第二章 軸對稱圖形（3類壓軸題專練）

第二章軸對稱圖形（壓軸題專練）一、三角形綜合應用（選擇壓軸）1．如圖，在中，，于點D，平分，且于點E，與相交于點F，H是邊的中點，連接與相交于G，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤是等腰三角形．其中正確的有（）A．5個 B．2個 C．4個 D．3個2．如圖，已知中高恰好平分邊，，點是延長線上一動點，點是線段上一動點，且，下面的結(jié)論：①； ②的最小值為；③； ④．其中正確的有（）個A．1 B．2 C．3 D．43．如圖，已知和都是等腰直角三角形，，，交于點F，連接，下列結(jié)論：①；②；③；④平分；⑤，其中結(jié)論正確的序號是（）A．①②③④ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤4．如圖，在等腰三角形中，，，于點，點是的延長線上一點，點在的延長線上，，下面的結(jié)論：①；②是正三角形；③；④其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④探究線段之間的數(shù)量關(guān)系5．如圖，已知中，．點M，N在底邊上，若．那么線段與之間的數(shù)量關(guān)系為___________．6．（1）已知，如圖1，若是直角三角形，，，求證：；（2）由（1）可得出定理：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．試用該定理解決以下問題：已知：點P是任意的邊AB上一動點（不與A、B重合），點Q是邊的中點，分別過點A、B向直線作垂線垂足分別為E，F(xiàn)．①如圖2，當點P與點Q重合時，探究和的數(shù)量關(guān)系；②如圖3，當點P與點Q不重合時，探究和的數(shù)量關(guān)系．

7．在中，，，是的角平分線，于點．

(1)如圖1，連接，若，則_；(2)如圖2，點是線段延長線上的一點(不與點重合)，以為一邊，在的下方作，交延長線于點．在邊上取一點，使．①求證：；②請你寫出，與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，當點M運動到線段延長線上的某個位置時，以為一邊．在的左側(cè)作交于點G．請直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．探究角之間的數(shù)量關(guān)系8．如圖，在△ABC中，∠ACB＝2α，CD平分∠ACB，∠CAD＝30°﹣α，∠BAD＝30°，則∠BDC＝_____．（用含α的式子表示）9．在中，，平分，過A作的垂線交直線于點M，若，則的度數(shù)為_________．

第二章軸對稱圖形（壓軸題專練）答案全解全析一、三角形綜合應用（選擇壓軸）1．如圖，在中，，于點D，平分，且于點E，與相交于點F，H是邊的中點，連接與相交于G，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤是等腰三角形．其中正確的有（）A．5個 B．2個 C．4個 D．3個【答案】C【分析】只要證明、，即可判斷①②正確，根據(jù)角平分線的定義利用即可判斷③；過G作于點M，根據(jù)角平分線定理，結(jié)合，可得，又可得，即可判斷④錯誤，證明可判斷⑤正確．【詳解】①，，，又，，，，又，，∴是等腰直角三角形，，在和中，，，．故①正確；②平分，，，，在和中，，，，，又，，即：，故②正確；③，平分，，，，，故③正確；④如圖所示，過G作于點M，為等腰直角斜邊BC的中點，，即，又平分，，，又，，又，，，，故④錯誤；⑤，，，，又，，為等腰三角形，故⑤正確．正確的為①②③⑤，共計4個，故選：C．2．如圖，已知中高恰好平分邊，，點是延長線上一動點，點是線段上一動點，且，下面的結(jié)論：①；

②的最小值為；③；

④．其中正確的有（）個A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】連接，在上截取，證明是等邊三角形，是等邊三角形，進而證明即可判斷①，根據(jù)當時，的值最小，此時，判斷②；根據(jù)等邊三角的性質(zhì)以及已知條件得出，即可判斷③；過點作于，則，進而得出即可判斷④．【詳解】解：連接，在上截取，，，，，，，，，，，，，，，，，是等邊三角形，，，，是等邊三角形，，，，，，在和中，，，，；故①正確；是等邊三角形，，∴，∴當時，的值最小，此時；故②錯誤；是等邊三角形，，，，故③正確；過點作于，，，，，，；故④正確．故選：C．3．如圖，已知和都是等腰直角三角形，，，交于點F，連接，下列結(jié)論：①；②；③；④平分；⑤，其中結(jié)論正確的序號是（）A．①②③④ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤【答案】D【分析】證明，證明，再利用全等三角形的性質(zhì)即可判斷①②；由可得，再由，證得即可判斷③；分別過A作，，根據(jù)全等三角形面積相等和，證得，即可得平分，可無法得到平分，可判斷④；由平分結(jié)合即可判斷⑤．【詳解】解：∵，∴，即，∵和都是等腰三角形，∴，，在和中，，∴，∴，，故①②符合題意；設(shè)與交于點G，∵，∴，∵，，∴，∴，即，故③符合題意；分別過A作，垂足分別為M、N，∵，∴，∴平分，∴，若平分，∴，∴，而，∴，∴，與題干條件互相矛盾，故④不符合題意；∵平分，，∴，故⑤符合題意．綜上，正確的是①②③⑤，故選：D．4．如圖，在等腰三角形中，，，于點，點是的延長線上一點，點在的延長線上，，下面的結(jié)論：①；②是正三角形；③；④其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】如圖，設(shè)交于點．由，推出，推出，可證①②正確，延長到，使得，證明，推出，可得③正確，推出四邊形的面積是定值，可得④錯誤．【詳解】解：設(shè)交于點，如圖所示：，，，，，，，，，，，，，故①正確；，，，是正三角形，故②正確；延長到，使得，連接，如圖所示：，，是等邊三角形，，，在和中，，，，，，故③正確；，，，且為定值，是變化的，是錯誤（與上面定值矛盾），故④錯誤；綜上所述：正確的是①②③，故選：A．探究線段之間的數(shù)量關(guān)系5．如圖，已知中，．點M，N在底邊上，若．那么線段與之間的數(shù)量關(guān)系為___________．【答案】【分析】作，使得，連接，，先證，推導得；再證，推導得，最后得到．【詳解】解：如圖，作，使得，連接，，在中，∵，∴．在與中，∵，∴，∴，，∵，，∴，，∵，，∴，即．∵，，∴，∵中，，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴．在與中，∵，∴，∴，，∵∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∵，∴．故答案為：6．（1）已知，如圖1，若是直角三角形，，，求證：；（2）由（1）可得出定理：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．試用該定理解決以下問題：已知：點P是任意的邊AB上一動點（不與A、B重合），點Q是邊的中點，分別過點A、B向直線作垂線垂足分別為E，F(xiàn)．①如圖2，當點P與點Q重合時，探究和的數(shù)量關(guān)系；②如圖3，當點P與點Q不重合時，探究和的數(shù)量關(guān)系．

【答案】（1）見解析；（2）①；②【分析】（1）延長至E，使，連接，證明，再證明，可得，從而可得結(jié)論；（2）①Q(mào)是的中點，過Q分別過點A、B向直線作垂線垂足分別為E，F(xiàn)，可得，，證明，可得，②延長交于G，證明，可得，結(jié)合，Q是的中點，可得，即．【詳解】證明：（1）延長至E，使，連接，

∵在和中∴∴，∵在中，∴，即∵在和中，∴∴又∵，∴．（2）①∵Q是的中點，過Q分別過點A、B向直線作垂線垂足分別為E，F(xiàn)．∴，，在和中，∴∴

②延長交于G

∵，，∴，∴，∴，在和中，∴∴，∴，∵在中，Q是的中點，∴，即．7．在中，，，是的角平分線，于點．

(1)如圖1，連接，若，則_；(2)如圖2，點是線段延長線上的一點(不與點重合)，以為一邊，在的下方作，交延長線于點．在邊上取一點，使．①求證：；②請你寫出，與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，當點M運動到線段延長線上的某個位置時，以為一邊．在的左側(cè)作交于點G．請直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)4(2)①見解析；②，見解析；(3)．【分析】（1）根據(jù)已知條件證明，得出，繼而得出是等邊三角形，即可求解；（2）①證明是等邊三角形，進而得出，證明；②由①可知，得出，是等邊三角形．則，即可得證．（3）在的延長線上截取，連接，先證是等邊三角形，可得，由“”可證，可得，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵是的角平分線，∴，又∵，∴，∴，∵，，∴，∴是等邊三角形，∴；故答案為：4；（2）①證明：∵，，∴，又∵，∴是等邊三角形．∴，∴，．∴．在和中，，∴；②，由①可知，則．∴，∵是等邊三角形．則，∴；（3）解：結(jié)論：，理由：如圖，在的延長線上截取，連接，

∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴．探究角之間的數(shù)量關(guān)系8．如圖，在△ABC中，∠ACB＝2α，CD平分∠ACB，∠CAD＝30°﹣α，∠BAD＝30°，則∠BDC＝_____．（用含α的式子表示）【答案】120°+α【分析】延長CB到E，使CE＝CA，連接DE，EA，利用SAS證明△ADC≌△EDC，得到AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，再證明△EDA為等邊三角形，得到AB是DE的垂直平分線，再根據(jù)圖形中與所求角有關(guān)聯(lián)的角的計算即可求解．【詳解】解：如圖，延長CB到E，使CE＝CA，連接DE，EA，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，在△ADC與△EDC中，，∴△ADC≌△EDC（SAS），∴AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，∵∠CAD＝30°﹣α，∠ACD＝α，∴∠ADC＝180°﹣（30°﹣α）﹣α＝150°，∴∠EDC＝∠ADC＝150°，∴∠EDA＝360°﹣150°﹣150°＝60°，∵ED＝AD，∴△EDA為等邊三角形，∴∠EAD＝∠AED＝60°，∵∠BAD＝30°，∴∠EAB＝60°﹣30°＝30°，∴AB是∠EAD的角平分線，∴AB是ED的垂直平分線，∴BD＝BE，∴∠BED＝∠BDE，∵∠ACB＝2α，∠EAC＝∠EAD+∠DAC＝60°+30°﹣α＝90°﹣α，∴∠AEC＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，∴∠BED＝∠AEC﹣∠AED＝90°﹣α﹣60°＝30°﹣α，∴∠BED＝∠BDE＝30°﹣α，∴∠BDC＝∠EDC﹣∠BDE＝150°－（30°﹣α）＝120°+α，故答案為：120°+α．9．在中，，平分，過A作的垂線交直線于點M，若，則的度數(shù)為_________．【答案】或【