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福建省廈門市集美高中2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1.若,則所在象限是A.第一、三象限 B.第二、三象限C.第一、四象限 D.第二、四象限2.已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上,則下列各點(diǎn)也在該函數(shù)圖象上的是()A. B.C. D.3.若函數(shù)的圖象上存在一點(diǎn)滿足,且,則稱函數(shù)為“可相反函數(shù)”,在①;②;③;④中,為“可相反函數(shù)”的全部序號是()A.①② B.②③C.①③④ D.②③④4.已知點(diǎn)在第三象限,則角的終邊位置在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限5.函數(shù)f(x)=ln(2x)-1的零點(diǎn)位于區(qū)間()A.(2,3) B.(3,4)C.(0,1) D.(1,2)6.如圖,一質(zhì)點(diǎn)在半徑為1的圓O上以點(diǎn)為起點(diǎn),按順時針方向做勻速圓周運(yùn)動,角速度為,5s時到達(dá)點(diǎn),則()A.-1 B.C. D.7.若關(guān)于x的不等式的解集為,則關(guān)于函數(shù),下列說法不正確的是()A.在上單調(diào)遞減 B.有2個零點(diǎn),分別為1和3C.在上單調(diào)遞增 D.最小值是8.由一個正方體截去一個三棱錐所得的幾何體的直觀圖如圖所示,則該幾何體的三視圖正確的是()A.B.C.D.9.設(shè),,,則A. B.C. D.10.過圓C:(x﹣2)2+(y﹣2)2=4的圓心,作直線分別交x,y正半軸于點(diǎn)A,B,△AOB被圓分成四部分(如圖),若這四部分圖形面積滿足SI+SⅣ=SⅡ+SⅢ,則這樣的直線AB有A.0條 B.1條C.2條 D.3條二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知集合,,則集合中的元素個數(shù)為___________.12.函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)P,P在冪函數(shù)的圖象上,則___________.13.在空間直角坐標(biāo)系中,一點(diǎn)到三個坐標(biāo)軸的距離都是1,則該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是______答案】14.已知,則函數(shù)的最大值為__________.15.已知向量,滿足=(3,-4),||=2,|+|=,則,的夾角等于______16.某租賃公司擁有汽車100輛.當(dāng)每輛車的月租金為元時,可全部租出.當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時,未租出的車將會增加一輛.租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元,未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元.若使租賃公司的月收益最大,每輛車的月租金應(yīng)該定為__________三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.定義在D上的函數(shù),如果滿足:存在常數(shù),對任意,都有成立,則稱是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)的上界.(1)證明:在上有界函數(shù);(2)若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18.計算下列各式的值(1);(2)已知,求19.如圖,函數(shù)(,)的圖象與y軸交于點(diǎn),最小正周期是π(1)求函數(shù)的解析式;(2)已知點(diǎn),點(diǎn)P是函數(shù)圖象上一點(diǎn),點(diǎn)是線段PA中點(diǎn),且,求的值20.設(shè)兩個非零向量與不共線,(1)若,,,求證:A,B,D三點(diǎn)共線;(2)試確定實(shí)數(shù)k,使和共線21.已知函數(shù)()(1)求在區(qū)間上的最小值;(2)設(shè)函數(shù),用定義證明:在上是減函數(shù)
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】先由題中不等式得出在第二象限,然后求出的范圍,即可判斷其所在象限【詳解】因?yàn)?,,所以,故在第二象限,即,故,?dāng)為偶數(shù)時,在第一象限,當(dāng)為奇數(shù)時,在第三象限,即所在象限是第一、三象限故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的象限角,屬于基礎(chǔ)題2、D【解析】由題意可得,再依次驗(yàn)證四個選項的正誤即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上,所以,,故選項A不正確;,故選項B不正確;,故選項C不正確;,故選項D正確.故選:D3、D【解析】根據(jù)已知條件把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線有不在坐標(biāo)原點(diǎn)的交點(diǎn),結(jié)合圖象即可得到結(jié)論.【詳解】解:由定義可得函數(shù)為“可相反函數(shù)”,即函數(shù)與直線有不在坐標(biāo)原點(diǎn)的交點(diǎn)①的圖象與直線有交點(diǎn),但是交點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),所以不是“可相反函數(shù)”;②的圖象與直線有交點(diǎn)在第四象限,且交點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn),所以是“可相反函數(shù)”;③與直線有交點(diǎn)在第二象限,且交點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn),所以是“可相反函數(shù)”;④的圖象與直線有交點(diǎn)在第四象限,且交點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn),所以是“可相反函數(shù)”.結(jié)合圖象可得:只有②③④符合要求;故選:D4、B【解析】由所在的象限有,即可判斷所在的象限.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在第三象限,所以,由,可得角的終邊在第二、四象限,由,可得角的終邊在第二、三象限或軸非正半軸上,所以角終邊位置在第二象限,故選:B.5、D【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),得到函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),再利用零點(diǎn)的存在性定理,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,函數(shù),可得函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),且是連續(xù)函數(shù)又由f(1)=ln2-1<0,f(2)=ln4-1>0,根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理可得,函數(shù)f(x)的零點(diǎn)位于區(qū)間(1,2)上故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題,其中解答中合理使用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理是解答此類問題的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】由正弦、余弦函數(shù)的定義以及誘導(dǎo)公式得出.【詳解】設(shè)單位圓與軸正半軸的交點(diǎn)為,則,所以,,故.故選:C7、C【解析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)逐項判斷可得答案.【詳解】方程的兩個根是1和3,則函數(shù)圖象的對稱軸方程是,是開口向上的拋物線,A正確;C錯誤;函數(shù)的兩個零點(diǎn)是1和3,因此B正確;又,,,即,為最小值,D正確故選:C.8、D【解析】因?yàn)橛兄庇^圖可知,該幾何體的正視圖是有一條從左上角到右下角的對角線的正方形,俯視圖是有一條從左下角角到右上角角的對角線的正方形,側(cè)視圖是有一條從左上角到右下角的對角線的正方形(對角線為虛線),所以只有選項D合題意,故選D.9、C【解析】利用有理指數(shù)冪與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)分別比較,,與1和2的大小得答案【詳解】∵,且,,,∴故選C【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)值的大小比較,考查有理指數(shù)冪與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),尋找中間量是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題10、B【解析】數(shù)形結(jié)合分析出為定值,因此為定值,從而確定直線AB只有一條.【詳解】已知圓與軸,軸均相切,由已知條件得,第部分的面積是定值,所以為定值,即為定值,當(dāng)直線繞著圓心C移動時,只有一個位置符合題意,即直線AB只有一條.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的實(shí)際應(yīng)用,屬于中檔題.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】解不等式確定集合,解方程確定集合,再由交集定義求得交集后可得結(jié)論【詳解】由題意,,∴,只有1個元素故答案為:112、64【解析】由題意可求得點(diǎn),求出冪函數(shù)的解析式,從而求得.【詳解】令,則,故點(diǎn);設(shè)冪函數(shù),則,則;故;故答案為:64.13、【解析】設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)題意列方程組,從而求得該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離【詳解】設(shè)該點(diǎn)的坐標(biāo)是(x,y,z),∵該點(diǎn)到三個坐標(biāo)軸的距離都是1,∴x2+y2=1,x2+z2=1,y2+z2=1,∴x2+y2+z2,∴該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了空間中點(diǎn)的坐標(biāo)與應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題14、【解析】換元,,化簡得到二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得到最值.【詳解】設(shè),,則,,故當(dāng),即時,函數(shù)有最大值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)的最值,意在考查學(xué)生的計算能力,換元是解題的關(guān)鍵.15、【解析】利用求解向量間的夾角即可【詳解】因?yàn)椋?,因?yàn)?,所以,即,所以,所以,因?yàn)橄蛄繆A角取值范圍是,所以向量與向量的夾角為【點(diǎn)睛】本題考查向量的運(yùn)算,這種題型中利用求解向量間的夾角同時需注意16、4050【解析】設(shè)每輛車的月租金定為元,則租賃公司的月收益:當(dāng)時,最大,最大值為,即當(dāng)每車輛的月租金定為元時,租賃公司的月收益最大,最大月收益是,故答案為.【思路點(diǎn)睛】本題主要考查閱讀能力、數(shù)學(xué)建模能力和化歸思想以及幾何概型概率公式,屬于難題.與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動向,這類問題的特點(diǎn)是通過現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書本知識,解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題,只有吃透題意,才能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.解答本題的關(guān)鍵是:將租賃公司的月收益表示為關(guān)于每輛車的月租金的函數(shù),然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】(1)根據(jù),利用求解單調(diào)性求解;(2)根據(jù)在上是以3為上界的有界函數(shù),令,則,轉(zhuǎn)化,在時恒成立求解.【小問1詳解】解:,則在上是嚴(yán)格增函數(shù),故,即,故,故是有界函數(shù);【小問2詳解】因?yàn)樵谏鲜且?為上界的有界函數(shù),所以在上恒成立,令,則,所以在時恒成立,所以,在時恒成立,函數(shù)在上嚴(yán)格遞減,所以;函數(shù)在上嚴(yán)格遞增,所以.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.18、(1)(2)1【解析】(1)根據(jù)對數(shù)和指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計算即可得出答案.(2)利用誘導(dǎo)公式化簡目標(biāo)式,然后分子分母同時除以,代入即可得出答案.【小問1詳解】原式=;【小問2詳解】原式=.19、(1);(2),或.【解析】(1)根據(jù)余弦型函數(shù)的最小正周期公式,結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可;(2)根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式,結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是π,,所以有,即,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與y軸交于點(diǎn),所以,因?yàn)?,所以,即;【小?詳解】設(shè),即,因?yàn)辄c(diǎn)是線段PA的中點(diǎn),所以有,代入,得,因?yàn)?,所以,因此有,或,解得:,?20、(1)證明見解析;(2).【解析】(1)轉(zhuǎn)化為證明向量,共線,即可證明三點(diǎn)共線;(2)由共線定理可知,存在實(shí)數(shù)λ,使,利用向量相等,即可求解值.【詳解】(1)證明:,,,,共線,又∵它們有公共點(diǎn)B,∴A,B,D三點(diǎn)共線(2)和共線,∴存在實(shí)數(shù)λ,使,即,
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