2025屆吉林省長春市九臺市師范中高二上數(shù)學期末經(jīng)典試題含解析

2025屆吉林省長春市九臺市師范中高二上數(shù)學期末經(jīng)典試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設函數(shù)在R上可導，則（）A. B.C. D.以上都不對2．已知拋物線上一點到焦點的距離為3，準線為l，若l與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形面積為，則雙曲線C的離心率為（）A.3 B.C. D.3．若的解集是，則等于（）A.-14 B.-6C.6 D.144．已知不等式的解集為，關(guān)于x的不等式的解集為B，且，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.5．已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，點A的坐標為，點P是雙曲線在第二象限的部分上一點，且，點Q是線段的中點，且，Q關(guān)于直線PA對稱，則雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.6．已知等差數(shù)列，，，則數(shù)列的前項和為（）A. B.C. D.7．橢圓的焦點坐標為（）A.和 B.和C.和 D.和8．某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費用（萬元）4235銷售額（萬元）49263954根據(jù)上表可得回歸方程中的為9.4，據(jù)此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為A.63.6萬元 B.65.5萬元C.67.7萬元 D.72.0萬元9．已知函數(shù)，在上隨機任取一個數(shù)，則的概率為（）A. B.C. D.10．試在拋物線上求一點，使其到焦點的距離與到的距離之和最小，則該點坐標為A. B.C. D.11．已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則導函數(shù)f(x)的圖象可能是（）A. B.C. D.12．已知雙曲線，過點作直線l與雙曲線交于A，B兩點，則能使點P為線段AB中點的直線l的條數(shù)為()A.0 B.1C.2 D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．長方體中，，，已知點H，A，三點共線，且，則點H到平面ABCD的距離為______14．已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則實數(shù)______15．若動直線分別與函數(shù)和的圖像交于A，B兩點，則的最小值為______16．在空間直角坐標系中，已知，，，，則___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖在四棱錐中，底面是菱形，，平面平面，，，為的中點，是棱上的一點，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）設函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)的極值.19．（12分）已知圓C的圓心在直線上，且過點，（1）求圓C的方程；（2）過點作圓C的切線，求切線的方程20．（12分）已知點，圓，點Q在圓上運動，的垂直平分線交于點P.（1）求動點P的軌跡的方程；（2）過點的動直線l交曲線C于A、B兩點，在y軸上是否存在定點T，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點T的坐標，若不存在，請說明理由.21．（12分）已知圓的圓心在第一象限內(nèi)，圓關(guān)于直線對稱，與軸相切，被直線截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）若點，求過點的圓的切線方程.22．（10分）如圖，四棱錐中，，.（1）證明：平面；（2）在線段上是否存在一點，使直線與平面所成角的正弦值等于？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)極限的定義計算【詳解】由題意故選：B2、C【解析】先由已知結(jié)合拋物線的定義求出，從而可得拋物線的準線方程，則可求出準線l與兩條漸近線的交點分別為，然后由題意可得，進而可求出雙曲線的離心率詳解】依題意，拋物線準線，由拋物線定義知，解得，則準線，雙曲線C的兩條漸近線為，于是得準線l與兩條漸近線的交點分別為，原點為O，則面積，雙曲線C的半焦距為c，離心率為e，則有，解得故選：C3、A【解析】由一元二次不等式的解集，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求參數(shù)a、b，即可得.【詳解】∵的解集為，∴-5和2為方程的兩根，∴有，解得，∴.故選：A.4、B【解析】解出不等式可得集合，由可得，然后可得在上恒成立，然后分離參數(shù)求解即可.【詳解】由得，，解得，因為，所以所以可得在上恒成立，即在上恒成立，故只需，，當時，，故故選：B5、C【解析】由角平分線的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件即可求雙曲線的離心率.【詳解】由題設，易知：，由知：，即，整理得：.故選：C6、A【解析】求出通項，利用裂項相消法求數(shù)列的前n項和.【詳解】因為等差數(shù)列，，，所以，所以，所以數(shù)列的前項和為故B，C，D錯誤.故選：A.7、D【解析】本題是焦點在x軸的橢圓，求出c，即可求得焦點坐標.【詳解】，可得焦點坐標為和.故選：D8、B【解析】，∵數(shù)據(jù)的樣本中心點在線性回歸直線上，回歸方程中的為9.4，∴42=9．4×3．5+a，∴=9．1，∴線性回歸方程是y=9．4x+9．1，∴廣告費用為6萬元時銷售額為9．4×6+9．1=65．5考點：線性回歸方程9、A【解析】先解不等式，然后由區(qū)間長度比可得.【詳解】解不等式，得，所以，即的概率為.故選：A10、A【解析】由題意得拋物線的焦點為，準線方程為過點P作于點，由定義可得,所以，由圖形可得，當三點共線時，最小，此時故點的縱坐標為1，所以橫坐標．即點P的坐標為．選A點睛：與拋物線有關(guān)的最值問題的解題策略該類問題一般解法是利用拋物線的定義，實現(xiàn)由點到點的距離與點到直線的距離的轉(zhuǎn)化(1)將拋物線上的點到準線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離，構(gòu)造出“兩點之間線段最短”，使問題得解；(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為點到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中的垂線段最短”解決11、D【解析】根據(jù)導函數(shù)正負與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系可作答【詳解】原函數(shù)在上先減后增，再減再增，對應到導函數(shù)先負再正，再負再正，且原函數(shù)在處與軸相切，故可知，導函數(shù)圖象為D故選：D12、A【解析】先假設存在這樣的直線，分斜率存在和斜率不存在設出直線的方程，當斜率k存在時，與雙曲線方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，直線與雙曲線相交于兩個不同點，則，，又根據(jù)是線段的中點，則，由此求出與矛盾，故不存在這樣的直線滿足題意；當斜率不存在時，過點的直線不滿足條件，故符合條件的直線不存在.詳解】設過點的直線方程為或，①當斜率存在時有，得(*)當直線與雙曲線相交于兩個不同點，則必有：，即又方程(*)的兩個不同的根是兩交點、的橫坐標，又為線段的中點，，即，，使但使，因此當時，方程①無實數(shù)解故過點與雙曲線交于兩點、且為線段中點的直線不存在②當時，經(jīng)過點的直線不滿足條件.綜上，符合條件的直線不存在故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】在長方體中，以點A為原點建立空間直角坐標系，利用已知條件求出點H的坐標作答.【詳解】在長方體中，以點A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，因點H，A，三點共線，令，點，則，又，則，解得，所以點到平面ABCD的距離為.故答案為：14、【解析】由題設可得，結(jié)合向量共線的坐標表示求參數(shù)即可.【詳解】由題設，平面與平面的法向量共線，∴，則，即，解得.故答案為：.15、【解析】利用導數(shù)求出與平行的曲線的切線，再利用兩點間距離公式進行求解即可.【詳解】設曲線的切點為，由，所以曲線的切線的斜率為，直線的斜率為，當切線與平行時，即，即切點為，當直線過切點時，有最小值，即，此時，解方程組：，，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：利用曲線的切線性質(zhì)進行求解是解題的關(guān)鍵.16、或##或【解析】根據(jù)向量平行時坐標的關(guān)系和向量的模公式即可求解.【詳解】，且，設，，解得，或.故答案為：或.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）.【解析】（1）推導出PQ⊥AD，從而PQ⊥平面ABCD，連接AC，交BQ于N，連接MN，則AQ∥BC，推導出MN∥PA，由此能證明PA∥平面BMQ（2）連結(jié)BD，以Q為坐標原點，以QA、QB、QP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角M﹣BQ﹣P的余弦值【詳解】（1）由已知PA＝PD，Q為AD的中點，∴PQ⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ?面PAD，∴PQ⊥平面ABCD，連接AC，交BQ于N，連接MN，∵底面ABCD是菱形，∴AQ∥BC，∴△ANQ∽△BCN，，又，∴，∴MN∥PA，又MN?平面BMQ，PA?平面BMQ，∴PA∥平面BMQ（2）連結(jié)BD，∵底面底面是菱形，∴△ABD是正三角形，∴由（1）知PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥AD，PQ⊥BQ，以Q為坐標原點，以QA、QB、QP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則Q（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，），設平面BMQ的法向量＝（x，y，z），∴，由（1）知MN∥PA，∴，∴，取z＝1，得，平面BQP的法向量，設二面角M﹣BQ﹣P的平面角為θ，則cosθ＝，∴二面角M﹣BQ﹣P的余弦值為18、（1）單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）極小值，極大值為【解析】（1）先對函數(shù)求導，然后根據(jù)導數(shù)的正負可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）根據(jù)（1）中求得單調(diào)區(qū)間可求出函數(shù)的極值【小問1詳解】.當變化時，，的變化情況如下表所示：00減極小值增極大值減的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】由（1）可知在處取得極小值，在處取得極大值.的極小值為，極大值為.19、（1）（2）或【解析】(1)由圓心在直線上，設，由點在圓上，列方程求，由此求出圓心坐標及半徑，確定圓的方程；(2)當切線的斜率存在時，設其方程為，由切線的性質(zhì)列方程求，再檢驗直線是否為切線，由此確定答案.小問1詳解】因為圓C的圓心在直線上，設圓心的坐標為，圓C過點，，所以，即，解得，則圓心，半徑，所以圓的方程為；【小問2詳解】當切線的斜率存在時，設直線的方程為，即，因為直線和圓相切，得，解得，所以直線方程為，當切線的斜率不存在時，易知直線也是圓的切線，綜上，所求的切線方程為或20、（1）；（2）存在，T(0，1)﹒【解析】(1)根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合即可求P的軌跡方程；(2)假設存在T(0，t)，設AB方程為，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，代入＝0即可求出定點T.【小問1詳解】由題可知，，則，由橢圓定義知P的軌跡是以F1、為焦點，且長軸長為的橢圓，∴，∴，∴P的軌跡方程為C：；【小問2詳解】假設存在T(0，t)滿足題意，易得AB的斜率一定存在，否則不會存在T滿足題意，設直線AB的方程為，聯(lián)立，化為，易知恒成立，∴(*)由題可知，將(*)代入可得：即∴，解，∴在y軸上存在定點T(0，1)，使以AB為直徑的圓恒過這個點T.21、（1）（2）或【解析】（1）結(jié)合點到直線的距離公式、弦長公式求得，由此求得圓的方程.（2）根據(jù)過的圓的切線的斜率是否存在進行分類討論，結(jié)合點到直線的距離公式求得切線方程.【小問1詳解】由題意，設圓的標準方程為：，圓關(guān)于直線對稱，圓與軸相切：…①點到的距離為：，圓被直線截得的弦長為，，結(jié)合①有：，，又，，，圓的標準方程為：.【小問2詳解】當直線的斜率不存在時，滿足題意當直線的斜率存在時，設直線的斜率為，則方程為.又圓C的圓心為，半徑，由，解得.所以直線方程為，即即直線的方程為或.22、（1）詳解解析；（2）存在.【解析】（1）利用勾股