江蘇省常州市達標名校2025屆數學高二上期末質量檢測試題含解析

江蘇省常州市達標名校2025屆數學高二上期末質量檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過橢圓+=1左焦點F1引直線交橢圓于A、B兩點，F2是橢圓的右焦點，則△ABF2的周長是（）A.20 B.18C.10 D.162．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，點在棱上，且，則與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.3．某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現，紅燈持續(xù)時間為40秒．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待18秒才出現綠燈的概率為（）A B.C. D.4．用反證法證明命題“a，b∈N，如果ab可以被5整除，那么a，b至少有1個能被5整除．”假設內容是()A.a，b都能被5整除 B.a，b都不能被5整除C.a不能被5整除 D.a，b有1個不能被5整除5．（文科）已知點為曲線上的動點,為圓上的動點,則的最小值是A.3 B.5C. D.6．已知數列是等比數列，數列是等差數列，若，則（）A. B.C. D.7．如圖，在四面體OABC中，，，，點在線段上，且，為的中點，則等于（）A. B.C. D.8．積分（）A. B.C. D.9．過雙曲線右焦點F作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為A，與另一條漸近線交于點B，若，則雙曲線C的離心率為（）A.或 B.2或C.或 D.2或10．在三棱錐中，，，，若，，則（）A. B.C. D.11．隨機抽取甲乙兩位同學連續(xù)9次成績（單位：分），得到如圖所示的成績莖葉圖，關于這9次成績，則下列說法正確的是（）A.甲成績的中位數為33 B.乙成績的極差為40C.甲乙兩人成績的眾數相等 D.甲成績的平均數低于乙成績的平均數12．已知為原點，點，以為直徑的圓的方程為()A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓的弦被點平分，則這條弦所在的直線方程是________14．下列說法中，正確的有_________（填序號）.①“”是“方程表示橢圓”的必要而不充分條件；②若：，則：；③“，”的否定是“，”；④若命題“”為假命題，則命題一定是假命題；⑤是直線：和直線：垂直的充要條件.15．在數列中，，，記是數列的前項和，則=___.16．若直線與直線平行，則________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓C的圓心在直線上，且過點，（1）求圓C的方程；（2）過點作圓C的切線，求切線的方程18．（12分）如圖，在空間四邊形中，分別是的中點，分別在上，且（1）求證：四點共面；（2）設與交于點，求證：三點共線.19．（12分）已知雙曲線，直線l與交于P、Q兩點（1）若點是雙曲線的一個焦點，求的漸近線方程；（2）若點P的坐標為，直線l的斜率等于1，且，求雙曲線的離心率20．（12分）設函數（I）求曲線在點處的切線方程；（II）設，若函數有三個不同零點，求c的取值范圍21．（12分）已知公差不為0的等差數列的前項和為，且，，成等比數列，且.（1）求的通項公式；（2）若，求數列的前n項和.22．（10分）在平面直角坐標系中，已知點，軸于點，是線段上的動點，軸于點，于點，與相交于點.（1）判斷點是否在拋物線上，并說明理由；（2）過點作拋物線的切線交軸于點，過拋物線上的點作拋物線的切線交軸于點，……，以此類推，得到數列，求，及數列的通項公式.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據橢圓的定義求得正確選項.【詳解】依題意，根據橢圓的定義可知，三角形的周長為.故選：A2、C【解析】取AC的中點M，過點M作，且使得，進而證明平面，然后判斷出是與平面所成的角，最后求出答案.【詳解】如圖，取AC的中點M，因為，則，過點M作，且使得，則四邊形BDNM是平行四邊形，所以.由題意，平面ABC，則平面ABC，而平面ABC，所以，又，所以平面，而所以平面，連接DA,NA，則是與平面所成的角.而，于是，.故選：.3、B【解析】由幾何概型公式求解即可.【詳解】紅燈持續(xù)時間為40秒，則至少需要等待18秒才出現綠燈的概率為，故選：B4、B【解析】由于反證法是命題的否定的一個運用，故用反證法證明命題時，可以設其否定成立進行推證．命題“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1個能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”考點：反證法5、A【解析】數形結合分析可得,當時能夠取得的最小值,根據點到圓心的距離減去半徑求解即可.【詳解】由對勾函數的性質,可知,當且僅當時取等號,結合圖象可知當A點運動到時能使點到圓心的距離最小,最小為4,從而的最小值為.故選：A【點睛】本題考查兩動點間距離的最值問題,考查轉化思想與數形結合思想,屬于中檔題.6、A【解析】結合等差中項和等比中項分別求出和，代值運算化簡即可.【詳解】由是等比數列可得，是等差數列可得，所以，故選：A7、D【解析】利用空間向量的加法與減法可得出關于、、的表達式.【詳解】.故選：D.8、B【解析】根據定積分的幾何意義求值即可.【詳解】由題設，定積分表示圓在x軸的上半部分，所以.故選：B9、D【解析】求得點A，B的坐標，利用轉化為坐標比求解.【詳解】不妨設直線，由題意得，解得，即；由得，即，因為，所以，所以當時，，；當時，，則，故選：D10、B【解析】根據空間向量的基本定理及向量的運算法則計算即可得出結果.【詳解】連接,因為，所以，因為，所以，所以,故選：B11、D【解析】按照莖葉圖所給的數據計算即可.【詳解】由莖葉圖可知，甲的成績?yōu)椋?1，22，23，24，32，32，33，41，52，其中位數為32，眾數為32，平均數為；乙的成績?yōu)椋?0，22，31，32，35，42，42，50，52，極差為52-10=42，眾數為42，平均數為；由以上數據可知，A錯誤，B錯誤，C錯誤，D正確；故選：D.12、A【解析】求圓的圓心和半徑，根據圓的標準方程即可求解﹒【詳解】由題知圓心為，半徑，∴圓方程為﹒故選：A﹒二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2x＋4y－3＝0【解析】設弦端點為，又A，B在橢圓上，、即直線AB的斜率為直線AB的方程為，.14、①【解析】根據橢圓方程的結構特征可判斷①；注意到分式不等式分母不等于0可判斷②；由全稱命題的否定可判斷③；根據復合命題的真假可判斷④；由直線垂直的充要條件可判斷⑤.【詳解】①中，當時，方程為，表示圓，若方程表示橢圓，則，解得或，故①正確；②中，，故為：，而，故②不正確；③中，“，”的否定應為“，”，故③不正確；④中，若命題“”為假命題，有可能為真或為假，故④不正確；⑤中，，解得或，故是直線：和直線：垂直的充分不必要條件，故⑤不正確.故答案為：①15、930【解析】當為偶數時，，所以數列前60項中偶數項的和，當為奇數時，，因此數列是以1為首項，公差為2等差數列，前60項中奇數項的和為，所以.考點：遞推數列、等差數列.16、【解析】根據直線平行的充要條件即可求出【詳解】當時，顯然兩直線不平行，所以依題有，解得故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】(1)由圓心在直線上，設，由點在圓上，列方程求，由此求出圓心坐標及半徑，確定圓的方程；(2)當切線的斜率存在時，設其方程為，由切線的性質列方程求，再檢驗直線是否為切線，由此確定答案.小問1詳解】因為圓C的圓心在直線上，設圓心的坐標為，圓C過點，，所以，即，解得，則圓心，半徑，所以圓的方程為；【小問2詳解】當切線的斜率存在時，設直線的方程為，即，因為直線和圓相切，得，解得，所以直線方程為，當切線的斜率不存在時，易知直線也是圓的切線，綜上，所求的切線方程為或18、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）根據題意，利用中位線定理和線段成比例，先證明，進而證明問題；（2）先證明平面，平面，進而證明點P在兩個平面的交線上，然后證得結論.【小問1詳解】連接分別是的中點，.在中，.所以四點共面.【小問2詳解】，所以，又平面平面，同理：，平面平面，為平面與平面的一個公共點.又平面平面，即三點共線.19、（1）（2）或【解析】（1）根據題意可得，又因為且，解得，可得雙曲線方程，進而可得的漸近線方程（2）設直線的方程為：，，，聯立直線與雙曲線方程，可得關于的一元二次方程，由韋達定理可得，，再由兩點之間距離公式得，解得，進而由可求出，即可求得離心率.【小問1詳解】∵點是雙曲線的一個焦點，∴，又∵且，解得，∴雙曲線方程為，∴的漸近線方程為：；小問2詳解】設直線的方程為，且，，聯立，可得，則，∴，即，∴，解得或，即由可得或，故雙曲線的離心率或.20、（1）（2）【解析】（1）由導數幾何意義得切線斜率為，再根據點斜式寫切線方程；（2）由函數圖像可知，極大值大于零且極小值小于零，解不等式可得c的取值范圍試題解析：解：（I）由，得因為，，所以曲線在點處的切線方程為（II）當時，，所以令，得，解得或與在區(qū)間上的情況如下：所以，當且時，存在，，，使得由的單調性知，當且僅當時，函數有三個不同零點21、（1）（2）【解析】（1）根據等差數列的通項公式和等比中項，可得，再根據等差數列的前項和公式，即可求出，，進而求出結果；（2）由（1）得，結合等比數列前項和公式和對數運算性質，利用分組求和，即可求出結果.【小問1詳解】解：設的公差為，由，，成等比數列可知，即，化簡得.由可得，所以.將代入，得，，所以.小問2詳解】解：由（1）得，所以.22、（1）在拋物線上，理由見解析（2）,,.【解析】（1）根據直線的方程設出點的坐標，利用已知條件求出點的坐標即可判斷點是否在拋物線上；（2）設出直線的直線方程，與拋物線聯立，令，即可求出，同理可以求出，設出直線的直線方程，與拋物線聯立，令即可求出的方程，若令，，即，故數列是首項，公比為的等比數列，即可求出數列的通項公式.【小問1詳解】