形式為：

每一個邏輯和就是一個最小徑集，則得到事故樹的4個最小徑集為：{x1，x2，x3，x4}，{x5，x6}，{x7}，{x8}

二、最小徑集的求法同樣，也可以用最小徑集來表示事故樹，如圖2-33所示。其中P1、P2、P3、P4分別表示4個最小徑集。三、判別割（徑）集數(shù)目的方法從以上例題可以看出，同一事故樹中最小割集和最小徑集的的數(shù)目往往是不相等的。就一個具體的系統(tǒng)而言，如果在事故樹中的與門多、或門少時，則最小割集的數(shù)目較少，分析時從最小割集入手較為簡便；反之，若或門多與門少時，則最小徑集數(shù)目較少，分析時從最小徑集入手較為簡便。四、判別割（徑）集數(shù)目的方法若遇到很復(fù)雜的系統(tǒng)，往往很難根據(jù)邏輯門的數(shù)目來判定割(徑)集的數(shù)目。在求最小割集的行列法中曾指出，與門僅增加割集的容量(即基本事件的個數(shù))，而不增加割集的數(shù)量，或門則增加割集的數(shù)量，而不增加割集的容量。根據(jù)這一原理，下面介紹一種用“加乘法”求割(徑)集數(shù)目的方法。

四、判別割（徑）集數(shù)目的方法該法給每個基本事件賦值為1，直接利用“加乘法”求割(徑)集數(shù)目。但要注意，求割集數(shù)目和徑集數(shù)目，要分別在事故樹和成功樹上進(jìn)行。四、判別割（徑）集數(shù)目的方法

【例2-21】如圖2-34所示，首先根據(jù)事故樹畫出其成功樹，再給各基本事件賦予“1”，然后根據(jù)輸入事件與輸出事件之間的邏輯門確定“加”或“乘”，若遇到或門就用“加”，遇到與門則用“乘”。四、判別割（徑）集數(shù)目的方法從上例可看出，割集數(shù)目比徑集數(shù)目多，此時用徑集分析要比用割集分析簡單。如果估算出某事故樹的割、徑集數(shù)目相差不多，一般從分析割集入手較好。這是因為最小割集的意義是導(dǎo)致事故發(fā)生的各種途徑，得出的結(jié)果簡明、直觀。另外，在做定量分析時，用最小割集分析，還可采用較多的近似公式，而最小徑集則不能。四、判別割（徑）集數(shù)目的方法

必須注意，用上述方法得到的是割、徑集數(shù)目，不是最小割、徑集的數(shù)目，而是最小割、徑集的上限。只有當(dāng)事故樹中沒有重復(fù)的基本事件時，得到的割、徑集的數(shù)目才是最小割、徑集數(shù)目。五、Min割集和Min徑集在FTA分析中的作用1、最小割集在事故樹分析中的作用歸納起來有四個方面:（1）表示系統(tǒng)的危險性。最小割集的定義明確指出，每一個最小割集都表示頂事件發(fā)生的一種可能，事故樹中有幾個最小割集，頂事件發(fā)生就有幾種可能。從這個意義上講，最小割集越多，說明系統(tǒng)的危險性越大。五、Min割集和Min徑集在FTA分析中的作用（2）表示頂事件發(fā)生的原因組合。事故樹頂事件發(fā)生，必然是某個最小割集中基本事件同時發(fā)生的結(jié)果。一旦發(fā)生事故，就可以方便地知道所有可能發(fā)生事故的途徑，并可以逐步排除非本次事故的最小割集，而較快地查出本次事故的最小割集，這就是導(dǎo)致本次事故的基本事件的組合。顯而易見，掌握了最小割集，對于掌握事故的發(fā)生規(guī)律，調(diào)查事故發(fā)生的原因有很大的幫助。五、Min割集和Min徑集在FTA分析中的作用（3）為降低系統(tǒng)的危險性提出控制方向和預(yù)防措施。每個最小割集都代表了一種事故模式。由事故樹的最小割集可以直觀地判斷哪種事故模式最危險，哪種次之，哪種可以忽略，以及如何采取措施使事故發(fā)生概率下降。（4）利用最小割集可以判定事故樹中基本事件的結(jié)構(gòu)重要度和方便地計算頂上事件發(fā)生的概率。五、Min割集和Min徑集在FTA分析中的作用2、最小徑集在事故樹分析中的作用

主要表現(xiàn)在以下三個方面:（1）表示系統(tǒng)的安全性。最小徑集表明，一個最小徑集中所包含的基本事件都不發(fā)生，就可防止頂事件發(fā)生。可見，每一個最小徑集都是保證事故樹頂事件不發(fā)生的條件，是采取預(yù)防措施，防止發(fā)生事故的一種途徑。從這個意義上來說，最小徑集表示了系統(tǒng)的安全性。五、Min割集和Min徑集在FTA分析中的作用（2）選取確保系統(tǒng)安全的最佳方案。每一個最小徑集都是防止頂事件發(fā)生的一個方案，可以根據(jù)最小徑集中所包含的基本事件個數(shù)的多少、技術(shù)上的難易程度、耗費的時間以及投入的資金數(shù)量，來選擇最經(jīng)濟、最有效地控制事故的方案。五、Min割集和Min徑集在FTA分析中的作用（3）利用最小徑集同樣可以判定事故樹中基本事件的結(jié)構(gòu)重要度和計算頂事件發(fā)生的概率。在事故樹分析中，根據(jù)具體情況，有時應(yīng)用最小徑集更為方便。

五、Min割集和Min徑集在FTA分析中的作用就某個系統(tǒng)而言，如果事故樹中與門多，則其最小割集的數(shù)量就少，定性分析最好從最小割集入手。反