高中數學 第一章 計數原理 1.3 二項式定理 1.3.3 二項式定理習題課教案 新人教A版選修2-3

高中數學第一章計數原理1.3二項式定理1.3.3二項式定理習題課教案新人教A版選修2-3科目授課時間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導教師授課班級、授課課時授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）高中數學第一章計數原理1.3二項式定理1.3.3二項式定理習題課教案新人教A版選修2-3課程基本信息1.課程名稱：高中數學——計數原理

2.教學年級和班級：高三年級1班

3.授課時間：2022年10月10日

4.教學時數：1課時（45分鐘）

二、教學目標

1.理解二項式定理的概念和公式。

2.掌握二項式定理的運用方法。

3.能夠運用二項式定理解決實際問題。

三、教學內容

1.回顧二項式定理的公式。

2.通過例題講解二項式定理的運用方法。

3.學生練習，教師點評。

四、教學過程

1.導入：通過一個實際問題引入二項式定理的概念。

2.講解：詳細講解二項式定理的公式及運用方法。

3.練習：學生做課后習題，教師巡回指導。

4.總結：對學生的練習進行點評，總結本節(jié)課的重點和難點。

五、作業(yè)布置

1.完成課后習題1-5。

2.準備下一節(jié)課的預習內容。

六、教學反思

1.課后對學生的反饋進行總結，對教學方法進行調整。

2.對課堂上的難點進行再次講解，確保學生理解。

七、教學資源

1.課本《高中數學》選修2-3。

2.課后習題。

3.教學PPT。核心素養(yǎng)目標1.邏輯推理：通過學習二項式定理，培養(yǎng)學生從具體實例中抽象出數學規(guī)律，并運用邏輯推理能力證明其正確性。

2.數學建模：培養(yǎng)學生運用二項式定理解決實際問題的能力，提高學生建立數學模型的素養(yǎng)。

3.數據分析：通過二項式定理的應用，培養(yǎng)學生分析數據、處理數據的能力，提高學生的數據分析素養(yǎng)。

4.數學運算：培養(yǎng)學生熟練運用二項式定理進行數學運算的能力，提高學生的數學運算素養(yǎng)。學習者分析1.學生已經掌握了哪些相關知識：學生在之前的課程中已經學習了函數、代數等基礎知識，對冪的運算、組合數學有一定的了解，但二項式定理的應用可能還存在一定的困難。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：學生對數學學科整體興趣較高，部分學生對理論證明和邏輯推理能力較強，但也有一部分學生更擅長實際應用題目的解決。在學習風格上，有的學生喜歡通過自己動手實踐來學習，有的學生則更偏好通過聽講和閱讀來獲取知識。

3.學生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：在理解二項式定理的概念和公式時，學生可能會遇到難以理解的部分，如組合數學中的組合公式。在運用二項式定理解決實際問題時，部分學生可能會對如何將實際問題轉化為數學模型感到困惑。此外，對于邏輯推理和數學建模能力較弱的學生，證明二項式定理的正確性可能會是一個較大的挑戰(zhàn)。教學方法與手段1.教學方法：

(1)引導發(fā)現法：教師通過提出問題，引導學生發(fā)現二項式定理的規(guī)律，激發(fā)學生的思考和探索興趣。

(2)案例分析法：教師通過分析具體的實例，讓學生理解二項式定理在實際問題中的應用，提高學生的應用能力。

(3)分組合作法：將學生分成小組，進行討論和合作，培養(yǎng)學生的團隊協(xié)作能力和溝通能力。

2.教學手段：

(1)多媒體教學：利用PPT、動畫等多媒體資源，生動展示二項式定理的推導過程，提高學生的學習興趣。

(2)在線教學平臺：利用在線教學平臺，提供豐富的學習資源，方便學生隨時隨地學習，提高教學效果。

(3)數學軟件輔助教學：運用數學軟件，如Mathematica、MATLAB等，進行模擬和實驗，增強學生對二項式定理的理解。

(4)課堂練習與反饋：通過課堂練習，及時了解學生的學習情況，針對性地進行指導和講解。

(5)課后作業(yè)與輔導：布置合理的課后作業(yè)，鞏固所學知識，提供課后輔導，幫助學生解決學習中遇到的問題。

(6)教學評價與反饋：定期進行教學評價，了解學生的學習進度和效果，及時調整教學方法和手段，提高教學質量。教學流程1.課前準備（5分鐘）

教師提前準備好PPT、課后習題及相關的實際問題案例。同時，檢查學生對前置知識的掌握情況，如函數、代數等基礎知識，確保學生能夠順利地理解本節(jié)課的內容。

2.課堂導入（5分鐘）

教師通過一個實際問題引出二項式定理，激發(fā)學生的學習興趣。例如，拋硬幣實驗：一枚硬幣拋擲兩次，求正面向上的概率。引導學生發(fā)現這個問題可以通過二項式定理來解決，從而引入本節(jié)課的主題。

3.知識講解（20分鐘）

(1)教師引導學生回顧冪的運算、組合數學等基礎知識，為學生學習二項式定理打下基礎。

(2)教師講解二項式定理的概念和公式，強調公式中各項的含義和關系。通過PPT展示二項式定理的推導過程，幫助學生理解。

(3)教師通過例題講解二項式定理的運用方法，引導學生學會如何將實際問題轉化為數學模型。例如，分析運動員比賽成績、考試分數等實際問題，運用二項式定理進行求解。

4.課堂練習（5分鐘）

學生獨立完成課后習題1-5，教師巡回指導，及時解答學生遇到的問題。對于難度較大的題目，可以組織學生進行小組討論，共同解決問題。

5.總結與點評（5分鐘）

教師對學生的練習進行點評，總結本節(jié)課的重點和難點。強調二項式定理在實際問題中的應用，提醒學生課后加強練習，鞏固所學知識。

6.課后作業(yè)（課后自主完成）

學生完成課后習題6-10，深入理解二項式定理的運用。同時，鼓勵學生自主探索更多的實際問題，運用二項式定理進行解決，提高自己的數學建模能力。

7.教學反思（課后）

教師對學生對本節(jié)課內容的理解程度進行反思，對教學方法進行調整。對于學生普遍存在的問題，可以在下一節(jié)課進行針對性講解。同時，關注學生的學習進度和興趣，不斷優(yōu)化教學手段，提高教學質量。

整個教學流程共計45分鐘，通過以上設計，希望能夠有效地幫助學生掌握二項式定理的知識，提高學生的數學素養(yǎng)。教學資源拓展一、拓展資源

1.數學雜志和期刊：如《數學學報》、《數學年刊》等，這些雜志和期刊發(fā)表了大量的計數原理和二項式定理的研究論文，有助于學生深入了解該領域的最新研究成果和應用。

2.在線課程和講座：國內外知名高校和平臺（如Coursera、MITOpenCourseWare等）提供了許多關于計數原理和二項式定理的課程和講座，學生可以在線學習，拓寬視野。

3.數學競賽題目：如國際數學奧林匹克（IMO）、中國數學奧林匹克（CMO）等競賽中的題目，這些題目往往綜合了計數原理和二項式定理的知識，具有較高的挑戰(zhàn)性。

4.數學軟件和工具：如Mathematica、MATLAB、Python等，這些軟件和工具可以幫助學生進行數學模擬、計算和可視化，加深對二項式定理的理解。

二、拓展建議

1.學生可以閱讀數學雜志和期刊，了解計數原理和二項式定理的最新研究進展，提高自己的學術素養(yǎng)。

2.學生可以參加在線課程和講座，學習更多關于計數原理和二項式定理的知識，拓寬知識面。

3.學生可以嘗試解決數學競賽中的相關題目，提高自己的解題能力和思維水平。

4.學生可以利用數學軟件和工具進行實踐，例如，用Python編寫程序驗證二項式定理的公式，或者繪制二項式定理相關的圖表，加深對知識的理解和應用。

5.學生可以進行小組討論和合作，共同研究計數原理和二項式定理的難題，提高自己的合作能力和溝通能力。

6.學生可以參加數學研究小組或俱樂部，與志同道合的同學一起探索數學的奧秘，提高自己的研究能力和創(chuàng)新能力。板書設計1.知識點呈現

①二項式定理的定義及公式

②組合數學中的組合公式

③二項式定理的應用方法

④實際問題與二項式定理的關聯(lián)

2.藝術性與趣味性

①使用圖形、符號、色彩等元素，使板書更具視覺吸引力

②通過有趣的例子、生活場景等，將二項式定理應用于實際問題中，提高學生的學習興趣

③設計有趣的練習題，鞏固所學知識，激發(fā)學生的求知欲

4.邏輯性與條理性

①按照教學流程，分步驟呈現知識點，使學生易于理解和記憶

②使用清晰的線索，如箭頭、編號等，展示知識點的邏輯關系

③板書設計要簡潔明了，突出重點，便于學生抓住關鍵信息

二、板書設計示例

1.二項式定理的定義及公式

```

二項式定理：

(a+b)^n=C(n,0)a^nb^0+C(n,1)a^(n-1)b^1+...+C(n,n-1)a^1b^(n-1)+C(n,n)a^0b^n

```

2.組合數學中的組合公式

```

組合公式：

C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)

```

3.二項式定理的應用方法

```

步驟1：確定二項式展開的系數

步驟2：計算各項的系數

步驟3：求和得到結果

```

4.實際問題與二項式定理的關聯(lián)

```

實例1：拋硬幣實驗

實例2：運動員比賽成績分析

實例3：考試分數分布

```作業(yè)布置與反饋1.作業(yè)布置

(1)鞏固練習：完成課后習題1-5，鞏固二項式定理的基本概念和公式。

(2)應用拓展：從生活中選取一個實際問題，運用二項式定理進行分析和解決，如體育比賽成績分析、考試分數分布等。

(3)研究性學習：查閱相關資料，了解二項式定理在其它領域的應用，如物理學、化學等。

(4)創(chuàng)新性思維：嘗試用二項式定理解決一個新的實際問題，可以是一個小組項目，也可以是個人研究。

2.作業(yè)反饋

(1)及時批改：教師在規(guī)定時間內及時批改學生的作業(yè)，給出明確的評價和反饋。

(2)問題指出：對于作業(yè)中出現的問題，教師要具體指出，如概念理解錯誤、計算失誤等。

(3)改進建議：針對學生作業(yè)中的問題，給出具體的改進建議，如如何避免類似錯誤、提高解題效率等。

(4)鼓勵與激勵：對于作業(yè)完成優(yōu)秀的學生，給予表揚和激勵，提高學生的學習積極性。

(5)再次講解：對于作業(yè)中普遍存在的問題，教師可以在課堂上進行再次講解，以確保學生理解掌握。

(6)輔導與幫助：對于作業(yè)中遇到問題的學生，提供個別輔導，幫助學生解決問題。典型例題講解1.例題1：驗證二項式定理

(a+b)^n=C(n,0)a^nb^0+C(n,1)a^(n-1)b^1+...+C(n,n-1)a^1b^(n-1)+C(n,n)a^0b^n

答案：將a=1,b=1代入二項式定理公式，驗證左側與右側是否相等。

2.例題2：計算二項式展開的系數

C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)

答案：已知n=5,k=3，計算C(5,3)。

3.例題3：二項式定理在概率中的應用

一個袋子里有5個紅球和3個藍球，隨機取出兩個球，求取出的球顏色相同的概率。

答案：使用組合數計算，總的取球方式為C(8,2)，取兩個紅球的概率為C(5,2)/C(8,2)，取兩個藍球的概率為C(3,2)/C(8,2)，所以取出的球顏色相同的概率為(C(5,2)+C(3,2))/C(8,2)。

4.例題4：二項式定理在數列中的應用

已知數列{an}的通項公式為a_n=C(n,1)*x^n，求數列{an}的前n項和Sn。

答案：使用二項式定理計算，Sn=C(n,0)*