安徽省霍邱一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

安徽省霍邱一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)該橢圓的四個頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的周長最小時，其標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.2．已知直線，若圓C的圓心在軸上，且圓C與直線都相切，求圓C的半徑（）A. B.C.或 D.3．若方程表示雙曲線，則此雙曲線的虛軸長等于（）A. B.C. D.4．實(shí)數(shù)且，，則連接，兩點(diǎn)的直線與圓C：的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相切C.相交 D.不能確定5．一直線過點(diǎn)，則此直線的傾斜角為（）A.45° B.135°C.－45° D.－135°6．方程化簡的結(jié)果是（）A. B.C. D.7．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)與向量的模長分別是（）A.；5 B.；C.； D.；8．中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則等于（）A. B.C. D.9．校慶當(dāng)天，學(xué)校需要在靠墻的位置用圍欄圍起一個面積為200平方米的矩形場地.用來展示校友的書畫作品.靠墻一側(cè)不需要圍欄，則圍欄總長最小需要（）米A.20 B.40C. D.10．已知圓的方程為，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.11．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.C. D.12．已知直線交圓于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則直線l被圓C截得線段的長是（）A.3 B.2C. D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知曲線，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為______14．若圓心坐標(biāo)為圓被直線截得的弦長為，則圓的半徑為______.15．為和的等差中項(xiàng)，則_____________.16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則該數(shù)列的首項(xiàng)__________，通項(xiàng)公式__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時，若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍18．（12分）已知橢圓C：的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、，橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)最近的距離為.（1）求橢圓C的方程；（2）若經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時，求直線的方程.19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面滿足，，底面，且，.（1）證明平面；（2）求平面與平面的夾角.20．（12分）新型冠狀病毒的傳染主要是人與人之間進(jìn)行傳播，感染人群年齡大多數(shù)是歲以上人群.該病毒進(jìn)入人體后有潛伏期.潛伏期是指病原體侵入人體至最早出現(xiàn)臨床癥狀的這段時間.潛伏期越長，感染到他人的可能性越高.現(xiàn)對個病例的潛伏期(單位：天)進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)潛伏期平均數(shù)為，方差為.如果認(rèn)為超過天的潛伏期屬于“長潛伏期”，按照年齡統(tǒng)計(jì)樣本，得到下面的列聯(lián)表：年齡/人數(shù)長期潛伏非長期潛伏50歲以上6022050歲及50歲以下4080（1）是否有的把握認(rèn)為“長期潛伏”與年齡有關(guān)；（2）假設(shè)潛伏期服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.（i）現(xiàn)在很多省市對入境旅客一律要求隔離天，請用概率知識解釋其合理性；（ii）以題目中的樣本頻率估計(jì)概率，設(shè)個病例中恰有個屬于“長期潛伏”的概率是，當(dāng)為何值時，取得最大值.附：0.10.050.0102.7063.8416.635若，則，，.21．（12分）已知空間三點(diǎn).（1）求以為鄰邊平行四邊形的周長和面積;（2）若，且分別與垂直，求向量的坐標(biāo).22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為.點(diǎn)P是橢圓上的一動點(diǎn)，且P在第一象限.記的面積為S，當(dāng)時，.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，PF1，PF2的延長線分別交橢圓于點(diǎn)M，N，記和的面積分別為S1和S2.（i）求證：存在常數(shù)λ，使得成立；（ii）求S2-S1的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】把點(diǎn)代入橢圓方程得，寫出橢圓頂點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算四邊形周長討論它取最小值時的條件即得解.【詳解】依題意得，橢圓的四個頂點(diǎn)為，順次連接這四個點(diǎn)所得四邊形為菱形，其周長為，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，由得a2=12，b2=4，所求標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A【點(diǎn)睛】給定兩個正數(shù)和(兩個正數(shù)倒數(shù)和)為定值，求這兩個正數(shù)倒數(shù)和(兩個正數(shù)和)的最值問題，可借助基本不等式中“1”的妙用解答.2、C【解析】設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用圓心到直線的距離相等列方程，求得圓心坐標(biāo)并求得圓的半徑.【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為，則或，所以圓的半徑為或.故選：C3、B【解析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程直接判斷.【詳解】方程即為，由方程表示雙曲線，可得，所以，，所以虛軸長為，故選：B.4、B【解析】由題意知，m，n是方程的根,再根據(jù)兩點(diǎn)式求出直線方程，利用圓心到直線的距離與半徑之間的關(guān)系即可求解.【詳解】由題意知，m，n是方程的根，，，過，兩點(diǎn)的直線方程為：，圓心到直線的距離為：，故直線和圓相切，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】根據(jù)斜率公式求得直線的斜率，得到，即可求解.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由斜率公式，可得，即，因?yàn)?，所以，即此直線的傾斜角為.故選：A.6、D【解析】由方程的幾何意義得到是橢圓，進(jìn)而得到焦點(diǎn)和長軸長求解.【詳解】∵方程，表示平面內(nèi)到定點(diǎn)、的距離的和是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，∴它的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸，焦距的橢圓；∴；∴橢圓的方程是，即為化簡的結(jié)果故選：D7、B【解析】根據(jù)給定條件利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及空間向量模長的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【詳解】因點(diǎn)，，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，.故選：B8、A【解析】由題得，進(jìn)而根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】解：依題意，即，所以，所以，由于，所以故選：A9、B【解析】在出矩形中，設(shè)，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解【詳解】如圖所示，在矩形中，設(shè)，則，根據(jù)題意，可得矩形圍欄總長為因?yàn)?，可得，?dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，即圍欄總長最小需要米.故選：B.10、C【解析】根據(jù)可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楸硎緢A，所以，解得.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握方程表示圓的條件是解題關(guān)鍵.11、A【解析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換，由逆向變換即可求解.【詳解】由已知的函數(shù)逆向變換，第一步，向左平移個單位長度，得到的圖象；第二步，圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，即的圖象.故.故選：A12、B【解析】由題設(shè)知為圓的圓心且A、B在圓上，根據(jù)已知及向量數(shù)量積的定義求的大小，進(jìn)而判斷△的形狀，即可得直線l被圓C截得線段的長.【詳解】∵點(diǎn)為圓的圓心且A、B在圓上，又，∴，∴，又，∴，故△為等邊三角形，∴直線l被圓C截得線段的長是2故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率即得解.【詳解】解：由題得，所以切線的斜率為，所以切線的方程為即.故答案為：14、【解析】利用垂徑定理計(jì)算即可.【詳解】設(shè)圓的半徑為，則，得.故答案為：.15、【解析】利用等差中項(xiàng)的定義可求得結(jié)果.【詳解】由等差中項(xiàng)的定義可得.故答案為：.16、①.；②..【解析】空一：利用代入法直接進(jìn)行求解即可；空二：利用之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】空一：；空二：當(dāng)時，，顯然不適合上式，所以，故答案為：；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）極大值；極小值（2）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)來求得的極大值和極小值.（2）由不等式分離常數(shù)，通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時，，，令，可得或2所以在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減.故當(dāng)時．函數(shù)有極大值，故當(dāng)時，函數(shù)有極小值；【小問2詳解】由，有，可化為，令，有，令，有，令，可得，可得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，有，可知，有函數(shù)為減函數(shù)，有，故當(dāng)時，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為【點(diǎn)睛】求解不等式恒成立問題，可利用分離常數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求最值來求解.在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的過程中，如果一階導(dǎo)數(shù)無法解決，可考慮利用二階導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行求解.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意得，，進(jìn)而解方程即可得答案；（2）根據(jù)題意設(shè)直線的方程，，，進(jìn)而，再聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理求解即可.【小問1詳解】解：因?yàn)闄E圓C：的離心率為，所以，因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)最近的距離為，所以所以，所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)直線的方程，，設(shè)，聯(lián)立方程得，所以，解得或.，所以的面積為令，則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.所以當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時，直線的方程為.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由已知結(jié)合線面平行判定定理可得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法可解.【小問1詳解】∵，，∴，又平面，平面，∴平面；【小問2詳解】∵平面且、平面，∴，，又∵，故分別以所在直線為軸，軸、軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：由，，可得：，，，，，由已知平面，平面，，，，，平面，所以平面，為平面的一個法向量，且；設(shè)為平面的一個法向量，則，，，，，，，令，則，，，設(shè)平面與平面的夾角大小為，，由得：平面與平面的夾角大小為20、（1）有；（2）（i）答案見解析；（ii）250.【解析】（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，利用求得，與臨界表值對比下結(jié)論；（2）(ⅰ)根據(jù)，利用小概率事件判斷；(ⅱ)易得一個患者屬于“長潛伏期”的概率是，進(jìn)而得到，然后判斷其單調(diào)性求解.【詳解】（1）依題意有，由于，故有的把握認(rèn)為“長期潛伏”與年齡有關(guān)；（2）(ⅰ)若潛伏期，由，得知潛伏期超過天的概率很低，因此隔離天是合理的；(ⅱ)由于個病例中有個屬于長潛伏期，若以樣本頻率估計(jì)概率，一個患者屬于“長潛伏期”的概率是，于是，則，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；∴，.故當(dāng)時，取得最大值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式可以簡化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式的三個條件：(1)在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是一個常數(shù)p；(2)n次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn)，而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；(3)該公式表示n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了k次的概率21、（1）周長為，面積為7.（2）或.【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)，求出向量，利用向量的摸公式即可求出的距離，可以求出周長，再利用向量的夾角公式求出夾角的余弦值，根據(jù)平方關(guān)系得到正弦值，再利用即可求解；（2）首先設(shè)出，根據(jù)題意可得出的方程組，解出滿足條件所有的值即可求解.【小問1詳解】由題中條件可知，，,，.所以以為鄰邊的平行四邊形的周長為.因?yàn)椋驗(yàn)?，所?所以.故以以為鄰邊的平行四邊形的面積為：.【小問2詳解】設(shè)，則，，因?yàn)?，且分別與垂直，得，解得或所以向量的坐標(biāo)為或.22、（1）（2）(i)存在常數(shù)，使得成立；(ii)的最大值為.【解析】(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用面積和離心率，可