2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第一章集合與常用邏輯用語第三節(jié)簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞全稱量詞與存在量詞學(xué)案理含解析

PAGE第三節(jié)簡(jiǎn)潔的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞[最新考綱][考情分析][核心素養(yǎng)]1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義.2.理解全稱量詞與存在量詞的意義.3.能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.邏輯聯(lián)結(jié)詞和含有一個(gè)量詞的命題的否定仍是2024年高考考查的熱點(diǎn)，題型仍將是選擇題或填空題，分值為5分.1.邏輯推理2.數(shù)學(xué)抽象‖學(xué)問梳理‖1．簡(jiǎn)潔的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)命題中的eq\x(1)且、eq\x(2)或、eq\x(3)非叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞．(2)命題p且q、p或q、非p的真假推斷pqp且qp或q非p真真eq\x(4)真真假真假eq\x(5)假真假假真假真eq\x(6)真假假假eq\x(7)假eq\x(8)真?常用結(jié)論(1)真值表中“p且q”全真才真，“p或q”全假才假．(2)“或”“且”聯(lián)結(jié)詞的否定形式：“p或q”的否定是“非p且非q”；“p且q”的否定是“非p或非q”．2．全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞：短語“全部的”“隨意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，用“eq\x(9)?”表示．含有全稱量詞的命題叫做全稱命題．(2)存在量詞：短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，用“eq\x(10)?”表示．含有存在量詞的命題叫做特稱命題．?常用結(jié)論(1)判定全稱命題為真，需證明對(duì)隨意x∈M，p(x)恒成立；判定全稱命題為假，我們只需找到一個(gè)x∈M，使p(x)不成馬上可．(2)判定特稱命題為真，只需找到一個(gè)x∈M，使p(x)成馬上可；判定特稱命題為假，需證明對(duì)隨意x∈M，p(x)均不成立．3．含有一個(gè)量詞的命題的否定命題命題的否定?x∈M，p(x)eq\x(11)?x0∈M，﹁p(x0)?x0∈M，p(x0)eq\x(12)?x∈M，﹁p(x)?常用結(jié)論對(duì)于省略量詞的命題，應(yīng)先挖掘命題中隱含的量詞，改寫成含量詞的完整形式，再寫出命題的否定，否則易出錯(cuò)．‖基礎(chǔ)自測(cè)‖一、疑誤辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)命題p∧q為假命題，則命題p，q都是假命題．()(2)命題p和﹁p不行能都是真命題．()(3)若命題p，q至少有一個(gè)是真命題，則p∨q是真命題．()(4)寫特稱命題的否定時(shí)，存在量詞變?yōu)槿Q量詞．()(5)?x0∈M，p(x0)與?x∈M，﹁p(x)的真假性相反．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√(5)√二、走進(jìn)教材2．(選修2－1P26A3改編)命題“?x∈R，x2＋x≥0”的否定是()A．?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0≤0 B．?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0<0C．?x∈R，x2＋x≤0 D．?x∈R，x2＋x<0答案：B3．(選修2－1P18A1(3)改編)已知p：2是偶數(shù)，q：2是質(zhì)數(shù)，則命題﹁p，﹁q，p∨q，p∧q中真命題的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4答案：B三、易錯(cuò)自糾4．命題“?x0≤0，xeq\o\al(2,0)≥0”的否定是()A．?x≤0，x2<0 B．?x≤0，x2≥0C．?x0>0，xeq\o\al(2,0)>0 D．?x0<0，xeq\o\al(2,0)≤0答案：A5．若命題“對(duì)?x∈R，kx2－kx－1<0”是真命題，則k的取值范圍是________．解析：“對(duì)?x∈R，kx2－kx－1<0”是真命題，當(dāng)k＝0時(shí)，則有－1<0；當(dāng)k≠0時(shí)，則有k<0且Δ＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k<0，解得－4<k<0，綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍是(－4，0]．答案：(－4，0]eq\a\vs4\al(考點(diǎn)\a\vs4\al(全稱命題與特稱命題))|題組突破|1．(2025屆福建質(zhì)檢)若命題p：?x0∈R，xeq\o\al(3,0)>1－xeq\o\al(2,0)，則命題p的否定為()A．?x∈R，x3<1－x2B．?x∈R，x3≤1－x2C．?x0∈R，xeq\o\al(3,0)<1－xeq\o\al(2,0)D．?x0∈R，xeq\o\al(3,0)≤1－xeq\o\al(2,0)解析：選B該命題是特稱命題，則命題的否定是“?x∈R，x3≤1－x2”，故選B．2．(2025屆西安質(zhì)檢)已知命題p：?x0∈R，log2(3x0eq\a\vs4\al()＋1)≤0，則()A．p是假命題；﹁p：?x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命題；﹁p：?x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命題；﹁p：?x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命題；﹁p：?x∈R，log2(3x＋1)>0解析：選B∵3x>0，∴3x＋1>1，則log2(3x＋1)>0，∴p是假命題，﹁p：?x∈R，log2(3x＋1)>0.故選B．3．下列四個(gè)命題：p1：對(duì)隨意x∈R，都有2x>0；p2：存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋x0＋1<0；p3：對(duì)隨意x∈R，都有sinx<2x；p4：存在x0∈R，使得cosx0>xeq\o\al(2,0)＋x0＋1.其中的真命題是()A．p1，p2 B．p2，p3C．p3，p4 D．p1，p4解析：選D由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，p1為真命題；∵x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)>0恒成立，∴p2為假命題；∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)))＝1>2－eq\f(3π,2)，∴p3為假命題；∵當(dāng)x＝－eq\f(1,2)時(shí)，cosx>coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋1，∴p4為真命題．故選D．?名師點(diǎn)津全(特)稱命題真假的推斷方法全稱命題(1)要推斷一個(gè)全稱命題是真命題，必需對(duì)限定的集合M中的每一個(gè)元素x，證明p(x)成立；(2)要推斷一個(gè)全稱命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個(gè)特別值x＝x0，使p(x0)不成馬上可特稱命題要推斷一個(gè)特稱命題是真命題，只要在限定的集合M中，找到一個(gè)x＝x0，使p(x0)成馬上可，否則這一特稱命題就是假命題eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一\a\vs4\al(含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的真假推斷))【例1】(2025屆山西八校聯(lián)考)已知命題p：存在n0∈R，使得f(x)＝n0xeq\a\vs4\al(neq\o\al(2,0)＋2n0)是冪函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；命題q：“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2>3x0”的否定是“?x∈R，x2＋2<3x”．則下列命題為真命題的是()A．p∧q B．(﹁p)∧qC．p∧(﹁q) D．(﹁p)∧(﹁q)[解析]當(dāng)n＝1時(shí)，f(x)＝x3為冪函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故p是真命題，則﹁p是假命題；“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2>3x0”的否定是“?x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命題，﹁q是真命題．所以p∧q，(﹁p)∧q，(﹁p)∧(﹁q)均為假命題，p∧(﹁q)為真命題，故選C．[答案]C?名師點(diǎn)津推斷含邏輯聯(lián)結(jié)詞復(fù)合命題真假的步驟(1)定結(jié)構(gòu)：確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式．(2)辨真假：推斷其中簡(jiǎn)潔命題的真假性．(3)下結(jié)論：依據(jù)真值表推斷復(fù)合命題的真假．|跟蹤訓(xùn)練|已知命題p：若a＝0.30.3，b＝1.20.3，c＝log1.20.3，則a<c<b；命題q：“x2－x－6>0”是“x>4”的必要不充分條件，則下列命題為真命題的是()A．p∧q B．p∧(﹁q)C．(﹁p)∧q D．(﹁p)∧(﹁q)解析：選C因?yàn)?<a＝0.30.3<0.30＝1，b＝1.20.3>1.20＝1，c＝log1.20.3<log1.21＝0，所以c<a<b，故命題p為假命題，﹁p為真命題；由x2－x－6>0，得x<－2或x>3，故“x2－x－6>0”是“x>4”的必要不充分條件，q為真命題，故(﹁p)∧q為真命題，故選C．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二\a\vs4\al(與邏輯聯(lián)結(jié)詞、全（特）稱命題有關(guān)的參數(shù)問題))——變式探究【例2】給定命題p：對(duì)隨意實(shí)數(shù)x，都有ax2＋ax＋1>0成立；命題q：關(guān)于x的方程x2－x＋a＝0有實(shí)數(shù)根，若p∧q為真，則a的取值范圍是________．[解析]當(dāng)p為真命題時(shí)，對(duì)隨意實(shí)數(shù)x，都有ax2＋ax＋1>0成立?a＝0或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0，))∴0≤a<4.當(dāng)q為真命題時(shí)，關(guān)于x的方程x2－x＋a＝0有實(shí)數(shù)根?Δ＝1－4a≥0，∴a≤eq\f(1,4).所以當(dāng)p∧q為真時(shí)，0≤a≤eq\f(1,4).[答案]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))|變式探究|1．若p∨q為真，問題不變．解：由本例中知p∨q為真，分三種狀況：①p真q假；②p假q真；③p，q均為真，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤a<4，,a>\f(1,4)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0或a≥4，,a≤\f(1,4)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤a<4，,a≤\f(1,4).))∴a<4.∴a的取值范圍是(－∞，4)．2．若p∨q為真命題，p∧q為假命題，問題不變．解：∵p∨q為真命題，p∧q為假命題，∴p，q一真一假．∴若p真q假，則有0≤a<4，且a>eq\f(1,4)，∴eq\f(1,4)<a<4；若p假q真，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0或a≥4，,a≤\f(1,4)，))∴a<0.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，4)).?名師點(diǎn)津依據(jù)復(fù)合命題的真假求參數(shù)范圍的步驟(1)先求出每個(gè)簡(jiǎn)潔命題是真命題時(shí)參數(shù)的取值范圍；(2)再依據(jù)復(fù)合命題的真假確定各個(gè)簡(jiǎn)潔命題的真假狀況(有時(shí)不肯定只有一種狀況)；(3)最終由(2)的結(jié)論求出滿意條件的參數(shù)取值范圍．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)\a\vs4\al(復(fù)合命題的創(chuàng)新交匯問題))【例】(2024年全國卷Ⅲ)記不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥6，,2x－y≥0))表示的平面區(qū)域?yàn)镈．命題p：?(x0，y0)∈D，2x0＋y0≥9；命題q：?(x，y)∈D，2x＋y≤12.下面給出了四個(gè)命題：①p∨q；②(﹁p)∨q；③p∧(﹁q)；④(﹁p)∧(﹁q)．這四個(gè)命題中，全部真命題的編號(hào)是()A．①③ B．①②C．②③ D．③④[解析]作出不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥6，,2x－y≥0))表示的平面區(qū)域D如圖所示，由圖形可知，命題p：?(x0，y0)∈D，2x0＋y0≥9，是真命題，則﹁p是假命題；命題q：?(x，y)∈D，2x＋y≤12，是假命題，則﹁q是真命題；所以由邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的復(fù)合命題真假為：①p∨q真；②(﹁p)∨q假；③p∧(﹁q)真；④(﹁p)∧(﹁q)假．故①③為真命題．故選A．[答案]A?名師點(diǎn)津與復(fù)合命題有關(guān)的創(chuàng)新交匯問題的求解關(guān)鍵是精確推斷交匯學(xué)問命題的真假．|跟蹤訓(xùn)練|已知命題p：“a＝2”是“直線l1：ax＋2y－6＝0與直線l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行”的充要條件，命題q：“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)>2n”的否定是“?n0∈N*，f(n0)?N*且f(n0)≤2n0”，則下列命題為真命題的是()A．p∧q