2025屆山東省臨沂市羅莊區(qū)七校聯(lián)考高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2025屆山東省臨沂市羅莊區(qū)七校聯(lián)考高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．橢圓的離心率為（）A. B.C. D.2．命題：“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，3．如圖，在平行六面體中，AC與BD的交點(diǎn)為M，設(shè)，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.4．下圖是一個(gè)“雙曲狹縫”模型，直桿沿著與它不平行也不相交的軸旋轉(zhuǎn)時(shí)形成雙曲面，雙曲面的邊緣為雙曲線．已知該模型左、右兩側(cè)的兩段曲線(曲線AB與曲線CD)所在的雙曲線離心率為2，曲線AB與曲線CD中間最窄處間的距離為10cm，點(diǎn)A與點(diǎn)C，點(diǎn)B與點(diǎn)D均關(guān)于該雙曲線的對(duì)稱中心對(duì)稱，且|AB|＝30cm，則|AD|＝（）A.10cm B.20cmC.25cm D.30cm5．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為（）A. B.C.2 D.16．如果在一實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得的四組數(shù)值分別是，則y與x之間的回歸直線方程是（）A. B.C. D.7．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S，若，且，則S3等于（）A.28 B.26C.28或-12 D.26或-108．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象大致形狀為（）A. B.C. D.9．《九章算術(shù)》與《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉.在《九章算術(shù)》卷五商功篇中介紹了羨除（此處是指三面為等腰梯形，其他兩側(cè)面為直角三角形的五面體）體積的求法.在如圖所示的羨除中，平面是鉛垂面，下寬，上寬，深，平面BDEC是水平面，末端寬，無深，長（直線到的距離），則該羨除的體積為（）A. B.C. D.10．若圓上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則半徑的取值范圍是（）A. B.C. D.11．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F,雙曲線C的右支上有一點(diǎn)P滿是(點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)),那么雙曲線C的離心率為()A. B.C. D.12．已知雙曲線C的離心率為，，是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，，若△的面積為，則雙曲線C的實(shí)軸長為（）A.1 B.2C.4 D.6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)，平面過原點(diǎn)，且垂直于向量，則點(diǎn)到平面的距離是_________.14．直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為，直線是線段AB的垂直平分線，若，D為垂足，則D點(diǎn)的軌跡方程是______15．用1，2，3，4排成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，其中1和2不能相鄰的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為___________（用數(shù)字作答）.16．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知A，B兩地相距200km，某船從A地逆水到B地，水速為8km/h，船在靜水中的速度為vkm/h（v＞8）．若船每小時(shí)的燃料費(fèi)與其在靜水中速度的平方成正比，比例系數(shù)為k，當(dāng)v＝12km/h，每小時(shí)的燃料費(fèi)為720元（1）求比例系數(shù)k（2）當(dāng)時(shí)，為了使全程燃料費(fèi)最省，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為多少？（3）當(dāng)（x為大于8的常數(shù)）時(shí)，為了使全程燃料費(fèi)最省，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為多少？18．（12分）長方體中，，點(diǎn)分別在上，且.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值.19．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上（1）求拋物線的方程（2）設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)，且與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程20．（12分）“中山橋”是位于蘭州市中心，橫跨黃河之上的一座百年老橋，如圖①，橋上有五個(gè)拱形橋架緊密相連，每個(gè)橋架的內(nèi)部有一個(gè)水平橫梁和八個(gè)與橫梁垂直的立柱，氣勢(shì)宏偉，素有“天下黃河第一橋”之稱.如圖②，一個(gè)拱形橋架可以近似看作是由等腰梯形和其上方的拋物線（部分）組成，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知，，，，立柱.（1）求立柱及橫梁的長；（2）求拋物線的方程和橋梁的拱高.21．（12分）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)（1）求證：平面，并求直線與平面的距離；（2）若，求平面與平面所成夾角的余弦值22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)P在圓上，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為是的中點(diǎn)，當(dāng)P在圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí)N形成的軌跡為C（1）求C的軌跡方程；（2）若點(diǎn)，試問在x軸上是否存在點(diǎn)M，使得過點(diǎn)M的動(dòng)直線交C于兩點(diǎn)時(shí)，恒有？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求得，再計(jì)算出后可得離心率【詳解】在橢圓中，，，，因此，該橢圓的離心率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的離心率，根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求出即可2、D【解析】利用全稱量詞命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】由全稱量詞命題的否定可知，命題“，”的否定是“，”.故選：D.3、B【解析】根據(jù)向量加法和減法法則即可用、、表示出.【詳解】故選：B.4、B【解析】由離心率求出雙曲線方程，由對(duì)稱性設(shè)出點(diǎn)A，B，D坐標(biāo)，求出坐標(biāo)，求出答案.【詳解】由題意得：，解得：，因?yàn)殡x心率，所以，，故雙曲線方程為，設(shè)，則，，則，所以，則，解得：，故.故選：B5、A【解析】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過平移即可求出的最大值.【詳解】作出可行域如圖所示，由可知，此直線可用由直線平移得到，求的最大值，即直線的截距最大，當(dāng)直線過直線的交點(diǎn)時(shí)取最大值，即故選：6、B【解析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)求樣本中心點(diǎn)，由樣本中心點(diǎn)在回歸直線上，將其代入各選項(xiàng)的回歸方程驗(yàn)證即可.【詳解】由題設(shè)，，因?yàn)榛貧w直線方程過樣本點(diǎn)中心，A：，排除；B：，滿足；C：，排除；D：，排除.故選：B7、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程求解，直接計(jì)算S3即可.【詳解】由可得，即，所以，又，解得，所以，即，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，故選：C8、A【解析】利用f(x)先單調(diào)遞增的速度由快到慢,再由慢到快，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】由f(x)的圖象可知，函數(shù)f(x)先單調(diào)遞增的速度由快到慢,再由慢到快，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，先減后增，且恒大于0，故符合題意的只有選項(xiàng)A.故選：A.9、C【解析】在，上分別取點(diǎn)，，使得，連接，，，把幾何體分割成一個(gè)三棱柱和一個(gè)四棱錐，然后由棱柱、棱錐體積公式計(jì)算【詳解】如圖，在，上分別取點(diǎn)，，使得，連接，，，則三棱柱是斜三棱柱，該羨除的體積三棱柱四棱錐.故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查求空間幾何體的體積，解題思路是觀察幾何體的結(jié)構(gòu)特征，合理分割，將不規(guī)則幾何體體積的計(jì)算轉(zhuǎn)化為錐體、柱體體積的計(jì)算．考查了空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力10、B【解析】先求出圓心到直線的距離為，由此可知當(dāng)圓的半徑為時(shí)，圓上恰有三點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)圓的半徑時(shí)，圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故半徑的取值范圍是，即可求出答案.【詳解】由已知條件得的圓心坐標(biāo)為，圓心到直線為，∵圓上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，∴圓的半徑的取值范圍是，即，即半徑的取值范圍是.故選：.11、D【解析】分析焦點(diǎn)三角形即可【詳解】如圖,設(shè)左焦點(diǎn)為,因?yàn)?所以不妨設(shè),則離心率故選:D12、C【解析】由已知條件可得，，，再由余弦定理得，進(jìn)而求其正弦值，最后利用三角形面積公式列方程求參數(shù)a，即可知雙曲線C的實(shí)軸長.【詳解】由題意知，點(diǎn)P在右支上，則，又，∴，，又，∴，則在△中，，∴，故，解得，∴實(shí)軸長為，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】確定，，利用點(diǎn)到平面的距離為，即可求得結(jié)論.【詳解】由題意，，，設(shè)與的夾角為，則所以點(diǎn)到平面的距離為故答案為：14、【解析】設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程并化簡，然后根據(jù)M為線段AB的中點(diǎn)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到k,t間的關(guān)系，進(jìn)而寫出線段AB的垂直平分線的直線方程，可以判斷它過定點(diǎn)E，再考慮直線l的斜率不存在的情況，根據(jù)題意可知，點(diǎn)D在以O(shè)E為直徑的圓上，最后求出點(diǎn)D的軌跡方程.【詳解】設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程并化簡得：，設(shè)，則，解得.因?yàn)橹本€是線段AB的垂直平分線，故直線：，即：令，此時(shí)，，于是直線過定點(diǎn)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，直線也過定點(diǎn)點(diǎn)D在以O(shè)E為直徑的圓上，則圓心為，半徑，所以點(diǎn)D軌跡方程為：15、【解析】利用插空法計(jì)算出正確答案.【詳解】先排，形成個(gè)空位，然后將排入，所以符合題意的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為.故答案為：16、證明過程見解析【解析】選①②作條件證明③時(shí)，可設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，利用是等差數(shù)列可證；也可分別設(shè)出公差，寫出各自的通項(xiàng)公式后利用兩者的關(guān)系，對(duì)照系數(shù)，得到等量關(guān)系，進(jìn)行證明.選①③作條件證明②時(shí)，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出，結(jié)合等差數(shù)列定義可證；選②③作條件證明①時(shí)，設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列；也可利用前兩項(xiàng)的差求出公差，然后求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而證明出結(jié)論.【詳解】選①②作條件證明③：[方法一]：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因?yàn)橐彩堑炔顢?shù)列，所以，解得；所以，，故.[方法二]：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等差數(shù)列的公差為，則，將代入，化簡得對(duì)于恒成立則有，解得．所以選①③作條件證明②：因?yàn)?，是等差?shù)列，所以公差，所以，即，因?yàn)?，所以是等差?shù)列.選②③作條件證明①：[方法一]：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因?yàn)椋?，解得或；?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足等差數(shù)列的定義，此時(shí)為等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去.綜上可知為等差數(shù)列.[方法二]【最優(yōu)解】：因?yàn)?，所以，，因?yàn)橐矠榈炔顢?shù)列，所以公差，所以，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，故的通項(xiàng)公式為，所以，，符合題意.【整體點(diǎn)評(píng)】這類題型在解答題后可證是等差數(shù)列；法二：利用是等差數(shù)列即前兩項(xiàng)的差求出公差，然后求出的通項(xiàng)公式，利用，求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而證明出結(jié)論.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）5（2）8km/h（3）答案見解析【解析】（1）列出關(guān)系式，根據(jù)當(dāng)v＝12km/h，每小時(shí)的燃料費(fèi)為720元即可求解;（2）列出燃料費(fèi)的函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可；（3）討論x的范圍，結(jié)合（2）的結(jié)論可得答案.【小問1詳解】設(shè)每小時(shí)的燃料費(fèi)為，則當(dāng)v＝12km/h，每小時(shí)的燃料費(fèi)為720元，代入得.【小問2詳解】由（1）得.設(shè)全程燃料費(fèi)為y，則（），所以,令，解得v＝0（舍去）或v＝16，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)v＝16時(shí)，y取得最小值，故為了使全程燃料費(fèi)最省，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為8km/h【小問3詳解】由（2）得，若時(shí)，則y在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)v＝x時(shí)，y取得最小值；若時(shí)，則y區(qū)間（8，16）上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)v＝16時(shí)，y取得最小值；綜上，當(dāng)時(shí)，船的實(shí)際前進(jìn)速度為8km/h，全程燃料費(fèi)最?。划?dāng)時(shí)，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為（x－8）km/h，全程燃料費(fèi)最省18、（1）證明見解析.（2）【解析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定可得證；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由面面角的空間向量求解方法可得答案.【小問1詳解】證明：長方體中，平面，又平面，又平面，又平面同理可證，而平面，平面【小問2詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.從而，，，由（1）知，為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，則，，則，從而，令，則，得平面的一個(gè)法向量為由圖示得平面與平面所成的角為銳角，平面與平面所成的角的余弦值為19、（1）（2）的方程為、、【解析】（1）求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得，進(jìn)而求得拋物線的方程.（2）結(jié)合圖象以及判別式求得直線的方程.【小問1詳解】拋物線的焦點(diǎn)在軸上，且開口向上，直線與軸的交點(diǎn)為，則，所以，拋物線的方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn).那個(gè)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，，解得或.所以直線的方程為或.綜上所述，的方程為、、.20、（1），（2），【解析】（1）根據(jù)梯形的幾何性質(zhì)，即可求解；（2）表示出M,N的坐標(biāo)，代入拋物線方程中，結(jié)合條件解得p值，繼而求得拱高.【小問1詳解】由題意，知,因?yàn)锳BFM是等腰梯形，由對(duì)稱性知:,所以，【小問2詳解】由（1）知,所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為-18，則N的橫坐標(biāo)為-（18-5）=-13.設(shè)點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，由圖形，知設(shè)拋物線的方程為，，兩式相減，得2p(y2-y1)=182-132=155,解得：2p=100故拋物線的方程為x2=-100y.因此，當(dāng)x=-18時(shí)，所以橋梁的拱高OH=3.24+4=7.24m.21、（1）證明見解析，直線與平面的距離為（2）【解析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分