2024-2025學年高中數(shù)學第二章解三角形3解三角形的實際應用舉例跟蹤訓練含解析北師大版必修5

PAGE其次章解三角形§3解三角形的實際應用舉例[A組學業(yè)達標]1．(2024·潮州高一檢測)海洋中有A，B，C三座燈塔．其中A，B之間距離為a，在A處視察B，其方向是南偏東40°，視察C，其方向是南偏東70°，在B處視察C，其方向是北偏東65°，則B，C之間的距離是()A．a(chǎn) B.eq\r(2)aC.eq\f(1,2)a D.eq\f(\r(2),2)a解析：如圖所示，由題意可知AB＝a，∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°，∴∠C＝45°，在△ABC中，由正弦定理得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，即BC＝eq\f(\f(1,2)a,\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(2),2)a.故選D.答案：D2．(2024·遂寧高一檢測)如圖，設A，B兩點在涪江的兩岸，一測量者在A的同側(cè)所在的江岸邊選定一點C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°.則A，B兩點間的距離為()A．50eq\r(2)m B．50mC．50eq\r(3)m D．50eq\r(6)m解析：在△ABC中，∠B＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，即eq\f(50,\f(1,2))＝eq\f(AB,\f(\r(2),2))，解得AB＝50eq\r(2).故選A.答案：A3．(2024·永州高一檢測)如圖，在熱氣球C正前方有一高為a的建筑物AB，在建筑物底部A測得C的仰角為60°，同時在C處測得建筑物頂部B的俯角為30°，則此時熱氣球的高度CD為()A.eq\r(2)a B.eq\r(3)aC.eq\f(3\r(3),2)a D.eq\f(3,2)a解析：由題意，∠BCA＝∠BAC＝30°，∴AB＝BC＝a，AC＝eq\r(3)a，△ADC中，CD＝ACsin60°＝eq\f(3,2)a，故選D.答案：D4．如圖所示，在坡度肯定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C相對于山坡的斜度為15°，向山頂前進100m到達B處，又測得C相對于山坡的斜度為45°，若CD＝50m，山坡的坡角為θ，則cosθ＝()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\r(3)－1C．2－eq\r(3) D.eq\f(\r(2),2)解析：在△ABC中，由正弦定理，得BC＝eq\f(ABsin∠BAC,sin∠ACB)＝eq\f(100sin15°,sin（45°－15°）)＝50(eq\r(6)－eq\r(2))(m)．在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BDC＝eq\f(BCsin∠CBD,CD)＝eq\f(50（\r(6)－\r(2)）sin45°,50)＝eq\r(3)－1.由題圖知cosθ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝eq\r(3)－1，故選B.答案：B5．如圖所示，位于A處的信息中心獲悉，在其正東方向相距40nmile的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心馬上把消息告知在其南偏西30°，相距20nmile的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線CB前往B處救援，則cosθ等于()A.eq\f(\r(21),7) B.eq\f(\r(21),14)C.eq\f(3\r(21),14) D.eq\f(\r(21),28)解析：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，所以BC＝20eq\r(7).由正弦定理，得sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq\f(\r(21),7).由∠BAC＝120°，得∠ACB為銳角，故cos∠ACB＝eq\f(2\r(7),7).故cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝eq\f(\r(21),14).故選B.答案：B6．有一段長為10m的斜坡，它的傾斜角為75°，在不變更坡高的前提下，通過加長坡面的方法將它的傾斜角改為30°，則坡底要延長________m.解析：如圖，在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，由正弦定理，得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，所以BC＝eq\f(ACsin∠BAC,sin∠ABC)＝eq\f(10sin45°,sin30°)＝10eq\r(2)(m)．答案：10eq\r(2)7．臺風中心從A地以每小時20km的速度向東北方向移動，離臺風中心30km內(nèi)的地區(qū)為危急區(qū)，城市B在A的正東40km處，B城市處于危急區(qū)內(nèi)的持續(xù)時間為________小時．解析：設t小時時，B城市恰好處于危急區(qū)，則由余弦定理，得(20t)2＋402－2×20t×40cos45°＝302，即4t2－8eq\r(2)t＋7＝0，∴t1＋t2＝2eq\r(2)，t1·t2＝eq\f(7,4).故|t1－t2|＝eq\r(（t1＋t2）2－4t1t2)＝eq\r(（2\r(2)）2－4×\f(7,4))＝1.答案：18．在點O觀測到遠處有一物體在做勻速直線運動，起先時刻物體位于點P，一分鐘后，該物體位于點Q，且∠POQ＝90°，再過一分鐘，該物體位于點R，且∠QOR＝30°，則tan∠OPQ＝________．解析：由物體做勻速直線運動，得PQ＝QR，不妨設其長度為1.如圖，在Rt△POQ中，OQ＝sin∠OPQ，OP＝cos∠OPQ.在△OPR中，由正弦定理，得eq\f(2,sin（90°＋30°）)＝eq\f(OP,sin∠ORP)＝eq\f(cos∠OPQ,sin∠ORP).同理在△ORQ中，由正弦定理，得eq\f(1,sin30°)＝eq\f(OQ,sin∠ORQ)＝eq\f(sin∠OPQ,sin∠ORQ)，所以eq\f(1,sin30°)·eq\f(sin120°,2)＝eq\f(sin∠OPQ,sin∠ORQ)·eq\f(sin∠ORP,cos∠OPQ)＝tan∠OPQ，所以tan∠OPQ＝eq\f(sin120°,2sin30°)＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)9．在某次軍事演習中，紅方為了精確分析戰(zhàn)場形勢，在兩個相距為eq\f(\r(3),2)a的軍事基地C和D處測得藍方兩支精銳部隊分別在A處和B處，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如圖所示，求藍方這兩支精銳部隊之間的距離．解析：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∠DCA＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AD＝CD＝AC＝eq\f(\r(3),2)a，∵eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(CD,sin45°)，∴BC＝eq\f(\r(6),4)a.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos45°＝eq\f(3,4)a2＋eq\f(3,8)a2－2×eq\f(\r(3),2)a×eq\f(\r(6),4)a×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,8)a2，∴AB＝eq\f(\r(6),4)a.∴藍方這兩支精銳部隊之間的距離為eq\f(\r(6),4)a.10．如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12nmile，漁船乙以10nmile/h的速度從島嶼A動身沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處動身沿北偏東α的方向追逐漁船乙，剛好用2h追上．(1)求漁船甲的速度；(2)求sinα的值．解析：(1)在△ABC中，∠BAC＝180°－60°＝120°，AB＝12(nmile)，AC＝10×2＝20(nmile)，∠BCA＝α.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，解得BC＝28(nmile)．所以漁船甲的速度為eq\f(1,2)BC＝14(nmile/h)．(2)在△ABC中，AB＝12nmile，∠BAC＝120°，BC＝28(nmile)，∠BCA＝α，由正弦定理，得eq\f(AB,sinα)＝eq\f(BC,sin120°)，所以sinα＝eq\f(ABsin120°,BC)＝eq\f(12×\f(\r(3),2),28)＝eq\f(3\r(3),14).[B組實力提升]11．(2024·桂林高一檢測)甲船在湖中B島的正南A處，AB＝3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同時乙船自B島動身，以12km/h的速度向北偏東60°方向駛?cè)?，則行駛15分鐘時，兩船的距離是()A.eq\r(7)km B.eq\r(13)kmC.eq\r(19)km D.eq\r(10－3\r(3))km解析：如圖所示，15min＝eq\f(1,4)h.設甲、乙兩船行駛eq\f(1,4)h分別到D、C點．∴AD＝eq\f(1,4)×8＝2km.BC＝eq\f(1,4)×12＝3km.∵∠EBC＝60°，∴∠ABC＝120°.∵AB＝BC＝3，∴∠A＝∠ACB＝30°.在△ABC中，由余弦定理可得：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝32＋32－2×3×3cos120°＝27.∴AC＝3eq\r(3).在△ACD中，由余弦定理可得：DC2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos∠DAC＝4＋27－2×2×3eq\r(3)cos30°＝13.∴DC＝eq\r(13).所以B選項是正確的．答案：B12．(2024·承德高一檢測)飛機的航線和山頂在同一個鉛垂直平面內(nèi)，已知飛機的高度為海拔15000m，速度為1000km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?8°，經(jīng)過108s后又看到山頂?shù)母┙菫?8°，則山頂?shù)暮０胃叨葹?)A．(15－18eq\r(3)sin18°cos78°)kmB．(15－18eq\r(3)sin18°sin78°)kmC．(15－20eq\r(3)sin18°cos78°)kmD．(15－20eq\r(3)sin18°sin78°)km解析：如圖，∠A＝18°，∠ACB＝60°，AB＝1000×108×eq\f(1,3600)＝30(km)∴在△ABC中，BC＝eq\f(30sin18°,sin60°)＝20eq\r(3)sin18°，∵CD⊥AD，∴CD＝BCsin∠CBD＝BC×sin78°＝20eq\r(3)sin18°sin78°.山頂?shù)暮０胃叨龋?5－20eq\r(3)sin18°sin78°(km)．故選D.答案：D13．(2024·豐臺高一檢測)如圖，為了測量河對岸A，B兩點之間的距離．視察者找到了一個點C，從C可以視察到點A，B；找到了一個點D，從D可以視察到點A，C；找到一個點E，從E可以視察到點B，C.并測量得到圖中一些數(shù)據(jù)，其中CD＝2eq\r(3)，CE＝4，∠ACB＝60°，∠ACD＝∠BCE＝90°，∠ADC＝60°，∠BEC＝45°，則AB＝________．解析：在Rt△BCE中，BC＝CE＝4，在Rt△ACD中，AC＝eq\r(3)CD＝6，在△ABC中，由余弦定理得AB＝eq\r(AC2＋BC2－2AC·BC·cos60°)＝eq\r(16＋36－2·4·6·\f(1,2))＝2eq\r(7).答案：2eq\r(7)14．某巡邏艇在A處發(fā)覺北偏東45°相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75°的方向以10海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇馬上以14海里/小時的速度沿著直線方向追去，則巡邏艇應當沿________方向去追，須要________小時才追逐上該走私船．解析：如題干圖，設該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過x小時后在B處追上走私船，則CB＝10x，AB＝14x，AC＝9，∠ACB＝75°＋45°＝120°，在△ABC中，由余弦定理，得(14x)2＝92＋(10x)2－2×9×10xcos120°化簡得32x2－30x－27＝0，解得x＝eq\f(3,2)或x＝－eq\f(9,16)(舍去)，所以BC＝10x＝15，AB＝14x＝21，由正弦定理，得sin∠BAC＝eq\f(BCsin120°,AB)＝eq\f(15,21)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5\r(3),14)，所以∠BAC＝38°13′或∠BAC＝141°47′(鈍角不合題意，舍去)．38°13′＋45°＝83°13′.答案：北偏東83°13′eq\f(3,2)15．某人在塔的正東，沿著南偏西60°的方向前進60米后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫?0°，求塔高．解析：如圖，設AE為塔，某人在塔正東的B點，他在B點沿南偏西60°前進60米后到達C點，則BC＝60，∠BAC＝90°＋45°＝135°，∠ABC＝90°－60°＝30°，在△ABC中，依據(jù)正弦定理有eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，即eq\f(60,sin135°)＝eq\f(AC,sin30°)，解得AC＝30eq\r(2).過點A作AG⊥BC于點G，連接EG，則∠AGE為直線EG與平面ABC所成的線面角，即為沿途測得塔頂?shù)淖畲笱鼋?，故∠AGE＝60°，在△ABC中，S△ABC＝eq\f(1,2)AG·BC＝eq\f(1,2)AC·BC·sin∠ACB，即AG＝eq\f(AC·BC·sin∠ACB,BC)＝30eq\r(2)×sin(180°－135°－30°)＝15(eq\r(3)－1)．又因為AE⊥平面A