福建省廈門(mén)市集美高中2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題含解析

福建省廈門(mén)市集美高中2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若，則所在象限是A.第一、三象限 B.第二、三象限C.第一、四象限 D.第二、四象限2．已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則下列各點(diǎn)也在該函數(shù)圖象上的是（）A. B.C. D.3．若函數(shù)的圖象上存在一點(diǎn)滿(mǎn)足，且，則稱(chēng)函數(shù)為“可相反函數(shù)”，在①；②；③；④中，為“可相反函數(shù)”的全部序號(hào)是（）A.①② B.②③C.①③④ D.②③④4．已知點(diǎn)在第三象限，則角的終邊位置在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限5．函數(shù)f(x)＝ln(2x)－1的零點(diǎn)位于區(qū)間()A.(2,3) B.(3,4)C.(0,1) D.(1,2)6．如圖，一質(zhì)點(diǎn)在半徑為1的圓O上以點(diǎn)為起點(diǎn)，按順時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，角速度為，5s時(shí)到達(dá)點(diǎn)，則（）A.-1 B.C. D.7．若關(guān)于x的不等式的解集為，則關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法不正確的是（）A.在上單調(diào)遞減 B.有2個(gè)零點(diǎn)，分別為1和3C.在上單調(diào)遞增 D.最小值是8．由一個(gè)正方體截去一個(gè)三棱錐所得的幾何體的直觀圖如圖所示，則該幾何體的三視圖正確的是（）A.B.C.D.9．設(shè)，，，則A. B.C. D.10．過(guò)圓C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4的圓心，作直線分別交x，y正半軸于點(diǎn)A，B，△AOB被圓分成四部分（如圖），若這四部分圖形面積滿(mǎn)足SI+SⅣ＝SⅡ+SⅢ，則這樣的直線AB有A.0條 B.1條C.2條 D.3條二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知集合，，則集合中的元素個(gè)數(shù)為_(kāi)__________.12．函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P，P在冪函數(shù)的圖象上，則___________.13．在空間直角坐標(biāo)系中，一點(diǎn)到三個(gè)坐標(biāo)軸的距離都是1，則該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是______答案】14．已知，則函數(shù)的最大值為_(kāi)_________.15．已知向量，滿(mǎn)足=（3，-4），||=2，|+|=，則，的夾角等于______16．某租賃公司擁有汽車(chē)100輛.當(dāng)每輛車(chē)的月租金為元時(shí)，可全部租出.當(dāng)每輛車(chē)的月租金每增加50元時(shí)，未租出的車(chē)將會(huì)增加一輛.租出的車(chē)每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車(chē)每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元.若使租賃公司的月收益最大，每輛車(chē)的月租金應(yīng)該定為_(kāi)_________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．定義在D上的函數(shù)，如果滿(mǎn)足：存在常數(shù)，對(duì)任意，都有成立，則稱(chēng)是D上的有界函數(shù)，其中M稱(chēng)為函數(shù)的上界.（1）證明：在上有界函數(shù)；（2）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18．計(jì)算下列各式的值（1）；（2）已知，求19．如圖，函數(shù)（，）的圖象與y軸交于點(diǎn)，最小正周期是π（1）求函數(shù)的解析式；（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)P是函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)是線段PA中點(diǎn)，且，求的值20．設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線，（1）若，，，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；（2）試確定實(shí)數(shù)k，使和共線21．已知函數(shù)()（1）求在區(qū)間上的最小值；（2）設(shè)函數(shù)，用定義證明：在上是減函數(shù)

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】先由題中不等式得出在第二象限，然后求出的范圍，即可判斷其所在象限【詳解】因?yàn)椋?，所以，故在第二象限，即，故，?dāng)為偶數(shù)時(shí)，在第一象限，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在第三象限，即所在象限是第一、三象限故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的象限角，屬于基礎(chǔ)題2、D【解析】由題意可得，再依次驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，，故選項(xiàng)A不正確；，故選項(xiàng)B不正確；，故選項(xiàng)C不正確；，故選項(xiàng)D正確.故選：D3、D【解析】根據(jù)已知條件把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線有不在坐標(biāo)原點(diǎn)的交點(diǎn)，結(jié)合圖象即可得到結(jié)論.【詳解】解：由定義可得函數(shù)為“可相反函數(shù)”，即函數(shù)與直線有不在坐標(biāo)原點(diǎn)的交點(diǎn)①的圖象與直線有交點(diǎn)，但是交點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，所以不是“可相反函數(shù)”；②的圖象與直線有交點(diǎn)在第四象限，且交點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn)，所以是“可相反函數(shù)”；③與直線有交點(diǎn)在第二象限，且交點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn)，所以是“可相反函數(shù)”；④的圖象與直線有交點(diǎn)在第四象限，且交點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn)，所以是“可相反函數(shù)”.結(jié)合圖象可得：只有②③④符合要求；故選：D4、B【解析】由所在的象限有，即可判斷所在的象限.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在第三象限，所以，由，可得角的終邊在第二、四象限，由，可得角的終邊在第二、三象限或軸非正半軸上，所以角終邊位置在第二象限，故選：B.5、D【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得到函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，再利用零點(diǎn)的存在性定理，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)，可得函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，且是連續(xù)函數(shù)又由f(1)＝ln2－1＜0，f(2)＝ln4－1＞0，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理可得，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)位于區(qū)間(1,2)上故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，其中解答中合理使用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理是解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】由正弦、余弦函數(shù)的定義以及誘導(dǎo)公式得出.【詳解】設(shè)單位圓與軸正半軸的交點(diǎn)為，則，所以，，故.故選：C7、C【解析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】方程的兩個(gè)根是1和3，則函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程是，是開(kāi)口向上的拋物線，A正確；C錯(cuò)誤；函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是1和3，因此B正確；又，，，即，為最小值，D正確故選：C.8、D【解析】因?yàn)橛兄庇^圖可知，該幾何體的正視圖是有一條從左上角到右下角的對(duì)角線的正方形，俯視圖是有一條從左下角角到右上角角的對(duì)角線的正方形，側(cè)視圖是有一條從左上角到右下角的對(duì)角線的正方形（對(duì)角線為虛線），所以只有選項(xiàng)D合題意，故選D.9、C【解析】利用有理指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)分別比較，，與1和2的大小得答案【詳解】∵，且，，，∴故選C【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)值的大小比較，考查有理指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，尋找中間量是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題10、B【解析】數(shù)形結(jié)合分析出為定值,因此為定值,從而確定直線AB只有一條.【詳解】已知圓與軸,軸均相切,由已知條件得,第部分的面積是定值,所以為定值,即為定值,當(dāng)直線繞著圓心C移動(dòng)時(shí),只有一個(gè)位置符合題意,即直線AB只有一條.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的實(shí)際應(yīng)用,屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】解不等式確定集合，解方程確定集合，再由交集定義求得交集后可得結(jié)論【詳解】由題意，，∴，只有1個(gè)元素故答案為：112、64【解析】由題意可求得點(diǎn)，求出冪函數(shù)的解析式，從而求得.【詳解】令，則，故點(diǎn)；設(shè)冪函數(shù)，則，則；故；故答案為：64.13、【解析】設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列方程組，從而求得該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離【詳解】設(shè)該點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，y，z），∵該點(diǎn)到三個(gè)坐標(biāo)軸的距離都是1，∴x2+y2＝1，x2+z2＝1，y2+z2＝1，∴x2+y2+z2，∴該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了空間中點(diǎn)的坐標(biāo)與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題14、【解析】換元，，化簡(jiǎn)得到二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得到最值.【詳解】設(shè)，，則，，故當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，換元是解題的關(guān)鍵.15、【解析】利用求解向量間的夾角即可【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，因?yàn)橄蛄繆A角取值范圍是，所以向量與向量的夾角為【點(diǎn)睛】本題考查向量的運(yùn)算，這種題型中利用求解向量間的夾角同時(shí)需注意16、4050【解析】設(shè)每輛車(chē)的月租金定為元，則租賃公司的月收益：當(dāng)時(shí)，最大，最大值為，即當(dāng)每車(chē)輛的月租金定為元時(shí)，租賃公司的月收益最大，最大月收益是，故答案為.【思路點(diǎn)睛】本題主要考查閱讀能力、數(shù)學(xué)建模能力和化歸思想以及幾何概型概率公式，屬于難題.與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向，這類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)是通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書(shū)本知識(shí)，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.解答本題的關(guān)鍵是：將租賃公司的月收益表示為關(guān)于每輛車(chē)的月租金的函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）根據(jù)，利用求解單調(diào)性求解；（2）根據(jù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，令，則，轉(zhuǎn)化，在時(shí)恒成立求解.【小問(wèn)1詳解】解：，則在上是嚴(yán)格增函數(shù)，故，即，故，故是有界函數(shù)；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樵谏鲜且?為上界的有界函數(shù)，所以在上恒成立，令，則，所以在時(shí)恒成立，所以，在時(shí)恒成立，函數(shù)在上嚴(yán)格遞減，所以；函數(shù)在上嚴(yán)格遞增，所以.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.18、（1）（2）1【解析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)和指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可得出答案.（2）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)目標(biāo)式，然后分子分母同時(shí)除以，代入即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】原式=；【小問(wèn)2詳解】原式=.19、（1）；（2），或.【解析】（1）根據(jù)余弦型函數(shù)的最小正周期公式，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是π，，所以有，即，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，即；【小?wèn)2詳解】設(shè)，即，因?yàn)辄c(diǎn)是線段PA的中點(diǎn)，所以有，代入，得，因?yàn)?，所以，因此有，或，解得：，?20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）轉(zhuǎn)化為證明向量，共線，即可證明三點(diǎn)共線；（2）由共線定理可知，存在實(shí)數(shù)λ，使，利用向量相等，即可求解值.【詳解】（1）證明：，，，，共線，又∵它們有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線（2）和共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使，即，