福建省泉州市惠安縣第十六中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題含解析

福建省泉州市惠安縣第十六中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在等比數(shù)列中，若，則公比（）A. B.C.2 D.32．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的左支上，過點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，則的最小值為（）A. B.C. D.3．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（）A.3 B.5C.6 D.104．“x>1”是“x>0”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．金剛石的成分為純碳，是自然界中存在的最堅(jiān)硬物質(zhì)，它的結(jié)構(gòu)是由8個(gè)等邊三角形組成的正八面體.若某金剛石的棱長為2，則它外接球的體積為（）A. B.C. D.6．設(shè)等差數(shù)列，前n項(xiàng)和分別是，若，則（）A.1 B.C. D.7．已知直線：恒過點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與圓：相交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.2C.4 D.8．已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)P是雙曲線在第二象限的部分上一點(diǎn)，且，點(diǎn)Q是線段的中點(diǎn)，且，Q關(guān)于直線PA對稱，則雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.9．中國古代《易經(jīng)》一書中記載，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)據(jù)，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”，如圖，一位古人在從右到左（即從低位到高位）依次排列的紅繩子上打結(jié)，滿六進(jìn)一，用6來記錄每年進(jìn)的錢數(shù)，由圖可得，這位古人一年收入的錢數(shù)用十進(jìn)制表示為（）A.180 B.179C.178 D.17710．若數(shù)列1，a，b，c，9是等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)b的值為（）A.5 B.C.3 D.3或11．下列說法正確的有（）個(gè).①向量，，，不一定成立；②圓與圓外切③若，則數(shù)是數(shù)，的等比中項(xiàng).A.1 B.2C.3 D.012．2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕，3月24日，中宣部發(fā)布中國共產(chǎn)黨成立100周年慶?；顒?dòng)標(biāo)識（如圖1）.其中“100”的兩個(gè)“0”設(shè)計(jì)為兩個(gè)半徑為R的相交大圓，分別內(nèi)含一個(gè)半徑為r的同心小圓，且同心小圓均與另一個(gè)大圓外切（如圖2）.已知，則由其中一個(gè)圓心向另一個(gè)小圓引的切線長與兩大圓的公共弦長之比為（）A. B.3C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上一點(diǎn)，滿足，直線與圓有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是___________.14．焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的離心率為，則的值為___________.15．半徑為R的圓外接于，且，若，則面積的最大值為________.16．已知雙曲線左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是雙曲線左支上一點(diǎn)且，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，在三棱柱中，，點(diǎn)在平面ABC上的射影為線段AC的中點(diǎn)D，側(cè)面是邊長為2的菱形（1）若△ABC是正三角形，求異面直線與BC所成角的余弦值；（2）當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求線段BD的長18．（12分）已知命題：，在下面①②中任選一個(gè)作為：，使為真命題，求出實(shí)數(shù)a取值范圍.①關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等正根；②.（若選①、選②都給出解答，只按第一個(gè)解答計(jì)分.）19．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，其中.（1）記，求證：是等比數(shù)列；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.20．（12分）已知橢圓的下焦點(diǎn)為、上焦點(diǎn)為，其離心率．過焦點(diǎn)且與x軸不垂直的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）求△ABO(O為原點(diǎn))面積的最大值21．（12分）（1）敘述正弦定理；（2）在△中，應(yīng)用正弦定理判斷“”是“”成立的什么條件，并加以證明.22．（10分）直線：和：（1）若兩直線垂直，求m的值；（2）若兩直線平行，求平行線間的距離

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由題得，化簡即得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，解?故選：C2、D【解析】利用雙曲線定義可得到，將的最小值變?yōu)榈淖钚≈祮栴}，數(shù)形結(jié)合得解.【詳解】由題意得，故，如圖所示：到漸近線的距離,則，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號，∴的最小值為.故選：D3、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，由題中條件，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，由，可得，，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列前項(xiàng)和的基本量運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題型.4、A【解析】根據(jù)充分、必要條件間的推出關(guān)系，判斷“x>1”與“x>0”的關(guān)系.【詳解】“x>1”，則“x>0”，反之不成立.∴“x>1”是“x>0”的充分不必要條件.故選：A.5、A【解析】求得外接球的半徑，進(jìn)而計(jì)算出外接球體積.【詳解】設(shè)，正八面體的棱長為，根據(jù)正八面體的性質(zhì)可知：，所以是外接球的球心，且半徑，所以外接球的體積為.故選：A6、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式變形求解即可【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，所以，故選：B7、A【解析】根據(jù)將最小值問題轉(zhuǎn)化為d取得最大值問題，然后結(jié)合圖形可解.【詳解】將，變形為，故直線恒過點(diǎn)，圓心，半徑，已知點(diǎn)P在圓內(nèi)，過點(diǎn)作直線與圓相交于A，兩點(diǎn)，記圓心到直線的距離為d，則，所以當(dāng)d取得最大值時(shí)，有最小值，結(jié)合圖形易知，當(dāng)直線與線段垂直的時(shí)候，d取得最大值，即取得最小值，此時(shí)，所以.故選：A.8、C【解析】由角平分線的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件即可求雙曲線的離心率.【詳解】由題設(shè)，易知：，由知：，即，整理得：.故選：C9、D【解析】由于從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿六進(jìn)一，所以從右到左的數(shù)分別為、、，然后把它們相加即可.【詳解】（個(gè)）.所以古人一年收入的錢數(shù)用十進(jìn)制表示為個(gè).故選：D.10、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解【詳解】解：設(shè)該等比數(shù)列公比為q，∵數(shù)列1，a，b，c，9是等比數(shù)列，∴，，∴，故，解得，∴故選：C11、A【解析】由向量數(shù)量積為實(shí)數(shù)，以及向量共線定理，即可判斷①；求出圓心距，即可判斷兩圓位置關(guān)系，從而判斷②；取，即可判斷③【詳解】對于①，與共線，與共線，故不一定成立，故①正確；對于②，圓的圓心為，半徑為，圓可變形為，故其圓心為，半徑為，則圓心距，由，所以兩圓相交，故②錯(cuò)誤；對于③，若，取，則數(shù)不是數(shù)的等比中項(xiàng)，故③錯(cuò)誤故選：A12、C【解析】作出圖形，進(jìn)而根據(jù)勾股定理并結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系即可求得答案.【詳解】如示意圖，由題意，，則，又，，所以，所以.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，利用雙曲線的定義以及勾股定理可求得，由已知可得，可得出關(guān)于、的齊次不等式，結(jié)合可求得的取值范圍.【詳解】過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，故，又因?yàn)?，且，所以，因此，所以，又因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn)，所以，故，即，則，所以，又因?yàn)殡p曲線的離心率，所以.故答案為：.14、【解析】將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，可得出、，由此可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，則，，，所以，，解得.故答案為：.15、【解析】利用正弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系，然后用余弦定理求得C；利用三角形面積公式，結(jié)合兩角差的正弦函數(shù)公式和二倍角公式得，再利用輔助角公式得，最后利用函數(shù)的值域計(jì)算得結(jié)論.【詳解】因?yàn)樗杂烧叶ɡ淼茫?，即，所以由余弦定理可得：，又，?由正弦定理得：，，所以，所以當(dāng)時(shí)，S最大，.若，則面積的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式，二倍角公式及應(yīng)用，正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.16、3【解析】根據(jù)雙曲線方程求出，再根據(jù)雙曲線的定義可知，即可得到、，再由正弦定理計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)殡p曲線為，所以、，因?yàn)辄c(diǎn)P是雙曲線左支上一點(diǎn)且，所以，所以，，在中，由正弦定理可得，所以；故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線與所成角的余弦值.（2）結(jié)合直線與平面所成的角，利用向量法列方程，化簡求得的長.【小問1詳解】依題意點(diǎn)在平面ABC上的射影為線段AC的中點(diǎn)D，所以平面，，由于，所以，以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，當(dāng)是等邊三角形時(shí)，，.設(shè)直線與所成角為，則.【小問2詳解】設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，則，化簡的，解得或，也即或.18、答案見解析【解析】根據(jù)題意，分析、為真時(shí)的取值范圍，又由復(fù)合命題真假的判斷方法可得、都是真命題，據(jù)此分析可得答案.【詳解】解：選①時(shí)由知在上恒成立，∴，即又由q：關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等正根，知解得，由為真命題知,解得.實(shí)數(shù)a的取值范圍.選②時(shí)由知在上恒成立，∴，即又由，知在上恒成立，∴，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號，∴，由為真命題知，解得.實(shí)數(shù)a的取值范圍.19、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）應(yīng)用的關(guān)系，結(jié)合構(gòu)造法可得，根據(jù)已知條件及等比數(shù)列的定義即可證結(jié)論.（2）由（1）得，再應(yīng)用錯(cuò)位相減法求，即可證結(jié)論.【小問1詳解】證明：對任意的，，，時(shí)，，解得，時(shí)，因?yàn)?，，兩式相減可得：，即有，∴，又，則，因?yàn)椋?，所以，對任意的，，所以，因此，是首?xiàng)和公比均為3的等比數(shù)列【小問2詳解】由（1）得：，則，，，兩式相減得：，化簡可得：，又，∴.20、（1）2；（2）﹒【解析】(1)根據(jù)已知條件得，，結(jié)合離心率，即可解得答案(2)設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式以及三角形的面積公式，基本不等式即可得出答案【小問1詳解】由題意可得，，，∵離心率，∴，∵，∴，解得【小問2詳解】由(1)知，橢圓，上焦點(diǎn)，設(shè)，，，，直線的方程為：，聯(lián)立，得，∴，，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，∴為原點(diǎn))面積的最大值為21、（1）正弦定理見解析；（2）充要條件，證明見解析【解析】（1）用語言描述正弦定理，并用公式表達(dá)正弦定理（2）利用“大角對大邊”的性質(zhì)，并根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化即可【詳解】（